概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后解答

概率论 习题四 答案
1.设随机变量X 的分布律为
求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111
()(1)012;82842E X =-⨯
+⨯+⨯+⨯= (2) 22222
11115()(1)012;82844
E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=
(3) 1
(23)2()32342
E X E X +=+=⨯+=
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.501,= 5
2
()[
()]i
i
i D X x E X P ==
-∑
222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0
0.432.
=-⨯+-⨯++-⨯=
3.设随机变量
且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①,
又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=……②,
222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=……
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p ===
4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白
球的概率是多少？
【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则
(){|}{}N
k P A P A X k P X k ===∑全概率公式
1{}{}
1().N
N
k k k P X k kP X k N N
n E X N N
=====
===∑∑
5.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他x x x x
求E （X ），D （X ）. 【解】12
20
1
()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰
2
1
3
32011 1.33x x x ⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
12
22320
1
7
()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰ 故 22
1()()[()].6
D X
E X E X =-=
6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .
【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=
(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立
1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），
D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.
E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
(2) 2
2
(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=
8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<.,
0,
0,10,其他x y x k
试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因
1
1
(,)d d d d 1,2
x
f x y x y x k y k +∞+∞
-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰⎰故k =2 1
()(,)d d d 2d 0.25x
E XY xyf x y x y x x y y +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
2,01,
()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它 (5)e ,5,()0,
.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其它 求()E XY .
【解】方法一：先求X 与Y 的均值 1
2()2d ,3
E X x x x
==⎰
5
(5)5
()e d
5
e d e d 51 6.
z y y z
z
E Y y y z z
z +∞
+∞+∞
=-----=
+=+=⎰
⎰⎰令 由X 与Y 的独立性，得
2
()()()6 4.3
E XY E X E Y ==
⨯= 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为
(5)2e ,01,5,
(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩
其他
于是
1
1
(5)2(5)5
5
2
()2e d d 2d e d 6 4.3
y y E XY xy x x y x x
y y +∞
+∞
----===⨯=⎰
⎰
⎰⎰
10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为
()X f x =⎩⎨
⎧≤>-;0,0,0,22x x x e ()Y f y =⎩⎨⎧≤>-.
0,
0,
0,
44y y y e 求（1） ()E X Y +;（2） 2
(23)E X Y -.
【解】22-200
()()d 2e d [e ]e d x x x
X E X xf x x x x x x +∞+∞+∞
--+∞-∞
===-+⎰⎰⎰
20
1
e d .2x x +∞
-==⎰
40
1()()d 4e d y .4y
Y E Y y f y y y +∞
+∞--∞
=
==⎰
⎰
2
22420
21
()()d 4e d .48
y Y E Y y f y y y y +∞
+∞
--∞
=
==
=⎰
⎰
从而(1) 1
13
()()()
.24
4E X Y E X E Y +=+=+= (2)22
115(23)2()3()23288
E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=
11.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩⎪⎨
⎧<≥-.
0,
0,
0,
2
2
x x cx x k
e
求（1） 系数c ;（2）()E X ;（3） ()D X . 【解】(1) 由
22
2
()d e d 12k x c f x x cx x k
+∞
+∞
--∞
==
=⎰
⎰得2
2c k =. (2) 22
20
()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞
+∞
--∞
=
=⎰
⎰
22
2
20
2e d k x k x x +∞
-==
⎰
(3) 22
2
2222
1()()d()2e .k x E X x f x x x k x dx k +∞
+∞
--∞
=
==
⎰
⎰
故
2
22
2214π()()[()].24D X E X E X k k k ⎛-=-=-= ⎝⎭
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求()E X 和()D X . 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
9{0}
0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=
由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.
E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=
13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
4
1e ,0,
()4
0,0.x
x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元
/4
1/4
1
1
{100}{1}e d e
4
x P Y P X x +∞
--
==
≥==⎰
1/4
{200}{1}1e
.
P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设12,,
,n X X X 是相互独立的随机变量，
且有2(),(),1,2,
,i i E X D X i n μσ===,
记 1
1n i i X X n ==∑，
2
211()1n i i S X X n ==--∑. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n
2
σ；
（2） 验证22
21
1
()1n
i i S X nX n ==--∑；
（3） 验证22()E S σ=.
【证】(1) 11
111
11()()().n n
n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑
22
111
11
1()()n n
n
i i i i
i i i D X D X D X X DX
n n
n ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立
22
21.n n n
σσ==
(2) 因为
2
2
2
2
21
1
1
1
()(2)2n
n
n
n
i
i
i i
i i i i i X
X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑
2
2
221
1
2n
n
i
i i i X nX X nX X nX ===
+-=-∑∑
故22
21
1
()1n
i i S X nX n ==--∑.
(3) 因为2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+
同理因为 2
(),()E X u D X n
σ==,故2
2
2()E X u n
σ=
+.
从而
222
2
21111()()[()()]11
n n
i i i i E S E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑
221
222221
[()()]11().1n
i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥
⎪-⎝⎭⎣⎦
∑
15.对随机变量X 和Y ，已知()2D X =，()3D Y =，(,)1Cov X Y =-,
计算：(321,43)
Cov X Y X Y -++
-
【解】Cov(321,43)3()10ov(,)8()X Y X Y D X C X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-
(因常数与任一随机变量独立，故(,3)(,3)0Cov X Cov Y ==,其余类似). 16.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
22
1,1,
(,)π
0,
.x y f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它 试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设2
2
{(,)|1}D x y x y =+≤.
221
1
()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞
+∞
-∞
-∞
+
≤==
⎰
⎰
⎰⎰ 2π1
001=
cos d d 0.π
r r r θθ=⎰⎰ 同理E (Y )=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0） 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
=
--⎰⎰
222π12
00
111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤=
==⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.
下面讨论独立性，当1x ≤
时，()X f x =
当 1y ≤
时，()Y f y =
. 显然 ()()(,)X Y f x f y f x y ≠ ,故X 和Y 不是相互独立的. 17.设随机变量(,)X Y 的分布律为
验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表：
由期望定义易得()E X =()E Y =()E XY =0.
从而()E XY =()E X ()E Y ,再由相关系数性质知xy ρ=0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331
{1}{1}{1,1}888
P X P Y P X Y =-=-=
⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均
匀分布，求(,)Cov X Y ，xy ρ. 【解】如图，S D =
1
2
，故（X ，Y ）的概率密度为
题18图
2,(,),
(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨
⎩其他.
()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰
22()(,)d d D
E X x f x y x y =⎰⎰112001
d 2d 6x x x y -==⎰⎰
从而2
22111
()()[()].6318
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
同理11(),().318
E Y D Y =
= 而 110
1
()(,)d d 2d d d 2d .12
x
D
D
E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
1111Cov(,)()()()123336
X Y E XY E X E Y =-=
-⨯=-. 从而
112)()
XY D Y ρ-
=
=
=-
19.设（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=1
ππsin(),0,0,2220.x y x y ,
⎧+≤≤≤≤⎪
⎨⎪⎩其他
求协方差(,)Cov X Y 和相关系数xy ρ. 【解】π/2
π/2
1π()(,)d d d sin()d .24
E X xf x y x y x x
x y y +∞+∞
-∞
-∞
=
=+=⎰⎰
⎰
⎰
π
π
22
2
220
1ππ()d sin()d 2.282
E X x x x y y =
+=+-⎰
⎰
从而
22
2
ππ
()()[()] 2.162
D X
E X E X =-=+-
同理 2πππ
(),() 2.4162
E Y D Y ==
+- 又 π/2
π/2
π
()d sin()d d 1,2
E XY x xy x y x y =
+=
-⎰
⎰
故 2
πππ
π4C o v (,)()()()1.
244
4X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛
⎫=-=--⨯
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
22222π4(π4)π8π164.π
ππ8π32π8π32)()2162
XY D Y ρ-⎛⎫
- ⎪--+⎝⎭=
==-=-+-+-+-
20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.
【解】由已知条件得：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.
从而
12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=
12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--
2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)
2()5Cov(,)2()215124 5.
X X Y X X Y Y Y D X X Y
D Y =--+
=-+=⨯-⨯+⨯=
故
12
2)()Z Z D Z ρ=
==
21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：
［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.
这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy -Schwarz ）不等式. 【证】考虑实变量t 的二次函数
2222()[()]()2()()g t E V tW E V tE VW t E W =+=++
因为对于一切t ，有2
()0V tW +≥，所以 ()0g t ≥，从而二次方程 ()0g t =
或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0， 即 2
2
2
[2()]4()()0E VW E W E V ∆=-≤
故 222[()]()()E VW E V E W ≤
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现
故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障
工作的时间Y 的分布函数()F y .
【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间1
()5
X
E ，其概率密度为 151,0()50,0x e x f x x -⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
根据题意 {}min ,2Y X =，所以Y 的分布函数为 {}{}
()min ,2F y P X y =≤
当0y <时，{}{}
{}()min ,20F y P X y P X y =≤=≤=； 当02y ≤<时，{}{}
{}1
1
550
1()min ,215
x y y
F y P X y P X y e dx e --=≤=≤==-⎰
； 当2y ≥时，{}{}
()min ,21F y P X y =≤=；
于是Y 的分布函数为：1
50,
0,()1,02,1,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪
=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为
333
36
C C {}C k k
P Z k -==
, 0,1,2,3.k = 即
因此，()0123.202020202
E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
3
(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑
191921310.202062062064
=
⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或
大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系
1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪
=≤≤⎨⎪->⎩
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】因为 ~(,1)X N μ,所以平均利润
(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->
{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12
)]25(12)21(10) 5.
P X u u P u X u u P X u u
u u u u u u =--<-+-≤-≤--->
-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--
令
2/2
d ()
25(12)(1)21(10)(1)0(())d x E T u u x u
ϕϕϕ-=-⨯---⨯-==
得 22(12)/2
(10)/2
2521u u e
e
----
=
两边取对数有
2211
ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--
解得 1251
11ln
11ln1.1910.91282212
u =-=-≈(毫米
因为该问题有唯一驻点，所以当10.9μ=毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X 的概率密度为
1
cos ,0π,()22
0,
.x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求2
Y 的数学期望. （2002研考）
【解】令 π1,,3
(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧
>⎪⎪==⎨
⎪≤⎪⎩
X .
则1234,,,Y Y Y Y 相互独立，都服从（0—1）分布，且4
1
i i Y Y ==∑.
因为
ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11
{}cos d 3222
x P X x ≤==⎰,
所以 111
(),(),()42242
i i E Y D Y E Y ===⨯= 221
()41()()4
D Y
E Y EY =⨯==-,
从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间i T (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首
先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间12T T T =+的概率密度()T f t ，数学期望()E T 及方差()D T . 【解】由题意知：
55e ,0,()0,
0t i t f t t -⎧>=⎨≤⎩.
因为1T 与2T 独立，所以由卷积公式得12T T T =+的概率密度
12()()()d T f t f x f t x x +∞
-∞
=-⎰
当0t ≤时，()T f t =0; 当0t >时， 55()5120
()()()d 5e 5e d 25e t
x t x t T f t f x f t x x x t +∞
-----∞
=-==⎰
⎰
故得
525e ,0,
()0,
0.t T t t f t t -⎧>=⎨
≤⎩ 由于~(5)i T E ,故知1
1(),()(1,2)5
25
i i E T D T i =
=
=
因此，有122()()()5E T E T E T =+=
，122()()()25
D T D T D T =+=.（1T 与2T 独立） 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变
量|X -Y |的方差.
【解】设Z =X -Y ，由于11~0,,~0,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且X 和Y 相互独立，故()0,()1E Z D Z ==, 即~(0,1)Z N .
因为
22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-
22()[()],E Z E Z =-
而 2()()1E Z D Z ==
2/2(||)||
d z E Z z z +∞
--∞
=
⎰
2
/20
e d z z z +∞
-==
⎰
所以 2
(||)1π
D X Y -=-
. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<，各产品合格与否相互独立，当出
现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求()E X 和()D X .
【解】记1q p =-, X 的概率分布为1()i P X i q p -== 1,2,3,i =
故1
2
111
()().1(1)i i
i i q p E X iq p p q p q q p ∞
∞
-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭
∑∑ 又2
21
2
1
11
2
1
()()i i i i i i E X i q
p i i q p iq p ∞
∞∞
---====
=-+∑∑∑
223221
1()12112.(1)i
i q pq q pq p q p pq q p q p p p ∞
=''⎛⎫''=+=+
⎪-⎝⎭+-=+==-∑
所以 2
2
222211()()[()].p p
D X
E X E X p p p --=-=-=
题29图
29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上
服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )
=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由已知条件得X 和Y 的联合概率密度为
2,(,),
(,)0,.x y G f x y ∈⎧=⎨
⎩
其它 {(,)|01,01,G x y x y x y =≤≤≤≤+≥
从而1
1()(,)d 2d 2.X x
f x f x y y y x +∞
-∞
-===⎰
⎰
因此
11122300031()()d 2d ,()2d ,22
X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰
22141
()()[()].2918
D X
E X E X =-=-=
同理可得 31
(),().218
E Y D Y ==
11
15
()2d d 2d d ,12
x
G
E XY xy x y x x y y -===
⎰⎰⎰⎰
541Cov(,)()()(),12936
X Y E XY E X E Y =-=
-=- 于是 1121()().18183618
D U D X Y =+=
+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量
X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩
⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若
试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.
【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.
P {X = -1, Y = -1} = P {U ≤ -1,U ≤1}
1
12d d 1{1}444
x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P {X = -1, Y =1} =P {U ≤ -1, U >1} =P {∅}=0,
P {X =1, Y = -1} =P {U > -1, U ≤1}
1
1d 1{11}42
x P U -=-<≤==⎰
21
d 1
{1,1}{1,1}{1}44
x P X Y P U U P U ===>->=>==⎰
. 故得X 与Y 的联合概率分布为
(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110
424X Y ----⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+, 而X Y +及2()X Y +的概率分布相应为
202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 20
4()~1
12
2X Y ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
. 从而11
()(2)20,44E X Y +=-⨯
+⨯= 2
11[()]042,22
E X Y +=⨯+⨯=
所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=1()e 2
x
f x -=
，()x -∞<<+∞ (1) 求()E X 及()D X ；
（2） 求(,)Cov X X ,并问X 与X 是否不相关？ （3） 问X 与X 是否相互独立，为什么？
【解】(1)||
1()e d 0.2x E X x
x +∞
--∞=
=⎰ 2||
201()(0)
e d e d 2.2
x x D X x x x x +∞+∞
---∞=-==⎰⎰ (2) Cov(,)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-= ||
1||
e d 0,2
x x x x +∞
--∞
=
=⎰
所以X 与X 不相关.
(3) 为判断|X 与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义
域 x -∞<<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有
0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<
所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由
00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<
得出 X 与X 不相互独立.
32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数
12XY ρ=-，设Z =
2
3Y
X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； （3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 1
().323X Y E Z E ⎛⎫=+=
⎪⎝
⎭ ()2,3232X
Y X Y D Z D D Cov ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
9162Cov(,),9432
X Y =
⨯+⨯+⨯⨯ 而
1
Cov(,)()3462XY X Y D Y ρ⎛⎫
==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭
所以 1
()146 3.3
D Z =+-⨯= (2) 因()()11
Cov(,)Cov ,
Cov ,Cov ,3232
X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119
()(6)3=0,323
D X =
+⨯-=- 所以
0.)()
XZ D Z ρ=
=
(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3
Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以X 与Z 也相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系
数XY ρ.
【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.
再由X ~B (n , p ), Y ~B (n , q )，且p = q =
12
, 从而有 ()()4
n
D X npq D Y ==
= 所以 0()()()2)()XY D X Y D X D Y D Y ρ=+=++
2,24
XY n n
ρ=
+ 故XY ρ= -1. （填空题或选择题，由Y n X =-可以直接得XY ρ= -1）. 34.
试求X 和Y 的相关系数XY ρ.
【解】由已知条件得E (X )=0.6, E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为
所以E （XY ）= -
(,)()()()0.120.60.20Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=
从而
XY
ρ
35.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称
ρ=
())
()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：
（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.
而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为
1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.
由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即
01~1()()X P A P A ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 0
1~1()()Y P B P B ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),
D (X ) = P (A ).P (A ), D (Y ) =P (B ) ·P (B ),
(,)()()()Cov X Y P AB P A P B =-
所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二维随机变量相
关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为
1
,10,21
(),02,4
0,
.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其他
令2
Y X =，(,)F x y 为二维随机变量(,)X Y 的分布函数，求： (1) Y 的概率密度()Y f y ； (2)(,)Cov X Y ;
(3)1(,4)2
F -. 解： (1) Y 的分布函数为
2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.
当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，
(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤
=<+≤≤=
，
()Y f y =
；
当1≤y <4时，
1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤
=
+
()Y f y =
；
当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为
1,
()0
4,
0,.
Y
y
f y
y
<<
=
≤<
⎪⎩其他
(2)
02
10
111
()()d d d
244
+
X
E X=xf x x x x x x
∞
∞
=+=
⎰⎰⎰
--
,
02
2222
10
115
()()()d d d
246
+
X
E Y=E X=x f x x x x x x
∞
∞
=+=
⎰⎰⎰
--
,
02
3333
10
117
()()()d d d
248
+
X
E XY=E X=x f x x x x x x
∞
∞
=+=
⎰⎰⎰
--
,
故
2
()()()()
3
Cov X,Y E XY E X E Y=
=⋅
-.
(3) 2
111
(,4){,4}{,4}
222
F P X Y P X X
-=≤-≤=≤-≤
11
{,22}{2}
22
P X X P X
=≤--≤≤=-≤≤-
11
{1}
24
P X
=-≤≤-=.
37. 设二维随机变量(,)
X Y的概率分布如下表
其中,,
a b c为常数，且X的数学期望()0.2
E X=-,{}
000.5
P Y X
≤≤=,记Z X Y
=+求：（1）,,
a b c的值；
（2）Z的概率分布；
（3）()
P X Z
=.
解(1) 由概率分布的性质知，0.61
a b c
+++=，即
0.4
a b c
++= (1)
由()0.2
E X=-，可得
0.1
a c
-+= (2)
再由 {0,0}0.1
{00}0.5{0}0.5
P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤=
==≤++,
得 0.3a b += (3)
解方程组（1）（2）（3）得
0.2,0.1,0.1a b c ===.
(2) Z X Y =+的可能取值为-2，-1，0，1，2，
{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，
{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，
{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，
{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，
{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，
即Z
(3) {}{0}0.1
0.10.10.2P X Z P Y b ====+=+=. 38. 设随机变量
且{}
22
1P X Y ==.
（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求Z XY =的概率分布；（3）求X 与Y 的相关系数XY ρ。

（第四章作业只有第三问）
解 由 {}
22
1P X Y == 得 {}
220P X Y ≠=，
即 {}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==-+==+===
进而 {}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==-=======
再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得(,)X Y 的概率分布如下表：
（2）Z XY =的可能取值为：-1，0，1。

由(,)X Y 得概率分布可得Z XY =的概率分布
（3）因为 (),()0,()03
E X E Y E XY =
==, 故 (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=,
从而X 与Y 的相关系数
0XY ρ=
=.
39. 设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布分别如下表:
（1）求{}2P X Y =;（2）求(,)Cov X Y Y -.
解 （1）{}{}{}1120,02,1044
P X Y P X Y P X Y ====+===
+= （2）由已知条件可知，X ，Y 的所以可能取值均为0，1，2，且分布律分别为
XY 的所以可能取值为0，1，4，且分布律为
于是 22
5
2(),()1,()
,()3
3
3
E X E Y E Y E X =
=== ,故
222(,)(,)(,)
()()()[()()]2252113333
Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y E XY E X E Y E Y E Y -=-=---=-⨯-+=- 40.设随机变量X 的概率分布为{}{}1
122
P X P X ====
,在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布(0,)(1,2)U i i =　。

（1）求Y 的分布函数()Y F y ；（2）求()E Y .
解 （1）注意到{}{}1,2X X ==构成一个完备事件组，由全概率公式的Y 的分布函数
{}
{}{}{}{}{}{}()112211
1222
Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X P Y y X P Y y X =≤==≤=+=≤==
≤=+≤= 于是，当0y <时，()0Y F y =；
当01y ≤<时，001113()12224y y Y y
F y dt dt =⋅+⋅=⎰⎰； 当12y ≤<时，1001111()122224
y Y y
F y dt dt =⋅+⋅=+⎰⎰
； 当2y ≥时，()1Y F y =；
故随机变量Y 的分布函数 0,
03,014
()1,12241,2Y y y
y F y y
y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩
（2）随机变量Y 的概率密度函数为3,01,41
(),
12,40,Y y f y y ⎧≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其它
1
20133
()()444
Y y y E Y yf y dy dy dy +∞
-∞
==+=⎰
⎰⎰.。