【小初高学习】2018版高中数学第二章函数章末分层突破学案新人教B版必修1

第二章函数
[自我校对]
①定义域
②图象法
③解析法
④奇偶性
⑤二次函数的图象与性质
函数有三要素：究函数的性质首先要注意函数的定义域，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．
(1)函数y ＝
3x
2
1－2x
＋(2x ＋1)0
的定义域是________．
(2)定义域分别是D f ，D g 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，
规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f x
g x ，x ∈D f 且x ∈D g ，f x ，x ∈D f 且x ∉D g ，
g x ，x ∉D f 且x ∈D g ，
若函数f (x )＝－2x ＋3，x ≥1，g (x )＝x －2，x ∈R ，则函数h (x )的解析式为________，函数h (x )的最大值为________．
【精彩点拨】 (1)根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． (2)根据函数h (x )的定义，对x 进行分类讨论，可得出h (x )的解析式，求出分段函数每一段的最大值，最大者即为所求．
【规范解答】 (1)∵函数y ＝3x
2
1－2x ＋(2x ＋1)0
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－2x >0，
2x ＋1≠0，
解得x ＜12，且x ≠－1
2
，
∴函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <12
，且x ≠－
1
2. (2)①由于函数f (x )＝－2x ＋3，x ≥1，g (x )＝x －2，根据题意得： 当x ≥1时，h (x )＝f (x )g (x )＝(－2x ＋3)(x －2)＝－2x 2
＋7x －6； 当x ＜1时，h (x )＝g (x )＝x －2.
所以h (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2x 2
＋7x －6，x ，
x －2，x
②当x ≥1时，h (x )＝－2x 2
＋7x －6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋18，因此，当x ＝74时，h (x )最大，h (x )
的最大值为1
8
.若x ＜1时，h (x )＝x －2＜1－2＝－1.
∴函数h (x )的最大值为1
8
.
【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜12，且x ≠－
1
2 (2)h (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2x 2
＋7x －6，x ，
x －2，x
1
8
[再练一题]
1．已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，则f (x )＝________.
【导学号：60210067】
【解析】 因为f (3)＝f (－1)＝5，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝1，又y ＝f (x )的最大值为13，所以可设f (x )＝a (x －1)2
＋13，且a <0，由f (3)＝a (3－1)2
＋13＝5，解得a ＝－2，所以f (x )＝－2(x －1)2
＋13，即f (x )＝－2x 2
＋4x ＋11.
【答案】 －2x 2
＋4x ＋11
的有力工具，利用单调性可以比较函数值的大小，求函数的值域和最值，作出函数的图象等，它反映了函数值随自变量大小变化的情况．函数的奇偶性则反映了函数值的符号随自变量变化的情况，是函数图象对称性的数量表示．函数奇偶性和单调性的综合应用是高考的重点与热点内容．
已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝5
2
，f (2)
＝17
4
， (1)求a ，b ，c 的值；
(2)试判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上的单调性，并证明． 【精彩点拨】 (1)由函数是奇函数得到c ＝0，再利用题中的2个等式求出a ，b 的值．
(2)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上任取2个自变量x 1，x 2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形
式，判断符号，依据单调性的定义做出结论．
【规范解答】 (1)∵f (－x )＝－f (x )，∴c ＝0.
∵⎩⎪⎨⎪⎧
f ＝5
2
，f
＝174
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝52，2a ＋b 2＝17
4，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝1
2
.
(2)由(1)可得f (x )＝2x ＋1
2x
，
∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是单调递减的． 证明：设任意的两个实数0<x 1<x 2<1
2.
∵f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 1
2x 1x 2
＝x 2－x 1－4x 1x 2
2x 1x 2
，
又∵0<x 1<x 2<1
2
.
∴x 2－x 1＞0,0<x 1x 2<1
4，1－4x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0.
∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是单调递减的． [再练一题]
2．已知f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，解析式为f (x )＝2x ＋3
x ＋1.
(1)求f (x )在R 上的解析式；
(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数.
【导学号：97512035】
【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－2x ＋3
－x ＋1，
又∵f (x )是R 上的奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，∴f (x )＝－2x ＋3
x －1，
又∵奇函数在0点有意义，∴f (0)＝0，
∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋3
x －1
，x <0，0，x ＝0，2x ＋3x ＋1，x >0.
(2)证明：设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3
x 2＋1
＝x 1＋
x 2＋－x 2＋x 1＋
x 1＋x 2＋
＝
－x 1＋x 2
x 1＋x 2＋
，
∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2， ∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＞0，
∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数.
使抽象的思维和形象思维相结合，把问题灵活转化、化难为易、化抽象为具体、化数为形．
已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝－x 2
＋2x ， (1)求函数f (x )在R 上的解析式；
(2)若函数f (x )在区间(－1，a －2)上单调递增，求实数a 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)根据函数奇偶性，即可求函数f (x )在R 上的解析式； (2)作出函数f (x )的图象，利用数形结合的思想即可求出a 的取值范围． 【规范解答】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0. 于是x ＜0时，f (x )＝x 2
＋2x .
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≥0，x 2
＋2x ，x <0.
(2)作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≥0，
x 2
＋2x ，x <0的图象如图：
则由图象可知要使f (x )在(－1，a －2)上单调递增，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
[再练一题]
3．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x ∈[0,3]上的图象如图2­1所示，则不等式
f x
g x
<0的解集是________．
图2­1
【解析】 将不等式
f x
g x
<0转化为f (x )g (x )＜0，如图所示：当x ＞0时，其解集为
(0,1)∪(2,3)，∵y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，∴f (x )g (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )g (x )＜0，∴其解集为(－2，－1)．
综上，不等式
f x
g x
<0的解集是{x |－2＜x ＜－1或0＜x ＜1或2＜x ＜3}．
【答案】 {x |－2＜x ＜－1或0＜x ＜1或2＜x ＜3}
区间也固定)有以下结论：
(1)当－b
2a
<m 时，f (x )在[m ，n ]上是增函数，最小值为f (m )，最大值为f (n )；
(2)当m ≤－b 2a ≤n 时，最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，
最大值为f (m )或f (n )m ，n 离－b
2a 较远的一处对应的函数值为最大值；
(3)当－b
2a >n 时，f (x )在[m ，n ]上是减函数，最小值为f (n )，最大值为f (m )．
当a <0时，可仿此讨论．
设函数f (x )＝x 2
－2|x |－1(－3≤x ≤3)． (1)证明：f (x )是偶函数；
(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (3)求函数的最值．
【精彩点拨】 解答本题首先根据f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，然后讨论x 的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．
【规范解答】 (1)证明：f (－x )＝(－x )2
－2|－x |－1＝x 2
－2|x |－1＝f (x )，且定义域[－3,3]关于原点对称，
所以f (x )是偶函数．
(2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2
－2x －1＝(x －1)2
－2； 当－3≤x <0时，f (x )＝x 2
＋2x －1＝(x ＋1)2
－2，
即f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x －2
－2，0≤x ≤3，
x ＋
2
－2，－3≤x <0.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．
函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．
(3)当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2
－2的最小值为f (1)＝－2，最大值为f (3)＝2； 当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2
－2的最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (－3)＝2.
综上，f (x )的最大值为2，最小值为－2. [再练一题]
4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P (万元)和Q (万元)．它们与投入资金x (万元)的关系为：P ＝15x ，Q ＝3
5x ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商
品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？能获得多少利润？
【解】 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． ∵经营销售甲、乙两种商品所获利润P 、Q 与投入的资金x 的关系为：P ＝15x ，Q ＝3
5x .
∴y ＝15x ＋3
5
3－x (0≤x ≤3)．
令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2. ∴y ＝15(3－t 2
)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120.
当t ＝32时，y max ＝21
20＝1.05(万元)；
当t ＝32时，x ＝3
4＝0.75(万元)．
∴3－x ＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润1.05万元.
解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的．在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想．
已知函数f (x )＝x 2
－x ＋a 至少有一个零点为非负实数，求实数a 的取值范围. 【导学号：60210068】
【精彩点拨】 法一：将函数零点问题转化成方程根的问题求解．法二：借助函数f (x )的图象利用数形结合的思想求解．
【规范解答】 法一：函数f (x )＝x 2
－x ＋a 至少有一个零点为非负实数等价于方程x
2
－x ＋a ＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．
函数f (x )＝x 2
－x ＋a 图象的对称轴为x ＝12，
∴方程x 2
－x ＋a ＝0不可能有两个负实根， ∴当方程x 2－x ＋a ＝0无实根时，Δ＝1－4a <0， ∴a >14.
设A ＝
{|a ⎭
⎬⎫
a >14，a ∈R ， 则∁R A ＝
{|a
⎭
⎬⎫
a ≤14
，a ∈R ，
即满足题意的实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14.
法二：函数f (x )的图象如图所示，f (x )至少有一个零点为非负实数，必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－1
2
＋
a ≤0
∴a ≤14，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. [再练一题]
5．已知函数f (x )＝x 2
ax ＋b (a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根，分别为
x 1＝3，x 2＝4，求函数f (x )的解析式．
【解】 将x 1
＝3，x 2
＝4分别代入方程x
2
ax ＋b －x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
93a ＋b ＝－9，16
4a ＋b ＝－8，
解
得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2，
∴f (x )＝x 2
－x ＋2
(x ≠2)．
1．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象
的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1
m
x i ＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【解析】 ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2
－2x －3|＝|(x －1)2
－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．
当m 为偶数时，∑i ＝1
m
x i ＝2×m
2＝m ；
当m 为奇数时，∑i ＝1
m
x i ＝2×
m －1
2
＋1＝m .故选B.
【答案】 B
2．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－
f (x )；当x >1
2
时，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋12＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
.则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
【解析】 由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3
－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. 【答案】 D
3．设函数f (x )＝x 3
＋3x 2
＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2
，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.
【解析】 ∵f (x )＝x 3
＋3x 2
＋1，则f (a )＝a 3
＋3a 2
＋1，
∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2
＝(x －b )(x 2
－2ax ＋a 2
)＝x 3
－(2a ＋b )x 2
＋(a 2
＋2ab )x －
a 2
b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.
由此可得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝－3，①a 2
＋2ab ＝0，②
a 3＋3a 2＝a 2
b .③
∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 【答案】 －2 1
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|x |，x ≤m ，x 2
－2mx ＋4m ，x >m ，
其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方
程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
【解析】
作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2
，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2
<m ，即m 2
－3m >0.又m >0，解得m >3.
【答案】 (3，＋∞)
5．已知函数f (x )＝ax 2
＋1x
，其中a 为实数．
(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝1
x
，显然是奇函数；
当a ≠0，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，f (1)≠f (－1)且f (1)＋f (－1)≠0， 所以此时f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)设1≤x 1<x 2≤2，
则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋
x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎣
⎢⎡⎦⎥⎤a x 1＋x 2－1x 1x 2， 因为1≤x 1<x 2≤2，所以x 1－x 2<0,2<x 1＋x 2<4,1<x 1x 2<4， 所以2<a (x 1＋x 2)<12，14<1x 1x 2<1，所以a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2>0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故函数f (x )在[1,2]上单调递增．。