河南省实验中学-高三数学第一次月考(理)

河南省实验中学2008—2009学年度高三年级试题
理科数学试题卷
本试卷分为试题卷和答题卷两部分．共150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目填写在答题卷上。

将答案写在答题卷相应位置。

2．每小题选出答案后，把答案填在答题卷对应题目的位置，如需改动，用橡皮擦干净后，再填写其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）．
1．10件产品，其中3件是次品，任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则ξE 等于
A ．
5
3
B ．
15
8
C ．
15
14
D ．1
2．如果复数m i
i
m ++12是纯虚数，那么实数m 等于
A ．-1
B ．0
C ．0或1
D ．0或-1
3．若1)11(2
1lim =---→x b
x a x ,则常数b a 、
的值为 A ．4,2=-=b a B ．4,2-==b a C ．4,2-=-=b a D ．4,2==b a 4．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是
5．若函数x e x f x
sin )(=，则此函数图象在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为
A ．
2
π
B ．0
C ．钝角
D ．锐角
6．满足条件i i z 43+=-的复数z 在复平面上对应点的轨迹是
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
7．已知一个命题P （k ）,k=2n （n ∈N ）,若n=1,2,…,1000时,P （k ）成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是
A ．P （k ）对k=2004成立
B ．P （k ）对每一个自然数k 成立
C ．P （k ）对每一个正偶数k 成立
D ．P （k ）对某些偶数可能不成立
8．在数列{}n a 在中，5
42
n a n =-，2
12n a a a an bn ++
=+，*
n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n
n n
n a b a b
→∞-+的值是
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
9．函数f （x ）是定义在()+∞,0上的非负可导函数，且满足()()0/
≤+x f x xf ，对任意正数a 、b ，若a< b,
则必有
A ．()()b f a af ≤
B ．()()a f b bf ≤
C ．()()a bf b af ≤
D ．()()b af a bf ≤
10．若三棱锥的顶点S 在底面上的射影H 恰好是底面三角形的三条高的交点，则三棱锥必有
A ．三条侧棱长相等
B ．三个侧面与底在所成的二面角相等
C ．三条侧棱分别与它相对的棱垂直
D ．一定是正三棱锥
11．如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，H 是该沙漏中沙面下降的高度，则H 与下漏时间分(t ）的函数关系用图象表示应该是
12．设p:()12ln 2++++=mx x x e x f x O 在()+∞,0内单调递增，q ：m≥-5,则p 是q 的 条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知复数z 满足z （1+1）=2，则z 的虚部是
14．设n l 为（1+x ）n 展开式中2
x 的系数，则=+++∞→)1....11(lim 32
n n l l l ．
15．一个袋子里装有大小相同的3个红球与2个白球，从中同时取出2个球，则其中取出红球个数的数学期望为 ．（用数字作答）
16．关于函数⎩
⎨⎧>-≤-=-）（）
（0 120 2)(x ax x e x f x ，（a 是常数且a ＞0）。

对于下列命题：
①函数)(x f 的最小值是 -1； ②函数)(x f 在每一点处都连续； ③函数)(x f 在R 上存在反函数；
④函数)(x f 在0=x 处可导；
⑤对任意0 ,021<<x x 且21x x ≠，恒有2
)
()()2(2121x f x f x x f +<
+。

其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知M ()(){}
,22,122i m m m m -++-=P {}P P M i =⋃-=若,4,1,1，求实数m ．
18．（ 本小题满分12分）
某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。

若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为8
1
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过21，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
32
9。

（1）求小李第一次参加考核就合格的概率1p ； （2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望。

求函数2)1(4
1
ln )(--=x x x f 在[1，3]上的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底
21．（本小题满分12分）
设a 为正实数，函数f （x ）=x 3－ax 2－a 2x+1, x ∈R ． （1）求f （x ）的极值；
（2）设曲线y=f （x ）与直线y=0至多有两个公共点，求实数a 的取值范围．
在数列{a n }中，*)()
1(2,25
211N n a a a a n n n ∈-==+．
（1）用数学归纳法证明：a n >2（n ∈N*）; （2）对于n ∈N*，证明
①)2(2
1
21-<
-+n n a a ②a 1+a 2+a 3+…+a n <2n+1
河南省实验中学2008—2009学年度高三年级试题
理科数学参考答案
一 、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．-1； 14．2； 15．1．2； 16．①②⑤ 三、解答题
17．解：P P M =⋃由知M 是P 的子集，从而可知
()()
i m m m m
2222
-++-=-1或41 ． …………………………………（2分）
由()()i m m m m 222
2
-++-=-1，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0
21
222m m m m ，解之得:m=1…………（5分）
由(
)(
)
i m m m m 222
2-++-=41，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-4
20
222m m m m ，解之得:m=2 …………（8分）
综上可知: m=1或 m=2…………………………………………………………（10分） 18．解：（1）根据题意，得 1119(1)()832p p -+=
，解得114p =或158
p =． ∵112p ≤
，∴114p =，即小李第一次参加考核就合格的概率为1
4
………（5分） （2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为
1315
,,,4828
， ∴1(1)4P ξ==
，9(2)32P ξ==，13115(3)(1)(1)48264
P ξ==--⋅=……（8分） 13115
(3)(1)(1)(1)148264
P ξ==--⋅-⋅= ………………………………（10分）
∴小李参加测试的次数ξ的数学期望为
191515157
1234432646464
E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=………（12分）
19．解：)1(21
1)(--=
'x x x f ……………………………………………………（2分） 由0)1(2
1
10)(=--='x x x f 得
化简得x 2－x －2=0 解得x 1=－1（舍）或x 2=2………………………………（4分） 当x ∈（1，2）时，)(x f '>0，f （x ）在x ∈（1，2）上单调递增，
当x ∈（2，3）时，)(x f '<0， f （x ）在x ∈（2，3）上单调递减…………（6分） 又f （x ）在[1，3]上连续，所以f （2）=ln2－4
1
为函数f （x ）的极大值…………（8分） 又∵f （1）=0，f （3）=ln3－1>0
∴f （3）>f （1） 所以f （1）=0是函数f （x ）在[1，3]上的最小值， f （2）=ln2－
4
1
为f （x ）在[1，3]的最大值…………………………………………（12分） 20．（1）证明：在矩形ABCD 中，BC ⊥AB
又∵面PAB ⊥底面ABCD 侧面PAB∩底面ABCD=AB ，∴BC ⊥侧面PAB…（2分） 又∵BC ⊂侧面PBC ，∴侧面PAB ⊥侧面PBC………………… （4分） （2）解：取AB 中点E ，连结PE 、CE
又∵△PAB 是等边三角形，∴PE ⊥AB 又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD
∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角………………………………………（6分）
2
PE BA CE =
===在Rt △PEC 中，∠PCE=45°为所求…………………………………………（8分） （3）解：在矩形ABCD 中，AB//CD
∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB//侧面PCD 取CD 中点F ，连EF 、PF ，则EF ⊥AB 又∵PE ⊥AB ，∴AB ⊥平面PEF
又∵AB//CD ，∴CD ⊥平面PEF ，∴平面PCD ⊥平面PEF…………………（10分） 作EG ⊥PF ，垂足为G ，则EC ⊥平面PCD 在Rt △PEF 中，EG=
5
30
=
⋅PF EC PE 为所求……………………………… （12分） 21．解：（1）f′（x ）=3x 2－2ax －a 2……………………………………………………2分
由f′（x ）=3x 2－2ax －a 2=0，得x 1=－
3
a
，x 2=a, （a>0）
……………………………………………………………………………………5分
∴f （x ）（极大）=f 127
513927)3(3
333+=++--
=-a a a a a f （x ）（极小）=f （a ）=a 3－a 3－a 3+1=1－a 3……………………………………………7分 （2）∵f （x ）在（－∞，－
3a ）上递增，在（－3
a
,a ）上递减，在（a,+ ∞）上递增， f （x ）（极大）=
27
5 a 3
+1>0………………………………………………………………9分 ①当极小值f （a ）=1－a 3≥0，即0<a≤1时，y=f （x ）与y=0在x ∈（－3
a
，+∞）上有1个或0个
公共点，此时f （－1）=a （a －1） ≤0
∴y=f （x ）与y=0 在x ∈（－∞，－
3
a
）上有1个公共点 ∴0<a≤1时，y=f （x ）与y=0有1个或2个公共点……………………………11分 ②当极小值f （a ）=1－a 3<0即a>1时，y=f （x ）与y=0在x ∈（－
3
a
，+∞）上有2个公共点，此时f （－a ）=1－a 3<0
∴y=f （x ）与y=0 在x ∈（－∞，－
3
a
）上有1个公共点 ∴a>1时，y=f （x ）与y=0有3个公共点………………………………………13分 综上，0<a≤1……………………………………………………………………14分
22．（1）证明：当n=1时，a 1=
2
5
>2，结论成立………………………………（1分） 假设n=k （k≥1）不等式a k >2成立
当1n k =+时，2
112()
k k k a a a +-=，
)
1(2)2()1(2442)1(222
221--=
-+-=--=-∴+k k k k k k k k a a a a a a a a 由a k >2得a k+1－2>0即a k +1>2 说明当n=k+1时，不等式也成立
根据以上，可知不等a n >2对于n ∈N*都成立。

……………………（5分）
②由（1）可知，当n≥2时，
n n n n n n a a a a a 2
1)2(21)2(21)2(21)2(2121133221=-⋅<<-<-<-<
----- 则n
n a 21
2+
< 12323111
1
(2)(2)(2)(2)222
2n n
a a a a ∴+++
+<++++++
++
2311(1)
11111222(
)221211222
2212
n n n
n n n n -=+++++=+=+-<+- 当1122
5
,11+⨯<=
=a n 时，不等式也成立，故对于任意n ∈N*，都有a 1+a 2+a 3+…+a n <2n+1………………（12分）。