北师大版九(下)数学1.4解直角三角形同步检测(原创)

北师大版九（下)数学1.4解直角三角形同步检测（原创) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ）
A B ．14 C D 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin A ＝2
B ．tan A ＝12
C ．cos B ＝2
D ．tan B 3．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到达山顶B 缆车需要16分钟，则山的高度BC 为（ ）
A ．800sin32⋅o
B ．800tan 32o
C ．800tan 32⋅o
D ．800sin 32o
4．已知Rt ABC V 中，90C ∠=︒，AB =1tan 2A =
，则BC 的长是（ ）
A ．2
B ．8
C ．
D ．5．如图，一个木块沿着倾斜角为47︒的斜坡，从A 滑行至B 巳知5AB =米，则这个木块的高度约下降了（参考数据：470.73sin ︒≈，cos470.68︒≈，tan 47 1.07︒≈）
（ ）
A ．3．65米
B ．3．40米
C ．3．35米
D ．3．55米 6．如图，在菱形ABCD 中，D
E ⊥AB ，cos A ＝35
，则cos ∠DBE 的值是（ ）
A ．12
B ．4
C
D ．3
7．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )
A ．tan tan αβ
B ．sin sin βα
C ．sin sin αβ
D ．cos cos βα
8．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=3，点E 时BC 上一点，且AE=AD,过点D 做DF ⊥AE 于F ，则tan ∠CDF 的值为（ ）
A ．35
B ．34
C ．2
3 D ．4
5
二、填空题
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯
子顶端距离地面45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．
10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin 2
A ＝_____． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝23
，那么线段AB 的长是_____．
12．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan C ＝
BAC ＝105°，AC ＝2，那么BC 的长度为_____．
13．如图，在点B 处测得塔顶A 的仰角为α，点B 到塔底C 的水平距离BC 是30m ，那么塔AC 的高度为_________m （用含α的式子表示）.
14．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝
∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．
15．如图，Rt AOB V ，90AOB ∠=︒，顶点,A B 分别在反比例函数1(0)y x x
=>与
10(x 0)y x
=-<的图象上，则tan BAO ∠的值为_____．
三、解答题
16．如图所示，在四边形ABCD 中，AB =AD =，2BC =，30︒∠=CAD ，90D ︒∠=，求ACB ∠的度数？
17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，若BC ＝6，sin A ＝35
，求DE 的长．
18．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BD ⊥AC 于点D ，sin A ＝1213
（1）求BD 的长；
（2）求tan C 的值．
19．如图，在直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35
．求：(1)点B 的坐标；(2)cos ∠BAO 的值．
20．如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan ∠ABC=
34
． （1）求边AC 的长； （2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB
的值．
21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+()0a ≠的图象与反比例函数k y x
=()0k ≠的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为()2,m ，点B 的坐标为(),2n -，2tan 5BOC ∠=
．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x 的不等式k ax b x +<
的解集； （3）连接OA ，求ABO ∆的面积．
22．在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现：“如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，可探究得到sin sin a b A B
=”
（1）请你利用图1探究说明小亮的说法是否正确；
（2）小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一定的关系“在图2的钝角ABC V 中，B Ð是钝角，请你利用图2帮小丽探究sin a A 与sin c C
之间的关系，并写出探究过程． （3）在锐角ABC V 中，sin a A ，sin b B ，sin c C
之间存在什么关系，请你探究并直接写出结论．
参考答案
1．A
【解析】
∵在Rt △ABC 中,∠C =90°
，AB =4，AC =1，
∴BC ，
则cos B =
BC AB =4 ， 故选A
2．D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求解．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2．
∴AC =
∴sinA ＝
1
2BC AB =，tanA ＝3BC AC ==，cosB ＝12BC AB =，tanB ＝AC BC = 故选：D ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义． 3．A
【解析】
【分析】
作BC ⊥AC ，垂足为C ．在Rt △ABC 中，利用三角函数解答即可．
【详解】
如图，作BC ⊥AC ，垂足为C ．
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°
，∠BAC =32°，AB =50×16=800，sin ∠BAC =BC AB
，∴BC =AB • sin ∠BAC =800•sin32°（米）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键． 4．A
【解析】
【分析】
根据题意可以设出BC 和AC 的长度，然后根据勾股定理可以求得BC 的长即可．
【详解】
解：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，12AB tanA ==
∴设BC=a ，则AC=2a ，
∴222(2)(a a +＝，
解得，a=2或a=-2（舍去），
∴BC=2.
故选：A ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．A
【解析】
【分析】
过点A 作AC 垂直于水平线，交于点C ，构造t R ABC V ，解直角三角形，求出AC ，AC 即木块下降的高度.
【详解】
本题考查三角函数的定义．过A 点作水平面的垂线AC ，垂足为C ，则sin 47AC AB
︒=
，故50.73 3.65AC ≈⨯=（米）
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
由cos ∠A ＝
AE AD ＝35，可以假设AE ＝3k ，AD ＝5k ，则DE ＝4k ．想办法求出BE ，BD 即可解决问题．
【详解】
解：∵DE ⊥AB ，
∴∠AED ＝90°，
∵cos ∠A ＝AE AD ＝35
， ∴可以假设AE ＝3k ，AD ＝5k ，则DE ＝4k ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ＝5k ，
∴BE ＝2k ，
∴BD ，
∴cos ∠DBE ＝
BE
BD ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．B
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；
【详解】
在Rt △ABC 中，AB=AC sin α
，
在Rt △ACD 中，AD=AC sin β
， ∴AB ：AD=
AC sin α：AC sin β=sin sin βα
， 故选B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 8．B
【解析】
【分析】
根据直角三角形中角的互余结合等量代换思想解答即可.
【详解】
解：在矩形ABCD 中，AD=5，AB=3，且AE=AD
BE 4∴==
DF ⊥AE ADF DAF 90? ADF CDF 90? CDF DAF ∠∠∠∠∠∠∴+=︒+=︒∴= 同理可得：DAF AEB? CDF AEB ∠∠∠∠=∴=
∴tan ∠CDF=tan ∠AEB=
34
. 故选B.
【点睛】 此题重点考察学生对矩形性质的理解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.
9．2+
【解析】
【分析】
本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC 中，用正切和正弦，分别求出BC 和AC （即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE 中，用∠DCE 的余弦求出DC ，然后把BC 和DC 加起来即为巷子的宽度．
【详解】
解：如图所示：
米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE. 则在直角三角形ABC中,
AB BC ＝tan∠ACB＝tan60°
，
AB AC ＝sin∠ACB＝sin60°
＝
2
,
∴BC
＝2，AC
4，
∴直角三角形DCE中，CE=AC=4，
∴CD
CE
＝cos45°
＝
2
，
∴CD＝
CE×
2＝
4×
2
＝
∴BD＝
,
故答案为：
.
【点睛】
本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．
10．1 2
【解析】
【分析】
根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【详解】
解：∵sin BC A AB =
= ∴∠A ＝60°， ∴1sin
sin 3022
A ︒==． 故答案为12． 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
在Rt BDC V 中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出BD ，在在Rt ABD V 中，再求出AB 即可．
【详解】
解：在Rt △BDC 中，
∵BC ＝4，sin ∠DBC ＝23
， ∴28sin 433
CD BC DBC =⨯∠=⨯=，
∴3
BD ==， ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，
∴∠A ＝∠DBC ，
在Rt △ABD 中，
∴3sin 2
BD AB A ===
故答案为：
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
12．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到∠C ＝30°，根据三角形的内角和得到∠CAD ＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：∵tan C ＝
3， ∴∠C ＝30°，
∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，
∴∠CAD ＝60°，
∵AC ＝2，
∴AD ＝12
AC ＝1，CD ∵∠BAC ＝105°，
∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°．
在Rt △ADB 中，BD ＝AD ＝1，
∴BC ＝
故答案为
【点睛】
本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
13．30tan α
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵在点B 处测得塔顶A 的仰角为α，
∴∠B ＝α，
∵BC ＝30m ，
∴AC ＝BC •tan α＝30tan α，
故答案为30tan α．
【点睛】
此题考查了解直角三角形−仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用．
14．（3）
【解析】
【分析】
如图，作B′H ⊥y 轴于H ．解直角三角形求出B′H ，OH 即可．
【详解】
如图，作B′H ⊥y 轴于H ，
由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′H=30°，
∴AH′=12
A′B′=1，B′H= ∴OH=3，
∴B′（3），
故答案为：（3）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15
【解析】
【分析】
过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，于是得到90BDO ACO ∠=∠=︒，根据反比例函数的性质得到5BDO S ∆=，12
AOC S ∆=，根据相似三角形的性质得到25()1012
BOD OAC S OB S OA ∆∆===
，求得OB OA = 【详解】
解：如图，过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，
则90BDO ACO ∠=∠=︒，
Q 顶点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x =
>与10(x 0)y x =-<的图象上， 5BDO S ∆∴=，12
AOC S ∆=， 90AOB ∠=︒Q ，
90BOD DBO BOD AOC ∴∠+∠=∠+∠=︒，
DBO AOC ∴∠=∠，
BDO OCA ∴∆∆∽， ∴25()1012
BOD OAC S OB S OA
∆∆===，
∴OB OA
tan OB BAO OA ∴∠=
=
．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．
解题时注
意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
16．90ACB ︒∠=
【解析】
【分析】
设CD 为x ,根据勾股定理列出等式算出x 的值,再代入计算即可．
【详解】
解:设CD x =，
∵90D ︒∠=，30︒∠=CAD ，
∴22AC CD x ==
在Rt ACD ∆中，由勾股定理得222CD AD AC +=，即()2222x x +
= 解得1x =，∴1CD =，2AC =
∵2222228AC BC +=+=，(228AB ==
∴222AC BC AB +=
∴90ACB ︒∠=．
【点睛】
本题考查解直角三角形和勾股定理的运用,关键在于利用勾股定理逆运算的运用． 17．154 【解析】
【分析】
先在Rt △ACB 中利用三角函数求出AB 长，根据勾股定理求出AC 的长，再通过证△ADE ∽△ACB ，利用对应边成比例即可求.
【详解】
解：∵BC ＝6，sinA ＝
35， ∴AB ＝10，
∴AC =，
∵D 是AB 的中点，
∴AD＝1
2
AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB，
∴DE
BC
＝
AD
AC
，即
DE
6
＝
5
8
，
解得：DE＝15
4
．
【点睛】
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
18．（1）12；（2）3 2
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．【详解】
解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sin A＝12 13
∴
12
,
13 BD
AB
=
即
12
, 1313 BD
=
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
123
.
82 BD
DC
==
【点睛】
此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
19．（1）(43)
，；（2．
【解析】
【分析】
（1）作BH ⊥OA ， 垂足为H ，在Rt △OHB 中，根据锐角三角函数的定义及已知条件求得BH 的长，再根据勾股定理求得OH 的长，即可得点B 的坐标；（2）先求得AH 的长，在Rt △AHB 中，根据勾股定理求得AB 的长，根据锐角三角函数的定义即可求得cos ∠BAO 的值．
【详解】
解： (1)如图所示，作BH ⊥OA ， 垂足为H ．
在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝
35
， ∴BH=3，∴OH ＝4，
∴点B 的坐标为(4，3)．
(2)∵OA ＝10，OH ＝4，
∴AH ＝6．
在Rt △AHB 中，
∵BH=3，
∴AB ==
∴cos ∠BAO=
AH AB == ． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．
20．（1）；（2）
35
AD BD =． 【解析】
【分析】（1）过A 作AE ⊥BC ，在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AC 的长即可；
（2）由DF 垂直平分BC ，求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，
利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=
3
4
AE
BE
=，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：；（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=5
2
，
∵tan∠DBF=
3
4 DF
BF
=，
∴DF=15
8
，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8
，
∴AD=5﹣25
8
=
15
8
，
则
3
5 AD
BD
=．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.
21．（1）
10
y
x
=；y=x+3；（2）x＜-5或0＜x＜2；（3）
21
2
【解析】
【分析】
（1）先根据解直角三角形求得点B的坐标，利用点B的坐标求得反比例函数解析式，然后求得A点坐标，再利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，；
（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标
的集合即可；
（3）求出直线AB 与y 轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求得△AOB 的面积；
【详解】
解：过点B 作BM ⊥x 轴 由2tan 5
BOC ∠=，(),2n - ∴25BM OM =，即225
OM =，解得：OM=5 ∴B （-5，-2）
将B （-5，-2）代入k y x
=中，k=10 ∴反比例函数的解析式为：10y x =
将A ()2m ，代入10
y x
=中，m=5 ∴A （2，5）
把A （2，5）和B （-5，-2）代入y ax b =+中
2552a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得13
a b =⎧⎨=⎩ ∴一次函数的解析式为：y=x+3；
（2）由图像可知，当x ＜-5或0＜x ＜2时，一次函数值小于反比例函数值 ∴不等式k ax b x
+<的解集为：x ＜-5或0＜x ＜2；
（3）连接OA ，直线AB 与y 轴交于点E
在y=x+3中，当x=0时，y=3
∴OE=3
∴11213532222
AOB AOE BOE S S S =+=
⨯⨯+⨯⨯=V V V ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
22．（1）小亮说法正确；（2）
sin sin a c A C =，探究过程见解析；（3）sin sin sin a b c A B C == 【解析】
【分析】
（1）分别利用∠A ，∠B 的正弦值求出斜边c 的长度，从而判断小亮的说法是否正确； （2）过点B 作BD AC ⊥于D 点，利用∠A ，∠C 的正弦值求出BD 的长，从而得到sin sinC c A a ⋅=⋅，将等式进行变形得到结论；
（3）过点A 作AM ⊥BC ，过点B 作BN ⊥AC ，分别在Rt △ABM 和Rt △ACM 中求出
sin c sin b AM ABC C =∠=g g ，从而得到sin sin b c ABC C
=∠，在Rt △ABN 和Rt △BCM 中，求出sin c sin a BN BAC C =∠=g g ，从而得到
a c =sin sin BAC C ∠，从而问题得解． 【详解】
解：（1）∵在Rt ABC △中，sin a A c
= ∴sin a c A
=
∵sin b B c
= ∴sin b c B =
∴sin sin a b A B
= ∴小亮说法正确；
（2）解：过点B 作BD AC ⊥于D 点，
∵在Rt △ABD 中，sin BD A C
=
∴sin BD c A =⋅
∵在Rt CBD △中，sin BD C a =
∴sin BD a C =⋅
∴sin sinC c A a ⋅=⋅ ∴sin sin a c A C
=； （3）过点A 作AM ⊥BC ，过点B 作BN ⊥AC
在Rt △ABM 和Rt △ACM 中，sin c sin b AM ABC C =∠=g g ∴sin sin b c ABC C
=∠ 在Rt △ABN 和Rt △BCM 中，sin c sin a BN BAC C =∠=g g ∴
a c =sin sin BAC C
∠ ∴a c =sin sin sin b BAC ABC C =∠∠ 即sin sin sin a b c A B C
==．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握正弦公式正确推理计算是解题关键．。