3D应力场的可视化技术研究

3D 应力场的可视化技术研究
摘 要
众所周知，场是现实世界中的物理量与空间或时间关系的一种表现形式，它是物质存在的一种形态。

物理量在空间区域内的分布可表示为空间位置的函数，这样的函数称为场。

在空间区域内，如果某物理量为标量函数，那么这个物理量就称为数量场或标量场；如果为向量函数，那么这个物理量称为向量场或矢量场；如果为张量函数，那么这个物理量就称之为张量场。

张量场广泛地存在于自然界中，其信息量丰富，数据量庞大，难于表达。

力学工程计算中有很多问题是张量场问题，比如布西内斯克问题中的应力场就是典型的张量场，这对于进一步的理解场中各物理量之间的关系和规律带来了很大的困难。

张量场可视化旨在能够直观的表现场中应力的分布情况，进而揭示场中各物理量之间的关系和规
律，具有重要的现实意义和工程价值。

本文以弹性理论为基础，导出应力张量可视化模型。

并用矢量点图标和标量点图标来表达一点的应力状态。

关于应力张量场的可视化，本文介绍了应力张量场的可视化的步骤，并以弹性理论中的布西内斯克等问题为例，说明了应力张量场的可视化的基本步骤，给出了可视化结果。

关键词：应力状态 点图标 张量场 可视化
装 订 线
Research for Visual Technique of 3D Stress Field
ABSTRACT
As we know, a field in the natural world is a representation form of physical quantity with respect to space or time ; it is a state of material existence. A physical quantity can be expressed
with a function defined in a three dimensional domain, called a field. If the physical quantity is a scalar
function, it called a scalar field; if the physical quantity is a vector function, it called a vector field; if the physical quantity is a tensor function, it called a tensor field. The tensor fields have
common existence in the natural world, which contain a lot of data sets and a large of information, hard to represent. In me chanics and engineering computing, many problems refer to the tensor field, for
example, the stress field of Boussinesq problem is a tensor field. This has led to great difficulties for us to understand the law of physical relationship. Visualization of tensor field aims to indicate
the physical law, which has great theory and engineering significance.
Based on elastic theory, this paper gets the stress tensor visualization models; gains the scalar
icon and vector icon representation to describe a point of stress station; gives the visualization of the tensor field taking two typical examples.
Key words ：Stress state Icon Tensor field Visualization
装 订 线
目 录
一 引言........................................................................01 二 应力张量的可视化模型................................................02 2.1 应力张量的矢量点图表达........................... ..................02 2.11 描述方程.....................................................................02 2.12 应力张量的矢量点图......................................................03 2.2 应力张量的标量点图表达......... ....................................06 2.21 描述方程.....................................................................06 2.2 应力张量的标量点图.................. (06)
三 应力场的可视化表达...................................................10 3.1 半空间无限体受法向集中力.................. ........................10 3.2 半空间无限体边界上受切向集中力....................................15 四 结语........................................................................21 参考文献..................... ......................................................22 致谢....................................... (23)
装 订 线
一 引言
二阶张量场是连续介质力学中最常见的一类张量，在众多科学技术和工程领域有着广泛的应用。

张量场具有包含信息量大和内部机制复杂的特点。

三维二阶张量有九个分量，它们综合效果反映了张量场固有的物理性质。

过去人们大多采用数值模拟和实验的方法来认识和学习它们。

现在随着计算机硬件的发展，计算机在科学技术和工程中的应用已相当普遍。

随着计算机可视化技术的发展，可以更直观的描述张量场的性质。

对于人们学习和认识它们更加快捷和方便。

当今科学计算可视化的研究对象主要集中在三维数据场的可视化，其来源于固体力学、流体力学、结构工程有限元分析、医学等领域中的数据集[3-8]，其可表示为分布于体空间的单值函数),,(z y x f V ，当V 为标量时则为标量场，当V 为矢量时则为矢量场。

目前，标量场的可视化则采用常规的可视化技术，相对也比较成熟；而矢量场的可视化的研究虽已
取得一些成就，但也不尽人意，主要是因为找到矢量场数据显而易见的可视化表达方式比较困难。

例如，流场可以采用流线来表达，流线的切向方向表达流体质点的速度方向，但速度的大小无法同时表达清楚。

目前，人们采用的方法一般是将矢量场中的矢量转化为标量来表达。

同三维标量场比较，三维矢量场的可视化更有难度，而张量场的可视化则更具挑战性，目前仅处于起步阶段[9-12]。

应力张量有九个标量，考虑应力张量的对称性，独立的参数只有六个。

目前张量场可视化的方法是在张量场中取有限个离散的点，然后分别在一个点处将张量用一个图标来表示，其目的是显示尽可能多的物理信息，进而表现出张量场的性质。

本文将应力张量的可视化的用两类点图标表达，一种为标量点图标，即把某个平面上的应力的模长绘制于其法线方向上，用法线方向的线段的长度来表示其大小；另一种方法为矢量点图标，即将某平面上的应力的模长绘于其真实方向上，从而表达其真实的大小和方向。

综合这两种方法并通过这两种方法的比较来表现应力张量场的性质。

本文先从应力张量的可视化模型进行分析，利用物体内一点处任意斜截面上总应力、正应力和剪应力的公式导出应力张量的矢量点图的可视化模型和应力张量的标量点图的可视化模型。

并对其进行分析，讨论其利弊。

最后，以某些典型应力场为例，给出其应力张量场的可视化结果。

装 订 线
二 应力张量的可视化模型
2.1 应力张量的矢量点图表达
物体内一点处在某斜面上的应力是矢量，不同法向斜面上的应力大小和方向是不同的，为了描述应力的大小和方向，以原点为始点，将应力矢量的末端，绘出其末端的轨迹，一般为一空间曲面，称为应力张量的点图（标）。

2.1.1 描述方程
(1) 总应力矢量点图的描述方程
弹性体内一点的应力状态可用应力张量表达。

设弹性体受载后，一点(,,)T x y z =r 处的应力张量为
x xy xz ij yx y yz zx zy z P ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
σττστστττσ
由Cauchy 应力公式，对于过点(,,)T x y z =r ，单位外法向为(,,)T l m n =N 的任意斜面上的总应力为
N P =⋅p N （2-1-1）
或
Nx x xy xz N Ny yx y yz Nz zx zy z p l p m p n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭στττστττσp （2-1-2）
其中,,l m n 为N 的三个方向余弦，满足
2221l m n ++= （2-1-3）
总应力N p 的模N p 为
N p =
（2-1-4）
(2) 正应力矢量点图的描述方程
斜面上的正应力N σ的大小（含正负号）为
装 订 线
()N N P =⋅=⋅⋅σN p N N （2-1-5）
()x xy xz N yx y yz zx zy z l l
m n m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭σττστστττσ （2-1-6）
斜面上的正应力的矢量形式为
N N N l m n ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
σσσN （2-1-7）
其中N σ按（2-1-6）计算。

(3) 剪应力矢量点图的描述方程
由
N N N =-τp σ，N N N -στ=p N （2-1-8）
()N N P I -⋅στ=N （2-1-9）
其中ij I =δ为单位张量，N σ按（2-1-6）计算。

（2-1-9）写成矩阵形式为
Nx x N xy xz N Ny yx
y N yz zx zy z N Nz l m n ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭τσσττττσστττσσττ （2-1-10）
剪应力N τ的模N τ为
N τ= （2-1-11）
也可按下式计算
N τ== （2-1-12）
其中N σ按（2-1-6）计算。

2.1.2 应力张量的矢量点图
由应力张量总应力、正应力和剪应力矢量点图的描述方程（2-1-2）、（2-1-7）、（2-1-10）及其（2-1-6）式，可分别得到应力张量总应力、正应力和剪应力的三维矢量点图。

下面以应力张量()213;171;313ij σ=-----为例，给出三维应力张量矢量
装 订 线
点图的可视化结果。

见图2-1，图2-2和图2-3。

(1) 总应力的矢量点图
图2-1 三维应力张量总应力矢量点图
(2) 正应力的矢量点图
图2-2 三维应力张量正应力矢量点图
装 订 线
(3) 剪应力的矢量点图
图2-3 三维应力张量切应力矢量点图
由此可见，总应力矢量点图为一椭球面，即Lame 应力椭球，这与弹性理论的结论是相符的。

由总应力矢量点图——Lame 应力椭球，可以直观地看到椭球的三个主轴方向分别为三个主应力的方向，椭球面的三个半轴大小分别为三个主应力的大小。

但总应力矢量点图并不能直观的给出总应力所在截面的法向。

由正应力矢量点图，可以看到正应力的三个极值及其方向，恰为三个主应力的方向；由剪应力矢量点图，可以清楚地看到正应力的三个极值方向，恰为剪应力为零的方向。

类似总应力矢量点图，正应力矢量点图和剪应力矢量点图依然不能直观的给出正应力和剪应力所在截面的法向。

由此可见，诸如总应力，正应力和剪应力均为矢量，是需要由大小和方向才能完全确定的物理量，物体的变形必然与应力的方向有关，而三维应力张量的矢量点图，可以清楚地表达不同截面上的总应力，正应力和剪应力矢量及其大小，这对于考查材料的变形及其本构关系具有重要价值。

但应力张量的矢量点图的缺陷是无法表达其对应的截面法向。

装 订 线
2.2 应力张量的标量点图表达
前面讨论了应力张量的矢量点图的描述方程及其可视化表达。

以坐标原点为始点，到应力张量总应力、正应力和剪应力矢量点图表面上任一点的矢量，分别代表某一截面上的总应力、正应力和剪应力矢量，其长度分别代表总应力、正应力和剪应力矢量的大小，但截面的法向无法用应力张量的矢量点图表达。

为了同时给出总应力、正应力和剪应力矢量的大小，及其对应截面的法向，可采用下列所谓应力张量的标量点图表达。

换句话说，应力张量的总应力、正应力和剪应力标量点图，即分别将总应力、正应力和剪应力矢量的模，绘于其对应的法向上。

如此，可以从应力张量的总应力、正应力和剪应力标量点图上清楚地看到弹性体内一点处的总应力、正应力和剪应力的大小及其对应的法向。

2.2.1 描述方程
对任意以(,,)T l m n =N 为法向的斜面上的总应力的大小N p 、正应力的大小N σ和剪应力的大小N τ，可分别由（2-1-4）、（2-1-6）和（2-1-11）（或（2-1-12））得到，分别记
p N N l p p m n ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭r N （2-1-13）
||||N N l m n σσσ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭r N （2-1-14）
N N l m n ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
τττr N （2-1-15）
利用方程（2-1-13）、（2-1-14）和（2-1-15），以坐标原点为始点，分别绘出p r 、σr 和τr 末端的轨迹，其一般也构成空间曲面，我们称这些曲面分别为应力张量总应力的标量点图、正应力的标量点图和剪应力的标量点图。

这些曲面上一点的矢径p r 、σr 和τr 的模，即分别表达以N 为法向斜面上的总应力、正应力和剪应力的大小。

（2-1-13）、（2-1-14）和（2-1-15）也称为应力张量总应力、正应力和剪应力标量点图的描述方程。

2.2.2 应力张量的标量点图
由应力张量总应力、正应力和剪应力标量点图的描述方程（2-1-13）、（2-1-14）和（2-1-15）
装 订 线
式，可分别得到应力张量总应力、正应力和剪应力的三维标量点图。

下面以应力张量()213;171;313ij σ=-----为例，给出三维应力张量标量点图的可视化结果。

见图2-4，图2-5和图2-6。

(1) 总应力的标量点图
图2-4 三维应力张量总应力标量点图
(2) 正应力的标量点图
图2-5 三维应力张量正应力标量点图
装 订 线
(3) 切应力的标量点图
图2-6 三维应力张量切应力标量点图
可见，总应力的标量点图依然为一二次曲面，但其不再是椭球面，一般说来其表面有一对称塌陷，可以直观的看到总应力的大小随法向的变化；正应力的标量点图与正应力的矢量点图形状相同，这是因为正应力的方向无非是与其对应截面法向相同或相反而已，通过应力张量正应力的标量点图能够直观的观察到一点沿不同斜面上正应力的大小随法向的变化；剪应力的标量点图与剪应力的矢量点图形状大致相同，也可直观的看到剪应力的大小随法向的变化。

总之，上述三种应力张量的标量点图，能够直观地描述总应力、正应力和剪应力的大小随法向的变化规律，这对于定性地讨论物体的变形形态具有一定的参考价值，但其缺陷是无法描述总应力、正应力和剪应力的真实方向。

装 订 线
三 应力场的可视化表达
应力（张量场）普遍存在与自然界中，在众多科学技术和工程领域有着广泛的应用。

利用计算机可视化技术对其可视化有着重要的意义[3-8]。

下面以布西内斯克问题等两个典型的例子，来说明应力张量场的可视化表达。

3.1 半空间无限体边界受法向集中力
由弹性理论可知[1-2]，此问题的解析解为
22
323
52
5(12)3[]2(12)()23232z z z F R z
R R z R F z R R R R z
Fz R F z R ⎧-=-⎪+⎪
-⎪=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎪⎪==-
⎪⎩
ρϕρρμρσπμσπσπρττπ 为了得到在笛卡儿直角坐标下的解答，需要把柱坐标系下的解变换成笛卡尔直角坐标系的解。

其变换矩阵为
cos sin 0sin cos 000
1ϕϕϕϕ-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
从而得到变换后笛卡儿直角坐标系下的解答为
cos sin 00
cos sin 0sin cos 000sin cos 00
10
01x xy xz z yx y yz zx zy z z z ρρϕ
ρ
σττϕ
ϕστϕϕτστϕϕσϕϕττστσ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
取边长为10的立方体实体，实体对角线的两个顶点坐标分别取为：(-5,-5,0)，(5,5,-10)。

然后在实体的顶面的中心（0，0，0）处加上荷载为20牛顿的力，已知材料的弹性模量为
621010Pa E =⨯，柏松比为0.25μ=。

将立方体实体分别沿,,x y z 轴方向取6等分，划分网
格，从而得到216个结点。

我们采用点图标离散地表示出实体的结点应力的分布情况，由于原点处的应力太大，结点的选取不宜包含原点，另外结点数也不宜选得太多，太多容易造成视觉上的混乱，可视化也就失去意义了。

半空间无限体受法向集中力时的应力场的三维标量点图和三维矢量点图可视化结果如下。

见图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6。

装 订 线
图3-1 总应力3D 标量点图
图3-2 总应力3D 矢量点图
装 订 线
比较总应力的3D 矢量点图与总应力的3D 标量点图，能够观察到其矢量点图与标量点图是不同。

这是因为在矢量点图中总应力场
x xy xz N yx y yz zx zy z l m n στττστττσ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭p
而标量点图中
p N N l p p m n ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
r N
标量点图与矢量点图中p r 与总应力N p 的方向不同，所以产生了总应力场标量点图与矢量点图表达的差别。

半空间无限体受法向集中力时的正应力场三维标量点图与矢量点图分别为
图3-3 正应力3D 标量点图
装 订 线
图3-4 正应力3D 矢量点图
从以上图中可以看到正应力场的标量点图与矢量点图形状相同。

这是因为在标量点图中
||||N N l m n σσσ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
r N
而在矢量图中
N N l m n σ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
σ
所以对一点的某一斜面上的正应力的标量点图中的向量σr 与正应力矢量图的向量N σ大小相同（只是方向相同或相反而已），故其一点的标量点图与矢量点图形状相同，因而整个张量场的矢量点图与标量点图形状相同。

半空间无限体受法向集中力时的切应力场三维标量点图与矢量点图分别为
装 订 线
图3-5 切应力3D 标量点图
图3-6 切应力3D 矢量点图
装 订 线
从以上图中可以看出，剪应力场的矢量点图与标量点图相似，但有细微差别（对于个别应力状态有较大差别）。

这是因为剪应力场标量点图中所绘矢量为
N N l m n ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
τττr N
而在矢量点图中所绘矢量为
x n xy xz yx y n yz zx zy z n l m n σστττσστττσσ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭n τ
其方向相互垂直，因而剪应力场标量点图与矢量点图相似，但仍有差别。

3.2 半空间体在边界上受切向集中力
由弹性理论可知[1-2]，半空间体在边界上受切向集中力的解析解为：
()()()22222322222
232255
25
2222
2321223212233232323212232x y z
yz
zx xy Fx Ry x R y R R z R R z Fx Rx y R x R R z R R z Fxz R Fxyz R Fx z R Fy Rx x R x R R z R R z μσπμσπσπτπτπμτπ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪=---⎢⎥ ⎪++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎛⎫-=---⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=-⎨
=-=-⎡⎤⎛⎫-=-++-⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩
同样，取边长为10的立方体实体，实体对角线的两个顶点坐标分别取为：(-5,-5,0)，(5,5,-10)。

在实体的顶面的中心（0，0，0）处加上菏载为9牛顿的力，已知材料的弹性模量为621010E =⨯，柏松比为0.25μ=。

分别沿x,y,z 轴方向划分6等分，从而得到216个点的三维图形。

半空间无限体在边界上受切向集中力时的总应力场3D 标量点图与3D 矢量点图分别为
装 订 线
图3-7 总应力3D 标量点图
图3-8 总应力3D 矢量点图
装 订 线
从上图可以看出，半空间体的总应力在集中力附近分布比较大，而随着到集中力的点的距离的增大，总应力迅速减小。

同时，这与弹性理论中的圣维南原理相符。

通过图3-7 可以看到总应力的大小，通过图3-8可以看到最大的总应力的分布方向，对于我们定性的分析问题有很大的帮助。

半空间无限体在边界上受切向集中力时的正应力场三维标量点图与矢量点图分别为
图3-9 正应力3D 标量点图
图3-10 正应力3D 矢量点图
装 订 线
通过以上两图的比较，可以看到正应力在应力场内的分布情况。

我们看到正应力在集中力附近比较大，远离集中力时则迅速减小，通过图3-9，图3-10可以大致看出正应力的大小和方向，最大主应力的大小和方向。

这就对某些符合第一强度理论的材料的工程设计有一定的指导作用。

半空间无限体在边界上受切向集中力时的切应力场三维标量点图与矢量点图分别为
图3-11 切应力3D 标量点图
图3-12 切应力3D 矢量点图
装 订 线
从上图可以看出，剪应力在应力场中大致的分布情况。

这对于符合最大剪应力强度理论的材料的工程设计有一定的指导作用。

以上一布西内斯克问题等为例，给出了应力场可视化的结果及其可视化的步骤，能够发现在应力场中，集中力附近的应力很大，而在原理集中力位置时场的应力迅速减小。

这
同时也验证了弹性理论中的圣维南原理。

通过可视化，可以大致判断应力场中总应力。

正
应力和剪应力的分布情况，对于符合某些强度理论的材料的工程设计也有一定的指导意
义。

装
订
线
四结语
基于张量理论，本文首先给出了应力张量总应力、正应力和剪应力矢量点图的可视化模型、应力张量总应力、正应力和剪应力标量点图的可视化模型；通过比较应力张量的矢
量点图和标量点图，分析了二者之差别及其产生原因。

关于应力场的可视化，基于MATLAB软件平台和计算机图形学，以布西内斯克等两个典型问题为例给出了应力场的可视化结果，绘出了三维应力场的总应力场的矢量点图和
标量点图，正应力场的矢量点图和标量点图，剪应力场的矢量点图和标量点图。

可视化的
结果清楚地反映了总应力，正应力和剪应力在场中的分布情况。

装
订
线
参考文献
[1].徐芝纶. 弹性力学(上册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006, 12-14, 17-20. 191-197.
[2].杨桂通. 弹性力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1998, 31-33, 45-46.
[3].张敏娜. 地应力三维张量场的可视化技术研究[J].北京理工大学学报, 2000, 20:456-460.
[4].李海生. 二阶张量场可视化研究[J].计算机科学,2003,30:94-96
[5].李海生. 矢量场可视化的研究现状与发展趋势[J].计算机应用研究, 2001,8:11-14
[6].何祝斌. 作用于一点的正应力和剪应力三维图形极其在金属成型分析中的应用[J].金属学报. 2004,40:319-325
[7].王仲仁. 一点正应力三维图形[J].塑性工程学报,2003,10:4-8
[8].何祝斌. 应力分量变化范围的描述方程及其图形[J].力学季刊,2006,27:528-534
[9].R.K.Dodd. A New Approach to the Visualization of Tensor Fields[J].GRAPHICAL MODELS AND IMAGE
PROCESSING,1998,60:286-303
[10].Youssef M.A.Hashash. Glyph and hyperstreamline representation of stress and strain tensors and material constitutive
response. INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL AND ANALYTICAL METHODS IN
GEOMECHANICS[J],2003,27:603-626
[11].Luca Pallozzi Lavorante. Tensor3D A computer graphics program to simulate 3D real-time deformation and visualization of
geometric bodies[J]. Computers & Geosciences,2008,34:738-753
[12].Youssef M.A.Hashash. Visual framework for development and use of constitutive models[J].INTERNATIONAL
JOURNAL FOR NUMERICAL AND ANLYTICAL METHODS IN GEOMECHANICS, 2002,26:1493-1513
装
订
线
致谢
本文完成过程中得到了王岷教授的悉心帮助和指导，谨在此表示衷心感谢！
附□□录1 外文资料及中文译文。