高中数学 第三章 §1 1.2 椭圆及其标准方程应用创新演练 北师大版选修21

1．下列说法错误的是( )
A ．归纳推理是指由特殊到一般的推理
B ．类比推理是指由特殊到特殊的推理
C ．合情推理包含归纳推理与类比推理
D ．合情推理的结论一定是正确的
答案：D
2．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝12ab .若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P －ABC ＝( )
A.12
abc B.13abc C.16
abc D ．abc 答案：B
3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )
A ．a 1a 2a 3…a 9＝29
B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29
C ．a 1a 2…a 9＝2×9
D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9
解析：类比等比数列{b n } b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝
9×2.
答案：D
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长都相等；
②同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
③各个面都是全等的正三角形．
A ．①
B ．①②
C ．①②③
D ．③ 答案：C
5．类比以(0,0)为圆心、以r 为半径的圆的方程x 2＋y 2＝r 2
，写出以(0,0,0)为球心、以r 为半径的球面的方程为________________．
解析：将平面方程推广到空间中需用三维坐标，即空间中点P 的坐标为(x ，y ，z )，由P 到球心的距离等于半径可得x 2＋y 2＋z 2＝r 2.
答案：x 2＋y 2＋z 2＝r 2
6．下面类比推理所得结论正确的是________．
①由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2得(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2；
②由|a |＝|b |⇒a ＝±b (a ，b ∈R)得|a |＝|b |⇒a ＝±b ；
③由a x ＋y ＝a x ·a y
(a ∈R)得sin(α＋β)＝sin α·sin β； ④由(ab )c ＝a (bc )(a ，b ，c ∈R)得(a·b )·c ＝a ·(b·c )． 解析：①正确，向量的数量积运算就按多项式乘法法则运算．②不正确，向量既有大小，又有方向，大小相等不能说明方向相同或相反．③由两角和的正弦公式可知不正确．④向量的数量积不满足结合律．这是因为a·b ∈R ，b·c ∈R ，但a 与c 不一定共线，(a·b )·c ∥c ，a ·(b·c )∥a ，所以不一定成立．
答案：①
7．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }
的前n 项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{a n }的公差d ＝3，
∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)
＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)
＝101010 d d d ＋＋＋10个
＝100d ＝300，
同理可得：
(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，
所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.
(2)在公差为d 的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意k ∈N ＋，数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .
8．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)具有性质：若A 是椭圆的一条与x 轴不垂直的弦的中点，那么该弦所在直线的斜率等于点A 的横坐标、纵坐标的比值与常数－b 2a 2的积．试对双曲线x 2
a 2－y 2
b 2
＝1(a ，b >0)写出类似的性质，并证明．
解：若A 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条不与x 轴垂直的弦的中点，那么该弦所在直线的斜率等于点A 的横坐标、纵坐标的比值与常数b 2
a 2的积，证明如下：
设弦的端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，中点A (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.
由M ，N 在双曲线上得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 2
2
b 2＝1，
相减得x 1－x 2·2x 0
a 2－y 1－y 2·2y 0
b 2＝0(x 1≠x 2)．
整理得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2·x 0a 2·y 0，即k MN ＝x 0y 0·b
2a
2.。