24.2.2.3切线长定理和三角形的内切圆课件人教版数学九年级上册

知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
辅助线作法： ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点.
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别 交PA、PB于点E、F，切点C在 AB 上．若PA长为2，则△PEF的周长是 ________．
点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为
()
A．r B. r
C．2r
D. r
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知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于 点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 ( ) 解析：连接OD，OE，
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁 环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如 图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm， 则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， ∴OP＝5 cm，即铁环的半径为5 cm.
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上， 如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是___2_0_°___．
∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°. 又易证△POA≌△POB， ∴∠OPA＝ ∠APB＝20°.
( C) A．r
B. r
C．2r
D. r
随堂练习
1. 如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别 为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为___1_1____.
解析：由切线长定理易求得 CD+CE+DE=BC+AC-AB=9+10-8=11.
随堂练习
情境导入
某学校建设过程中，计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形 花园，请你设计一个建筑方案．
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知识点1 切线长及切线长定理
切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的 长，叫做这点到圆的切线长．
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知识点1 切线长及切线长定理
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这 一点的连线平分两条切线的夹角.
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知识点2 三角形的内切圆与内心
三角形内切圆与内心的定义： 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
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知识点2 三角形的内切圆与内心
三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形的三边距离相等.
随堂练习
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为 半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
方法二 证明：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°， 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB，OC＝OC， ∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁 环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如 图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm， 则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∵∠BAC＝60°， ∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，
切线长的定义 切线长定理 辅助线的作法 相关概念
三角形的内心的性质
解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， 所以PA＝PB， 因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C， 所以EA＝EC，CF＝BF，
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别 交PA、PB于点E、F，切点C在 AB 上．若PA长为2，则△PEF的周长是 ____4____．
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI
，
∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．
课后小结
切线长及切线长 定理
切线长定理和三 角形的内切圆
三角形的内切 圆与内心
知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半
径为________．
在Rt△OCD中， 根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2， 所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝ . 即⊙O的半径为 .
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知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于
随堂练习
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为 半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
随堂练习
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为 半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
方法一 证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB， ∴OC⊥BD， ∵BE为⊙O的直径， ∴DE⊥BD．∴DE∥OC．
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴四边形OEBD为正方形， 又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，
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知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于 点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 ( ) ∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，
所以△PEF的周长＝PE＋EF＋PF ＝PE＋EC＋CF＋PF ＝(PE＋EC)＋(CF＋PF) ＝PA＋PB＝2＋2＝4.Fra bibliotek知识讲解
知识点1 切线长及切线长定理
【例 2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上， 如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________．
解析：如图所示，连接OA、OB. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. 又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，
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知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半 径为________．
解析：如图，连接OD. ∵等边三角形的内心为三条角平分线的交点， ∴∠OCD＝30°，OD⊥BC， ∴CD＝ BC，OC＝2OD. 又由BC＝2，则CD＝1.
知识讲解
随堂练习
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为 半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
∴∠DOC=∠BOC， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC．
随堂练习
4. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点 D.求证：DI＝DB.
∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM ＝MB＋BN＋NP＋PM ＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.
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知识点2 三角形的内切圆与内心
【例 6】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于
点D、E，过劣弧 DE (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与 AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为
2. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切 与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点 E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， ∴AB+CD=AD+BC.
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知识点1 切线长及切线长定理
【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环 平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图 所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm， 则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
解析：过O作OQ⊥AB于Q， 设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，
数学 人教版 九年级上册
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目录
学习目标
1
2
情境导入
知识讲解
3
4
随堂练习
课后小结
5
学习目标
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． （ 重 点 ） 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．（难点）