九年级数学弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积北师大版

初三数学弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积北师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积
［学习目标］
1. 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。

2. 了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

3. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程。

4. 了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题。

二. 重点、难点：
对于弧长和扇形面积公式的研究是联系小学学过的圆的周长和面积公式来探索的。

在计算时应注意对n的意义的理解，n是1°的圆心角的倍数，在探索时不妨采用由简单到复杂的研究方法。

如在研究弧长公式时，我们知道圆的周长是是圆上某点
2πr
转动了360°后的弧长。

如果想求n°的圆心角所对的弧长，可先求出1°的圆心角所对的弧长，再求出n倍即可。

所以，同学都不必死记公式，只要知道公式的来历，既使是忘记了公式，也可以推出来。

对于扇形面积公式的推导公式可仿照弧长公式的推导。

对于圆锥的侧面积，我们可以首先通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个圆面和一个曲面围成的，然后将圆锥沿母线展开，得到一个扇形，这个扇形的半径是l，弧长是底面r r l
周长，所以圆锥的侧面积是，这些公式同样希望同学们会推导，而不是死2ππ
记硬背。

本周的题目大多都是实际应用题，在计算时可采用一些技巧或简单算法能较简单迅速地解决问题，下面以几个例题来说明这个问题。

【典型例题】
例1. ⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是，图中的三个扇形（即三个阴影）的面积之和是多少？
分析：本题要求的是三个阴影的面积之和，我们可以分别求出三个扇形的面积再相加，但由于∠A、∠B、∠C的度数未知，所以让我们感到困难。

但由于是求面积之和，不妨采用提取公因数的简便作法，还可以绕过∠A、∠B、∠C不知度数这个困难。

解：S
n r
S
n r
S
n r A
A
B
B
C
C
扇扇扇
，，
===
πππ
222 360360360
()
∴++ =++
=
⨯
⨯≈
S S S
r
n n n
cm
A B C
A B C
扇扇扇
π
π
2
2
2 360
05
360
180039
.
.
例2. 某家设计公司设计一种扇，纸扇X开的最大角度θ与360°－θ的比是黄金比，那么
分析：利用黄金比可求出θ的大小，继而可以求出纸扇的用纸量，但在求的过程中，公式里的202和52将给我们带来很多计算上的不便。

所以不妨也可以利用简便作法来处理。

解：
θ
θ36051
2
-=
- ∴≈θ1371.o
()S 纸=⨯-1371360
20522.π ()
28.449cm =
例3. 某商场制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm ，高为20cm ，要制作2
分析：要求纸帽展开后的扇形面积，需知母线l 和扇形对的弧长，扇形所对应的弧长即为底面圆的周长，而母线就需要利用由底面半径、高和母线构成的直角三角形来求。

解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则
r =
58
2π
（不必计算，后面也利用其进行简便运算） ()l =⎛⎝ ⎫⎭
⎪+≈292022032
2π.cm
()S r cm 圆锥侧==⨯⨯=πl 1
2
582203638872..
()63887201277742..⨯=cm
答：至少需要2的纸。

例4. 用细铁丝围成下面两种图形，请仔细计算一下哪一个用铁丝多？两个图中大圆的半径都相等。

分析：这个题目是求2个图形圆周长的大小，求圆周长涉及到半径，但此题中利用直径较方便，可设为大圆的直径为d ，在求第2个图中3个小圆的周长时，可利用简便算法，因为三个小圆的直径和就是直径d 。

解：（）中的周长和是12πd
（）中的大圆周长是2πd
()三个小圆的周长=++=++=πππππd d d d d d d 123123
∴周长和是2πd
所以，两个图形的周长一样大
由于本期学习的内容较少，我利用这点时间帮助同学们回顾一下《圆》这章的大体知识。

1. 点和圆的位置关系：
点在圆上点在圆外点在圆内⇔=⇔>⇔<⎧⎨⎪
⎩
⎪d r d r d r 直线和圆的位置关系：
相交相切相离⇔<⇔=⇔>⎧⎨⎪
⎩
⎪d r d r d r 切线的判定定理和性质定理
2. 垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论
3. 圆和圆的位置关系：
相交相切内切外切相离外离内含⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪ 4. 弧长、扇形面积及圆锥的侧面积公式
【模拟试题】
一. 填空题。

1. 已知半径为5cm 的圆的两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则两弦之间的距离为____________。

2. 当两圆内切时，圆心距为2cm ，又知两圆半径之比为2：1，则当这两圆外切时，圆心距为_____________。

3. 要制造一个圆锥形的烟囱帽（如图），使底面半径r 与母线l 的比r ：l ＝3：4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取__________°。

4. 某工厂有一批圆心角为90°，半径为10cm 的扇形铁片余料（如图），现想利用这批余料做易拉罐的底和盖，那么能剪成的最大圆片的半径（不计损耗）为_________cm 。

（结果保留两个有效数字）
二. 选择题。

1. 在⊙O 中，∠=AOB o
84，弦AB 所对的圆周角是（） A. 42° B. 138° C. 69° D. 42°或138°
2. 如图，⊙O 1的弦AB 是⊙O 2的切线，且AB O O //12，如果AB cm =12，那么阴影的面积是（） A. 362
πcm
B. 122
πcm
C. 62
πcm
D. 无法确定
3. 如图，三个半径为r 的等圆两两外切，且与等边∆ABC 的三边分别相切，则∆ABC 的
边长为（） A. 2r
B. ()
23+r
C. 3r
D. ()
213+r
4. ∆ABC 的内切圆与三边的切点构成∆∆A DEF BC ，的内心就是∆DEF 的（） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 不确定
5. 有一跑道如图所示（单位是m ），若起跑点设在A 处，一同学沿图中虚线跑3000m ，估算终点在（计算精确到1m ）（） A. A 处 B. B 处 C. C 处 D. D 处
三. 解答题。

1. 如图，已知在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，D 是AB ⋂
的中点，连接AD ，
求BC 、AD 和BD 的长。

2. 已知：等腰三角形ABC 的底边BC 的长为12cm ，顶角为120°，作出图形，并求它的外接圆的直径。

3. 已知：AB ＝AC ，AB 为⊙O 直径，BC 交⊙O 于D ，DE ⊥AC 于E ，你认为DE 是⊙O 的切线吗？
4. 已知Rt ABC ∆中，∠=C o
90，AB cm AC cm ==135，，以直线AB 为轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的表面积。

5. 某公园计划一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为如图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需要的材料多？
（即比较哪个周长更长）
6. 某城市的户外大标语牌上，要画如图的所示的阴影部分的三种标点符号：句号、逗号、问号。

已知大圆半径为R ，小圆半径为r 且R ＝2r ，若均匀用料，问哪一种标点符号的油漆用得最多？
7. 如图，⊙O 中的弦BC ＝6cm ，圆周角∠=BAC o
60，求图中阴影部分的面积。

8. 画三个半径分别为1cm 、2cm 、3cm 的圆，使它们两两外切。

试题答案
一. 填空题。

1. 1cm 或7cm
2. 6cm
3. 270°
4. cm
二. 选择题。

1. D 2. A 3. D
4. A
5. C
三. 解答题。

1. 解：先证∠=ACB o
90，再利用勾股定理求出BC cm =8，再得AD BD =，最后求出AD BD cm ==52 2. 解：连接OA 、OB
AB AC BAC ABC ACB AOB o o
o
=∠=∴∠=∠=∴∠=，1203060
又 OA OB AOB =∴，∆为等腰三角形
∴∠=∴⊥∴==∴=OBC OA BC BD DC B o 30643
，，O
∴直径为83cm
3. 解：连接AD 、OD
∵AB 是直径，∴∠=ADB o
90∴⊥AD BC
又∵AB ＝AC ，∴==B D DC OA OB ， ∴OD ∥AC
又∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE 4.
1020
13
2πcm 5. 解：设大圆直径为d ，周长为1，（2）中三个小圆直径分别为d d d 123、、，周长分别为l 1、l 2、l 3，由()l l l l ==++=++=++πππππd d d d d d d 123123123 可见，图（2）大圆周长与三个小圆周长加起来一样长，即两种方案所用材料一样多。

6. S S S r 句号大圆小圆=-=32π
S S r S S S r 逗号大圆问号大圆小圆=
==+=1
2
23
4
422
ππ
S S S 问号句号逗号>>∴问号用的油漆最多 7. ()
4332π-cm
8. 这三个圆的圆心将构成一个边长为3、4、5的直角三角形。