高等数学(下)测试题及答案

多元函数微分学测试题
1. 求二元函数2
arcsin 2
2y x x y z ++-=
的定义域D ，并作D 的草图。

[ }2,0,0|),{(22≤+≥-≥=y x x y y y x D ]
2. 设y x x e y y x f cos 2)(),(+=，求),(y x f y 和)0,1(x f 。

[ ]cos 2)ln(sin [)
(22cos 2
x
x y
x x y e
y y
xy e y y x e y f ++
+-+=，e f x 2)0,1(= ] 3. 设22),(y x xy y x f +=-，求),(y x df 。

[ dy xdx 22+ ]
4. 设(,)()x y z f xy g y x =+， 求2z
x y
∂∂∂。

[ 121122
2323
11x y
f f xyf f
g g y y x x '''''''''-
+--- ] 5. 设3
3
33z z x y +=+，求dz 和22z
x
∂∂。

[ dy z dx z x dz 111222+++=，22z x ∂∂=22423
2(1)2(1)
x z x z
z +-+ ] 6. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =分别由方程0=-y e xy 和0=-xz e z
所确
定，求dx
du 。

[ z
f x xz z y f xy y x f ∂∂-+
∂∂-+∂∂12 ] 7. 求曲线⎩⎨⎧=-+=++4
6
2
22222x y z z y x 在点)2,1,1(处的法平面方程。

[ 02=-z y ]
8. 求曲面2
22
x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程。

[ 2230x y z +--=]
9. 求2
)1(ln ),(y x x x y x f -+=的极值。

[ 极小值e
e f 1)0,1(-
= ] 10. 求2
44)(),(y x y x y x f +-+=的极值。

[ 极小值2)1,1()1,1(-=--=f f ]
11. 设),(y x z z =是由01821062
22=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的驻点，并判别
它们是否为极值点。

[ 极小值点)3,9(，极大值点)3,9(-- ] 12. 在第一卦限内作椭球面2
2
2
114
x y z ++
=的切平面,使它在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程。

[ 224x y += ]
13. 已知
22,23z
z
y x xy x y
∂∂=+=+∂∂，且(0,0)0z =，求(,)z f x y =的表达式。

[ 223z xy x y =++ ]
14. 证明极限4
22
)0,0(),(lim y x xy y x +→不存在。

15. 设()f u 二阶连续可导，验证(sin )x z f e y =满足方程
22222"()x
z z e f u x y
∂∂+=∂∂。

16. 设r =
)(r f 二阶可导，验证)(r f u =满足方程
2222222
"()'()u u u f r f r x y z r
∂∂∂++=+∂∂∂。

17. 试证曲面(,)0f x az y bz --=上任一点处的切平面与直线:
x y
L z a b
==平行，其中f 可微，,a b 为常数。

18. 设0,,>z y x ，求函数z y x u ln 3ln ln ++=在球面22225R z y x =++上的极大值，并由此证明，
当0,0,0>>>c b a 时，恒有
5
3)5
(
27c b a abc ++≤。

[ 极大值R R R R u ln 53ln 3)3,,(+= ]
重积分测试题
1. 改换
1
(,)dy f x y dx ⎰
的积分次序。

[
210
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰
⎰
⎰
]
2. 计算
2
21
1
y x
dx xe dy ⎰
⎰。

[
1
(1)4
e - ] 3. 化
⎰
⎰
--2222
1
),(x x x
dy y x f dx 为极坐标形式的二次积分.
[
⎰
⎰
-+⋅θθθπ
ρρθρθρθcos 2)sin (cos 240
1
)sin ,cos (d f d ]
4. 计算
⎰⎰
+D
dxdy y x 22，其中220:x x y D -≤≤。

[
9
16 ]
5. 计算
D
x ⎰⎰
，其中:01D y x ≤≤≤≤。

[
8
45
] 6. 计算二重积分
⎰⎰
D
ydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y ，2=y 以及曲线2
2y y x --=所围成的平面区域。

[ 2
4π
-
]
7. 计算|1|D
I x y dxdy =
--⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤。

[
1
3
] 8. 求22
[1()]D
I x yf x y dxdy =
++⎰⎰
，其中D 是由3,1,1y x y x ===-所围的区域。

[25
-
] 9. 已知Ω由0,0,0,1x y z x y z ===++=所围，计算
(1)x dxdydz Ω
-⎰⎰⎰。

[
18
]
10. 已知Ω由22
,z x y z =+=
3z dxdydz Ω
⎰⎰⎰。

[
π15
8
] 11. 已知Ω由2222,2z x y z x =+=-所围，计算
22()x y dxdydz Ω
+⎰⎰⎰。

[
3
π ]
12. 已知Ω由z z ==所围，计算Ω
⎰⎰⎰。

[
20
π ]
13. 化21
1
(cos ,sin ,)I d rdr f r r z dz πθθθ=
⎰
⎰⎰
为球面坐标的三次积分。

[
2240
sec sin (sin cos ,sin sin ,cos )d d f r r r r dr π
πϕ
θϕϕϕθϕθϕ⎰
⎰ ]
14. 计算1112
cos (1)
x x y z
I dx dy dz z ---=
-⎰
⎰
⎰。

[
1
sin12
] 15. 设)(t f 可导，且0)0(=f ，求极限⎰⎰⎰
≤++→++2
222
)(1lim
2224
0t z y x t dxdydz z y x f t 。

[ )0(f 'π ]
16. 已知曲面221:6z x y ∑=--
与曲面2:z ∑=
1）求两曲面所围成的立体Ω的体积； 2）求立体Ω的1∑部分的表面积。

[
323π
；1)6
π
] 17. 证明: ⎰⎰⎰
+-+=
-b a n x
a
n b a
dy y f y b n dy y f y x dx )()(1
1)()(1
.
18. 设()f x 在[,]a b 上连续，证明： 22()()[()]b b b
a
x
a
dx f x f y dy f x dx =⎰
⎰⎰。

曲线积分测试题
1．已知曲线弧:
L (01)y x =≤≤，计算
L
xyds ⎰。

[
12
] 2．设L 是曲线21,1x t y t =+=+上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算
2(2)L
I ydx x dy =+-⎰
[ 3 ]
3．计算⎜⎠
⎛-L
dx y dy x 3
3，L 为圆周222x y x +=沿逆时针方向。

[
9
2
π ] 4．计算
(sin 2)(cos 2)x x L
e y y dx e y dy -+-⎰
，其中L
为上半圆周y =
[ 2
a π ]
5．证明曲线积分
(1,1)22(0,0)
()(2sin )x y dx x y dy ++-⎰
与路径无关，并计算积分值。

[
11
sin 232
+ ] 6．计算曲线积分⎜
⎠⎛+-=L
y
x ydx
xdy I 2
24，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周（1R >），取逆时针方向。

[
π ]
7．设函数(,)Q x y 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
2(,)L
xydx Q x y dy +⎰
与路径无关，且对任意 t 恒有
(,1)(1,)(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰
⎰
求(,)Q x y 。

[ 2
(,)21Q x y x y =+- ]
8．在变力k xy j zx i yz F ++=的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面122
2222=++c
z b y a x 上第一卦
限的点),,(ζηξ，问ζηξ,,取何值时，力F
所作的功W 最大？并求出W 的最大值。

[ 3
a =
ξ，3
b =
η，3
c =
ζ，abc W 9
3
max =
]
无穷级数测试题
1．判别下列级数的敛散性：
21
2
1
1
1
1
11
!
21sin ;ln(1);;(
)32
n n n n n n n n n n n n ∞
∞
∞
∞
+====++-∑∑∑∑
[ 收敛；发散；收敛；收敛 ]
2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
211
(1)[3n n n n ∞
-=-∑；
21
cos 3n
n n n
∞
=∑；
1
1
(1)n n ∞
-=-∑
[ 条件收敛；绝对收敛；条件收敛 ]
3
．求幂级数
0n
n ∞
=的收敛域。

[ [0,2) ]
4．求幂级数
1
!n
n n n x n ∞
=∑的收敛域。

[ ),(e e - ]
5．在区间(1,1)-内求幂级数 1
1n n x n
+∞
=∑ 的和函数。

[ ln(1)x x -- ]
6．求级数
∑∞
=-2
22)1(1
n n
n 的和。

[
2ln 4
3
85- ] 7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0
(1)3(21)n
n n n ∞
=-+∑ 的和。

[ 21
0(1),21
n n n x n ∞
+=-+∑] 8．已知2
2211
135
8
π+++
=
[参见教材246页]，计算1
011ln 1x
dx x x
+-⎛⎜
⎠。

[ 24
π ] 9．设级数
∑∞
=1
2n n a 收敛，证明级数∑
∞=1
n n
n a 绝对收敛。

10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞
=-1)1(n n n
a 发散，试问∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+111n n
n a 是否收敛？并说明理由。

[ 收敛 ]
微分方程测试题
1. 求解微分方程3
ln (ln )0,|2
x e x xdy y x dx y =+-==。

[ 11
ln ln 2
y x x =
+ ] 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。

[ ln x
y x C
=
+ ]
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。

[ C y y x x =--42242 ]
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。

[ 12ln cos()y x C C =-++ ]
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。

[ 12(cos sin )x
y e C x C x =+ ]
6. 求解微分方程2'''(21)x
y y x e -=+。

[ 212(1)x
x
y C C e x e =++- ]
7. 求解微分方程''4x
y y xe -=。

[ 212()x
x
x y C e C e
x x e -=++- ]
8. 求解微分方程3''6'9(62)x
y y y e x -+=+。

[ 33
2
312()()x
x
y C C x e x x e =+++ ]
9. 设)(r f u =满足方程42222=∂∂+∂∂y
u x u ，其中2
2y x r +=，求)(r f 。

[ 212
ln )(C r C r r f ++= ]
10. 设)(x f 连续可微，1)0(=f ，确定)(x f ，使曲线积分
⎰+-L
dy x f ydx x f x )()]([
与路径无关，并计算⎰
+-=
)
1,1()
0,0()()]([dy x f ydx x f x I 。

[ x
e
x x f -+-=21)(， e
I 2
=
] 11. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为c 0
20时，
一物体由c 0
100冷却到c 0
60须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的
c 0100降低到c 030。

[ 60分钟 ]
12. 在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾. 在时刻t ，鱼数y 是时间t 的函数)(t y y =，其变化
率与鱼数y 及y -1000成正比. 已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养t 月后池塘内鱼数)(t y 的公式。

[ t t e
e
t y 3
3ln 3
3ln 91000)(+=
]
13. 设曲线L 位于xOy 平面的第一象限，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A 。

已知
||||OA MA =，且L 过点)3,3(。

求L 的方程。

[ 26x x y -=
]
14. 在xOy 面的第一象限内有一曲线过点)1,1(，曲线上任一点P 处的切线与x 轴及线段OP 所围三角形
的面积为常数k ，求此曲线的方程。

[ k y k xy =-+2)1( ]
15. 将质量为m 的物体垂直上抛，假设初始速度为0v ，空气阻力与速度成正比（比例系数为k ），试求
在物体上升过程中速度与时间的函数关系。

[ k
mg
e v k mg v t m k
-
+=-)(0 ] 16. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，
使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为kg 9000的飞机，着陆时的水平速度为h km /700。

经测试，
减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6
100.6⨯=k ）。

问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
[ ))(()(0t v v k
m
t x -=，t m
k e
v t v -=0)(，最长距离是km 05.1 ]。