两种介质的边界条件

静电屏蔽
第二章静电场与恒定电场
㊀㊀㊀
E=0
⊕⊕⊕⊕
㊀㊀㊀
⊕⊕⊕⊕
E0

SD dS 0
⊕
㊀
⊕
㊀
⊕ ⊕⊕⊕
㊀
⊕ ⊕⊕⊕
㊀
㊀
⊕ E0
㊀
⊕ E=0
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电荷量为q，该导 体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充
第二章静电场与恒定电场
0 2
1
r2
r1
r3
r4
解 在 r < r1及 r2< r < r3 区域中 E=0 ？
在 r1< r < r2 区域中
S D dS q
q
E1 4π1r 2 er
同理，在 r3< r < r4 区域中，求得 在 r > r4 区域中，求得
E2

q
4π 2r 2
介质与导体的边界条件
静电平衡
导体
㊀㊀㊀ E' ⊕⊕⊕
㊀
㊀ E'
㊀
+
E
=⊕0⊕⊕⊕
㊀
E=0
E
E
可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可 能存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分 布在导体的表面上。
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的 电位梯度为零。所以，处于静电平衡状态的导体是 一个等位体，导体表面是一个等位面。
场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
D1n
1E1n

1
1
n
D2n
2E2n

2
2
n
法向分量的边界条件用电位表示为
1
1
n
2
2
n

S
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
在S 0时，
1
1
n
2
2
0E1n

S

q 4πr12

1 r1
1
0
S2


q 4πr22
S 2

0 E1n

S2

q 4πr22
1
1 r1


0
S3

q 4πr32
S 3

0E2n

S3

q 4πr32

1 r2
1

0
S 0
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
解：忽略边缘效应
1E1 2E2
E1d1 E2d2 U0

E1

2U 0 1d2 2d1
ex
E2

1U 0 1d2 2d1
ex
（b）

1S1 2S2 q0
1 2
1 2
E1 E2 1 ex
S 4

0 (E0n

E2n
)

q 4πr42
1
1 r2


0
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
例 同心球电容器的内导体半径为 a ，外导体的内
半径为 b ，其间填充两种介质，上半部分的介电常数 为 1，下半部分的介电常数为 2，如图所示。设内、 外导体带电分别为 q和 q， 求各部分的电位移矢量
E, D en
介质
en D2
2
1
D1
D2n D1n S
D1n D2n
1E1n 2E2n
S 0 (E2n E1n )
导体
en E 0
en D S
En

S
S n
S en P
2 – 5 静电场的边界条件
已知导体表面是一个等位面，因
En


n
，求得
S
n
考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为
零。求得导体表面束缚电荷面密度为
en P S
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
E2
et
2
1
E1
E1t E2t
边界条件
D1t D2t
1 2
1

q0
1S1 2S2
ex
D2 nS D1 nS q S S n (D2 D1) S
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
D2 nS D1 nS q S S n (D2 D1) S
或
D2n D1n S
如果界面上无自由电荷分布，即S 0 时，边界条件变为
和电场强度.
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
解：
E1 E2 Eer
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
2 1r2E1 2 2r2E2 2 (1 2 )r2E q
E

2
(1
q
2 )r2
D1

er
2
1q (1 2 )r2
D2

er
2
2q (1 2 )r2
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 S1, S2 ,1
和 d1, d2 , 2 ,图(a)已知极板间电压 U0 , 图(b)已知极板上
总电荷 q0 ,试分别求其中的电场强度.
（a）
（b）
介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表 面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，
外部区域为真空，如左下图所示。
0 2
1
① 各区域中的电场强度； ② 各个表面上的自由电
荷和束缚电荷。
可以应用高斯定律求解吗?
2 – 5 静电场的边界条件
n

0
设区域 1 和区域 2 内电场线与法
向的夹角分别为 1 、 2 .
tan1 1 tan2 2
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的
场为 E、D ， 导体的外法向为 n ，则导体表面的边界
条件简化为
Et 0 Dn S
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
er
E0

q
4π 0r 2
er
注意，各区域中的介电常数不同！
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
根据 en D S 及 en P S ，分别求得
0 2
1
r2
r1
r3
r4
r = r1: r = r2: r = r3: r = r4:
S

q 4πr12
S
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
两种介质的边界条件
由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变， 这种变化规律称为静电场的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论 边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。
2 – 5 静电场的边界条件 一 法向边界条件
第二章静电场与恒定电场
或
n (D2 D1) 0
D2n D1n 0
2 – 5 静电场的边界条件 二 切向边界条件
第二章静电场与恒定电场
n (E2 E1) 0 E2t E1t
E dl E1 l1 E2 l2 0 l
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
既然导体中的电场强度为零，导体表面的外 侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场 强度必须垂直于导体的表面，即
介质 导体
E, D en
en E 0
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
导体表面存在的自由电荷面密度为
en D S
或写为
En

S
式中， 为导体周围介质的介电常数。