广东省揭阳一中高一数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高一全册数学试题

2014-2015学年某某省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（∁U B）等于（）
A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5}
2．若向量，向量，则=（）
A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）
A．﹣B．﹣C．D．
4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（）
A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1
5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（）
A．或B．或C．D．
6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（）
A．k≤6B．k≤5C．k≥6D．k≥5
7．已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．
8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）
A．50πB． 25πC．200πD． 20π9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）
A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin （x﹣）
10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f （x1）＞0，f（x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0
二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．
11．函数f（x）=的定义域是．
12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是．13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为．
14．给出下列命题：
①若2+2=0，则==；
②已知、、是三个非零向量，若+=，则|•|=|•|，
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则•=20；
④与是共线向量⇔•=||||．
其中真命题的序号是．（请把你认为是真命题的序号都填上）
三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）
=．
（1）化简f（α）；
（2）若cos（α+）=，求f（α）的值．
16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S．
（1）当k=时，求S的值；
（2）求S的最大值，并求出此时的k值．
17．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：BD∥平面PEC；
（3）求证：AE⊥平面PBC．
19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|+|=，求与的夹角；
（2）若⊥，求tanα的值．
20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，某某数a的取值X围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，某某数b的取值X围．
2014-2015学年某某省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（∁U B）等于（）
A． {1，2，3，4，5} B． {3，4} C． {1，3，4} D． {2，3，4，5}
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：由题意全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，根据补集的定义可得C∪B={1，4}，再根据并集的定义计算A∪（C∪B）．
解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，3，5}，
∴C∪B={1，4}，
∵集合A={3，4}，
∴A∪（C∪B）={1，3，4}，
故选C．
点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，计算要仔细．2．若向量，向量，则=（）
A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）
考点：平面向量的坐标运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量，向量，知
，再由，能求出结果．
解答：解：∵向量，向量，
∴，
∴
=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）
=（﹣2，﹣4）．
故选A．
点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．
3．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）
A．﹣B．﹣C．D．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值．
解答：解：∵α∈（﹣，0），cosα=，
∴sinα=﹣=﹣，
∴tanα==﹣．
故选：A．
点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题．
4．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m 的值是（）
A．﹣2 B．﹣7 C． 3 D． 1
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
专题：计算题；待定系数法．
分析：先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值．
解答：解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上，∴．
∴m=3，
故选 C．
点评：本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值．
5．在△ABC中，已知a2﹣b2+c2=ac则角B为（）
A．或B．或C．D．
考点：余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，代入题中数据可得关于B余弦值，结合三角形内角的X围即可得到角B大小．
解答：解：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得
cosB==
∵B∈（0，π），∴B=
故选：D
点评：题给出三角形的边之间的平方关系，求角B的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
6．如果下述程序运行的结果为S=40，那么判断框中应填入（）
A．k≤6B．k≤5C．k≥6D．k≥5
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：根据所给的程序运行结果为S=40，执行循环语句，当计算结果S为40时，不满足判断框的条件，从而到结论．
解答：解：由题意可知输出结果为S=40，
第1次循环，S=10，K=9，
第2次循环，S=19，K=8，
第3次循环，S=27，K=7，
第4次循环，S=34，K=6，
第5次循环，S=40，K=5，
此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k≤5．
故选B．
点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．7．已知函数，则f（2+log23）的值为（）A．B．C．D．
考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：先判断出2+log23＜4，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log23＞4代入f（x）=，利用指数幂的运算性质求解．
解答：解：∵1＜log23＜2，∴3＜2+log23＜4，
∴f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23），
∵4＜3+log23＜5，∴f（3+log23）==×=，
故选A．
点评：本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的X围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值．
8．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）
A．50πB． 25πC．200πD． 20π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，
则（2R）2=32+42+52=50，
∴R=．
∴S球=4π×R2=50π．
故选：A．
点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．
9．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）
A． y=sin（2x﹣）B． y=sin（2x﹣）C． y=sin（x﹣）D． y=sin （x﹣）
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：分析法．
分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．
解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin （x﹣）．
故选C．
点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．
10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f （x1）＞0，f（x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．
解答：解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0
∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）
故选B．
点评：本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．
二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．
11．函数f（x）=的定义域是（，1]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数成立的条件，即可得到结论．
解答：解：要使函数f（x）有意义，则，
即，
则0＜3x﹣2≤1，
解得＜x≤1，
故函数的定义域的（，1]，
故答案为：（，1]
点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
12．一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是
6+4．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面是等腰直角三角形，且其高为1，故先求出底面积，求解其表面积即可．
解答：解：此几何体是一个三棱柱，
由于其底面是一个等腰直角三角形，
且其高为1，斜边长为2，直角边长为，
所以其面积为×2×1=1，
又此三棱柱的高为2，
故其侧面积为，（2++）×2=4+4，
表面积为：2×1+4+4=6+4．
故答案为：6+4．
点评：本题考查空间几何体的三视图，表面积的计算，考查空间想象、运算求解能力，中等题．
13．经过点P（0，﹣1）作圆C：x2+y2﹣6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出 PC 的值，可得切线PA的长的值．
解答：解：圆C：x2+y2﹣6x+7=0 即（x﹣3）2+y2=2，表示以C（3，0）为圆心，以r=
为半径的圆．
由于 PC=，故切线PA的长为=2，
故答案为 2．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的切线长度的方法，属于中档题．
14．给出下列命题：
①若2+2=0，则==；
②已知、、是三个非零向量，若+=，则|•|=|•|，
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则•=20；
④与是共线向量⇔•=||||．
其中真命题的序号是①②．（请把你认为是真命题的序号都填上）
考点：四种命题的真假关系；平行向量与共线向量；平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：①由2+2=0，可得||=||=0，从而可得出答案；②+=0，∴=﹣，
|•|=|||||cos＜，＞|，|•|=|||||cos＜，＞|=|||||cos＜﹣，＞|=|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．即可判断；③由
cosC===.•=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20
即可判断；④与是共线向量⇔=λ（≠0）⇔•=λ2，而
||||=|λ|||=|λ|||2即可判断对错．
解答：解：根据向量的有关性质，依次分析可得：
①由2+2=0，可得||=||=0，∴==．∴①正确．
②+=0，∴=﹣，|•|=|||||cos＜，＞|，|•|=|||||cos＜，＞
|=|||||cos＜﹣，＞|=
|||||cos（π﹣＜，＞）|=|||||cos＜，＞|．∴②正确．
③cosC===.•=||||cos（π﹣C）=5×8×（﹣）=﹣20．∴③不正确．
④与是共线向量⇔=λ（≠0）⇔•=λ2，而||||=|λ|||=|λ|||2．
∴④不正确．
故答案为：①②．
点评：本题考查了四种命题的真假及平面向量数量积的运算，属于基础题，关键是注意细心运算．
三.解答题：本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知角α是第三象限角，且f（α）
=．
（1）化简f（α）；
（2）若cos（α+）=，求f（α）的值．
考点：三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]的值．
解答：解：（1）∵f（α）
===﹣cosα，
（2）∵α是第三象限角，∴α+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
又∵cos（α+）=，∴sin（α+）=﹣，∴f（α）=﹣cosα=﹣cos[（α+）﹣]=﹣[cos（α+）cos+sin（α+）sin]
=﹣（﹣）=．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，应用诱导公式化简三角函数式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
16．已知直线l：y=k（x+2）（k≠0）与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为S．
（1）当k=时，求S的值；
（2）求S的最大值，并求出此时的k值．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）作OD⊥AB于D，当k=时，直线l：y=x+2，求出|AB|，|OD|，即可求出S的值；
（2）设∠AOB=θ（0θ＜180°），则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，即可求S的最大值，从而求出此时的k值．
解答：解：（1）作OD⊥AB于D，当k=时，直线l：y=x+2，则|OD|==，…（2分）
|AB|=2=，…（4分）
∴S=|AB||OD|=；…（6分）
（2）设∠AOB=θ（0θ＜180°）
则S=|OA||OB|sinθ=2sinθ，…（8分）
∴当θ=90°时，S（θ）max=2，此时|OD|=，…（10分）
即=，
∴k=±．…（12分）
点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查计算能力．
17．已知函数f（x）=2sin•cos+cos．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．
专题：计算题．
分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f（x）=2sin•cos+cos，为y=2sin，
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出g（x）=f的表达式，g（x）=2cos．然后判断出奇偶性即可．
解答：解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，
∴f（x）的最小正周期T==4π．
当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；
当sin=1时，f（x）取得最大值2．
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin，
又g（x）=f，
∴g（x）=2sin
=2sin=2cos．
∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．
18．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：BD∥平面PEC；
（3）求证：AE⊥平面PBC．
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）结合三视图，得到几何体的相关棱长，求四棱锥P﹣ABCD的底面面积和高，然后求出体积；
（2）连接AC交BD于O点，取PC中点F，连接OF，要证明BD∥平面PEC，只需证明BD平行平面PEC内的直线EF即可；
（3）要证AE⊥平面PBG，只需证明PB⊥AE，BC⊥AE即可得证．
解答：（本题满分14分）
解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，
∴V P﹣ABCD=PA×S ABCD=×4×4×4=．…（4分）
（2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，
∵EB∥PA，且EB=PA，又OF∥PA，且OF=PA，
∴EB∥OF，且EB=OF，
∴四边形EBOF为平行四边形，
∴EF∥BD．又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC．…（9分）
（3）∵，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，
∴∠PBA=∠BEA，∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，…（14分）
点评：本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
19．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|+|=，求与的夹角；
（2）若⊥，求tanα的值．
考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：（1）利用向量的坐标运算求出；利用向量模的坐标公式得到三角函数方程，求出α；求出两个向量的夹角．
（2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出；利用三角函数的平方关系将此等式平方求出cosα﹣sinα；求出sinα，cosα；利用三角函数的商数关系求出tanα．
解答：解：（1）∵=（2+cosα，sinα），||=
∴（2+cosα）2+sin2a=7，
∴cosα=又α∈（0，π），
∴α=，即∠AOC=
又∠AOB=，∴OB与OC的夹角为；
（2）=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），
∵AC⊥BC，∴=0，cosα+sinα=①
∴（cosα+sinα）2=，∴2sinαcosα=﹣
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
又由（cosα﹣si nα）2=1﹣2sinαcosα=，cosα﹣sinα＜0，
∴cosα﹣sinα=﹣②由①、②得cosα=，sinα=，
从而tanα=﹣．
点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件、考查三角函数的平方关系、商数关系、
考查cosα+sinα、cosα﹣sinα、2sinαcosα三者知二求一．
20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，某某数a的取值X围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，某某数b的取值X围．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题．
分析：（1）设x为不动点，则有2x2﹣x﹣4=x，变形为2x2﹣2x﹣4=0，解方程即可．（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解；
（3）由垂直平分线的定义解决，由A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，则有k AB=1，再由直线是线段AB的垂直平分线，得到k=﹣1，再由中点在直线
上求解．
解答：解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），
（1）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣x﹣4．
设x为其不动点，即2x2﹣x﹣4=x．
则2x2﹣2x﹣4=0．∴x1=﹣1，x2=2．即f（x）的不动点是﹣1，2．
（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2﹣4a（b﹣2）＞0．即b2﹣4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，∴16a2﹣32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），
直线是线段AB的垂直平分线，∴k=﹣1
记AB的中点M（x0，x0）．由（2）知，∵，∴．化简得：时，等号成立）．
即0＞．即[﹣）．
点评：本题主要考查方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．。