几何形的角平分线认识角平分线的性质与应用

几何形的角平分线认识角平分线的性质与应
用
几何形的角平分线
几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

本文将探讨角平分线的性质和应用。

一、角平分线的定义
定义：角AOB的一条射线OC被称为角AOB的一条平分线，当且仅当OC把角AOB分成两个相等的角。

二、角平分线的性质
1. 角平分线的两个性质
（1）在一定平面内，如果一条线段OC是一角AOB的平分线，那么它必定只有一条。

（2）如果在一条角的内部取一点C，那么OC是AB的平分线，当且仅当∠AOC=∠BOC。

2. 角平分线定理
角平分线定理是指：一个点在角的平分线上，当且仅当它到两条角的边距离相等。

（1）a在OC上，则AO=BO；
（2）d在OE上，则OD=OE。

3. 角平分线的应用
（1）内角平分线的应用
在三角形ABC中，D为边BC上一点，AD是∠BAC的平分线，AE是∠CAD的平分线，如图所示。

[图]
根据角平分线定理:
AD是∠BAC的平分线，则AB/AC=BD/CD；
AE是∠CAD的平分线，则AC/AB=CE/BE。

故有 BD/CD=CE/BE，两边同乘BC，可得 BD·BC=CE·BC，即BD·DC=CE·BE，这就是角平分线定理的应用。

（2）角平分线定理的推论
在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥AC，则BD/CD=BF/CE。

因为三角形ADE与三角形BDF和三角形
CDE都相似，所以BD/CD=BF/CE。

（3）外角平分线的应用
在三角形ABC中，D和E分别为BC和AC的延长线上的点，AF是∠A的外角平分线，如图所示。

[图]
连接DE并延长到与AF相交于点G，根据梅涅劳斯定理可得：
BD/CD·AE/CE·AF/BF=1
又根据角平分线定理可得：
BD/CD=AB/AC
AE/CE=AB/BC
AF/BF=AB/BC
带入可得：AB/AC·AB/BC·AB/BC=1，整理可得： AB²=AC·BC，这就是外角平分线应用的定理。

三、总结
角平分线的性质和应用是几何中非常重要的内容，不仅在初中学习中有一定的难度，在高中数学中也会有所涉及。

因此，深入理解角平分线的概念和性质，掌握其应用技巧对于加深对数学知识的认识和提高解题能力都有极其重要的作用。