江西师范大学附属中学2017届高三3月月考数学(理)试题-Word版含答案

江西师大附中高三年级数学（理科）试卷
本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

（1）设集合{}
2
|2530A x x x =--≤，{}
22|log (34)B y y x x ==+-，则A B =
（A ）1[3,]2- （B ）1[,3]2
- （C ）(1,3] （D ）(4,)+∞ （2）函数2
32sin ()12
y x π
=+
-是 （A ）最小正周期为π的偶函数 （B ）最小正周期为π的奇函数 （C ）最小正周期为
2π的偶函数 （D ）最小正周期为2
π
的奇函数 （3）复数z 满足i 34i z =+，若复数z 对应的点为M ，则点M 到直线310x y -+=的距离为
（A （B （C （D （4）已知函数22
log (3),2,
()21,2x x x f x x ---<⎧=⎨
-≥⎩
，若(2)1f a -=，则()f a = （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2
（5）已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r
，
点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（6）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是
（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁
（7）春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和
乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是
（A ）964 （B ）1080 （C ）1152 （D ）1296 （8）一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
（A ）1 （B
（C ）2 （D
（9）执行如图所示的程序框图，则输出的S =
（A ）4 （B ）5 （C
1 （D ）6 （10）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足
()(2)0f x f x +-=, 且当[0,1)x ∈时，()ln()1
x x f x e x =++,则函数1
()()3
g x f x x =+在区间[6,6]-上的零点个数是
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（11）已知12,F F 是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的左、右焦
点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满 足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于 （A ）
54 （B ）53 （C
（D ）5
2
（12）下列命题为真命题的个数是
①2
2e
e >；②2ln 23>
；③ln 1e ππ<；④ln 2ln 2π
π
<
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）若向量(2,1),(3,2)m n λ==-u r r ，且(2)m n -u r r ∥(3)m n +u r r
，则实数λ= .
（14
）若5
2
4
(18)(x ax --
的展开式中含3x 项的系数是16，则a = .
（15）若变量,x y 满足约束条件224
240
x y x y ⎧+≤⎨--≤⎩，则2284x y x y +--的最小值
为 .
（16）已知数列{}n a 与{}n b 满足*1
2()3
n n a b n N =
+∈，若{}n b 的前n 项和为3(21)
n
n T =-且8(3)2n n a b n λλ-≥-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知函数()cos()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，
若(2)cos cos a B C ，求()sin 2
A
f C +的取值范
围.
（18）（本小题满分12分）
已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是5432
,,,6543
，女生闯过一至四关的概率依次是
4321,,,5432
. （Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；
（Ⅱ）设X 表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X 的分布列和期望.
（19）（本小题满分12分）
图2
图1
A
如图1，在矩形ABCD 中，5,2AB AD ==，点,E F 分别在边,AB CD 上，且
4,1AE DF ==，AC 交DE 于点G ．现将ADF ∆沿AF 折起，使得平面ADF ⊥平
面ABCF ，得到图2．
（Ⅰ）在图2中，求证：CE DG ⊥；
（Ⅱ）若点M 是线段DE 上的一动点，问点M 在什么位置时，二面角M AF D --的余弦值为
3
5
．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率e =12,F F ，右顶点
为M ，122MF MF ⋅=-u u u u r u u u u r
.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设过定点(2,0)-的直线l 与双曲线2
214
x y -=的左支有两个交点，与椭圆C 交于,A B 两点，与圆2
2
:(3)4N x y +-=交于,P Q 两点，
若MAB ∆的面积为65
，AB PQ λ=u u u
r u u u r ，求正数λ的值.
（21）（本小题满分12分）
已知函数3
2
1
()32,()2ln 3()6
f x x x
g x kx x k =-+=-+>-.
（Ⅰ）若过点(,3)(0)P a a ->恰有两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的值；
（Ⅱ）用min{,}p q 表示,p q 中的最小值，设函数()()()min{,}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有三个零点，求实数k 的取值范围.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若以该直角坐标
系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2sin 4cos 0ρθθ+=.
（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设(2,0)M -，求11
MA MB
-的值.
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()|21|34f x x x =-+-，记不等式()3f x <-的解集为M ． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）当x M ∈时，证明：22[()]|()|0x f x x f x -<．
江西师大附中高三年级数学（理科）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

（1）B 【解析】由22530x x --≤得132x -
≤≤，∴1
[,3]2
A =-. ∵函数2
2log (34)y x x =+-的值域为R ， ∴B R =， ∴1
[,3]2
A B =- . （2）A 【解析】∵2
32sin ()1cos(23)cos 22
y x x x π
π=+-=-+=， ∴2
32sin ()12
y x π
=+
-是最小正周期为π的偶函数. （3）D 【解析】由i 34i z =+得34i 3i 4
43i i 1
z +-===--，∴43i z =+，
∴z 对应的点为(4,3)M ， ∴所求距离为
d =
=（4）A 【解析】当22a -≥即0a ≤时,22
2
11a ---=,解得1a =-，
则2()(1)log [3(1)]2f a f =-=---=-；
当22a -<即0a >时,2log [3(2)]1a ---=，解得1
2
a =-
，舍去. ∴()2f a =-. （5）A 【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即32015(1)OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r
，
∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=.
（6）B 【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；
若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．
（7）C 【解析】男生甲和乙要求站在一起共有26
261440A A =种，其中男生甲和乙要求站在一起
且女生全站在一起有234
234
288A A A =种，∴符合题意的站法共有14402881152-=种.
（8）C
∴该几何体的
体积为2123=. （9）B
=
∴输出的2S =++++L
25==.
（10）B 【解析】由()(2)0f x f x +-=，令1x =，则(1)0f =， ∵()(2)0f x f x +-=， ∴()f x 的图像关于点(1,0)对称， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()(2)(2)f x f x f x =--=-， ∴()f x 是周期为2的函数. 当[0,1)x ∈时，1()ln()ln(1)11
x
x x f x e e x x =+=-+++为增函数， 画出()f x 及1
3
y x =-
在[0,6]上的图像如图所示， 经计算，结合图像易知，函数()f x 的图像与直线13
y x =- 在[0,6]上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知， 函数1
()()3
g x f x x =+
在区间[6,6]-上的零点个数是5. （11）B 【解析】依题设，212||||2MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a
MF
F e c
∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为
2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，
∴22
4()b a c =+，即2
2
2
42b a ac c =++， ∴2
3250e e --=，解得53
e =
. （12）D 【解析】令ln x y x =，则1ln x
y x
-'=， ∴ln x
y x
=
在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ∴ln 2ln ln ln ln 4ln 2
,242
e e e e ππ<>>=， ∴2ln 2e <即2
2e e <，ln 1e ππ<，ln 2ln 2π
π
<. ∴①③④正确.
∵32
2e >， ∴2
ln 23
>. ∴②正确.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）3
4-【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+u r r u r r ，
由(2)m n -u r r ∥(3)m n +u r r 得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34
λ=-.
（14）2±
【解析】2
4
(ax 展开式的通项公式为
58244214
4()
((1)r r r
r r r r
r T C ax C a x ---+==-，0,1,2,3,4r =.
令5832r -
=，得2r =； 令5
822
r -=-，得4r =. ∴依题设，有22
4
816C a -=， 解得2a =±. （15
）4-
222284(4)(2)20x y x y x y +--=-+--
表示可行域内的点(,)P x y 到定点(4,2)M 的距离的平方减去20，连接ON 交圆于点N ， 则点N 为可行域内到点M 距离最小的点，
∴2284x y x y +--
的最小值为2
2)204-=-（16）[4,)+∞【解析】依题设，当1n =时，113b T ==； 当2n ≥时，1113(21)3(21)32n n n n n n b T T ---=-=---=⨯，
又∵当1n =时，111332b -==⨯， ∴132n n b -=⨯. ∴122n n a -=+.
∴8(3)2n n a b n λλ-≥-+等价于11(22)328(3)2n n n λλ--+-⨯≥-+，
即1(3)28(3)n n λ--⋅≥-，∴
3
3162
n
n λ--≥
对一切*
n N ∈恒成立， 令3()2n n f n -=，则123
(1)()22
n n n n f n f n +--+-=-
11(2)2(3)422
n n n n n ++----==，∴当4n ≤时，(1)()f n f n +≥，
当5n >时，(1)()f n f n +<，∴当4n =或5时，()f n 取得最大值，
∴max 1()(4)16f n f ==
， ∴
31
1616
λ-≥， ∴4λ≥. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

（17）【解】（Ⅰ）由图像知，22,2()36A T πππ==-=，∴22T π
ω==， 由图像可知，()26
f π=， ∴2cos(2)26
π
ϕ⨯
+=， ∴cos(
)13
π
ϕ+=，
∴
23
k π
ϕπ+=， 又∵||2
π
ϕ<
， ∴3
π
ϕ=-
， ∴()2cos(2)3
f x x π
=-
.
（Ⅱ）依题设，(2)cos cos a B C =，
∴(2sin )cos cos A C B B C =，
即2sin cos cos cos sin )A B B C B C =+)B C A =+=，
∴cos B =
， 又(0,)B π∈， ∴6B π=. ∴56A C π+=.
由（Ⅰ）知，5()sin 2cos()sin cos sin(
)2
3
6
A
f C A C A A A π
π
+=-
+=++-
1
cos cos 3sin()26
A A A A A π
=+=+，
又∵5(0,
)6A π∈， ∴(,)66A πππ+∈， ∴sin()(0,1]6
A π
+∈， ∴()sin 2
A f C +的取值范围是(0,3].
（18）【解】（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A ，则“男生甲闯关成功”为事件A ， ∴543212()1()11654333
P A P A =-=-
⨯⨯⨯=-=. （Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B ，则43211
()54325
P B =⨯⨯⨯=， 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.
222464
(0)()()35225
P X ==⨯=，
12122212414296(1)()()335553225
P C C X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 12122212114112(3)()()335553225P C C X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 22111(4)()()35225P X ==⨯=，649612152
(2)1225225
P X +++==-=.
∴X 的分布列为：
∴()01234.22522522522522515
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （19）【解】（Ⅰ）∵在矩形ABCD 中，5,2AB AD ==,4,1AE D
F ==, ∴tan tan DF AD
DAF AED AD AE
∠=
==∠， ∴90AOE ∠=o 即DE AF ⊥. ∴在图2中，DO OF ⊥，EO AF ⊥.
又∵平面ADF
⊥平面ABCF ，平面ADF I 平面ABCF AF =，
∴DO ⊥平面ABCF
， ∴DO CE ⊥，
依题意，AE ∥CF 且AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形. ∴CE ∥AF , ∴CE
OE ⊥， 又∵OD OE O =I ， ∴CE ⊥平面DOE
， 又∵DG ⊂平面DOE ， ∴CE DG ⊥
. （Ⅱ）如图1，在Rt ADF ∆
中，AF =
，OD OF =
=
∵DF ∥AE ，4AE DF =
，∴4
OE OD ==. 如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则
A
，(F ，D ，E ∴FA =u u u r ，
(0,
ED =u u
u r ，(AE =u u u r ，
∵EO AF ⊥，∴OE ⊥平面ADF ，
∴1(0,1,0)n =u r
为平面ADF 的法向量.
设EM ED λ=u u u u r u u u r ，则()AM AE ED λλ=+=-u u u u r u u u r u u u r ，
设2(,,)
n x y z =u
u r
为平面AFM 的法向量，则
2200n FA n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r
即0)0
x y z λ⎧=⎪
⎨-=⎪⎩
，可取2(0,,4(1))n λλ=-u u r ， 依题意，有123|cos ,|5
n n =
=u r u u r
，
整理得2
81890λλ-+=，即(43)(23)0λλ-+=，∴34
λ=
， ∴当点M 在线段DE 的四等分点且1
4
DM DE =时，满足题意．
（20）【解】（Ⅰ）由已知，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，(,0)M b ，
∴2212(,)(,)2MF MF b c b c b c ⋅=--⋅-=-=-u u u u r u u u u r ，即2222b a -=-，
又∵22
2314b e a =-=， ∴22
1,4b a ==，∴椭圆C 的标准方程为
2214
y x +=. （Ⅱ）依题设，如图，直线l 的斜率存在，设:(2)l y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ，
由22
(2)
14
y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(4)4440k x k x k +++-=， 2222(4)4(4)(44)0
k k k ∆=
-+->即
2340k -<，
22121222444
,44
k k x x x x k k -+=-=++，
∴
2||4
AB k ==+ 点M 到直线l 的距离为d =
,
∴216||6||245
MAB
k S AB d k ∆===+, 整理得42192340k k -+=，解得2
1k =或2
419
k =
，
又由直线l 与圆相交，有
12d =
<，解得512
k >
， 依题设，直线l 与双曲线
2
214
x y -=的左支有两个交点，∴必有12k >. ∴1k =.
此时4||55AB =
=
，||2PQ ===
∴正数||
||535AB PQ λ===
.
（21）【解】（Ⅰ）∵32()32f x x x =-+，∴2
()36f x x x '=-，
设切点为(,())t f t ，则该点处的切线方程为322(32)(36)()y t t t t x t --+=--， 又∵切线过点(,3)P a -，∴3223(32)(36)()t t t t a t ---+=--， 整理得，3
2
23(1)650t a t at -++-=，（*） 依题设，方程（*）恰有两个不同的解，
令32()23(1)65t t a t at ϕ=-++-，则2()66(1)66(1)()t t a t a t t a ϕ'=-++=--， 解()0t ϕ'=得121,t t a ==，
①当1a =时，()0t ϕ'≥恒成立，()t ϕ单调递增，至多只有一个零点，不合题设； ②当1a ≠时，则1,a 为()t ϕ的极值点，若()0t ϕ=恰有两个不同的解，
则(1)0ϕ=或()0a ϕ=，又∵3
2
2
3
2
()23(1)6535a a a a a a a ϕ=-++-=-+-，
(1)23(1)6536a a a ϕ=-++-=-，∴2a =或32350a a -+-=.
令32()35r a a a =-+-，则2()363(2)r a a a a a '=-+=--，
解()0r a '>得02a <<，∴()r a 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 又∵(2)1r =-， ∴当0a >且1a ≠时，()0r a =无解. ∴2a =. （Ⅱ）∵3
2
3
2
2
2
()32()2(1)(1)(22)f x x x x x x x x x =-+=---=---，
∴当0x >时，解()0f x =得121,1x x =. 由（Ⅰ）知，2
()363(2)f x x x x x '=-=-，
当02x <<时，()0f x '<；当0x <或2x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减.
∴当(0,1)1,)x ∈+∞U 时，()0f x >，当(11)x ∈时，()0f x <.
∵()2ln 3g x kx x =-+， ∴2()g x k x
'=-， ∴当1
06
k -
<≤时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵311
(3)32ln 33,32ln 3ln
,926
e g k k =-+-=>>-，∴(3)0g >. ∴当(0,3)x ∈时，()0g x >，当(3,)x ∈+∞时，()0g x <， 此时()()()min{,}(0)h x
f x
g x x =>恰有三个零点. 当0k >时，22()kx g x k x x -'=-
=，解()0g x '>得2
x k
>， ∴()g x 在2(0,)k
上单调递减，在2
(,)k
+∞上单调递增， ∴min 22()()52ln
g x g k
k ==-，当52
2
k e >时，2()0g k
>，此时不合题意； 当52
2k e
=
时，()g x 恰有一个零点52
e ，此时符合题意；
当5
2
20k e
<<
时，5
22
6e k
>>，2()0g k <，
又∵(3)32ln330g k =-+>，当x →+∞时，()g x →+∞.
∴()g x 在(3,)+∞上有两个零点，此时()h x 在(0,)+∞上有4个零点，不合题设.
综上，k 的取值范围是5212(,0]6e ⎧⎫⎪⎪
-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
U .
（22）【解】
（Ⅰ）由2x t
y =-+⎧⎪⎨
=⎪⎩
得2)y x =-，
∴直线l
0y --； 由2
sin
4cos 0ρθθ+=得22sin 4cos 0ρθρθ+=，
又∵cos ,sin x y ρθρθ==， ∴曲线C 的普通方程为2
4y x =-.
（Ⅱ）设,A B 对应的参数为12,t t ，
将2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩代入24y x =-得23480t t +-=，∴121248,33t t t t +=-=-，
∵直线l
的参数方程为2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
可化为12(2)2(2)
x t y t ⎧
=-+⨯⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩，
∴12|||2|,|||2|MA t MB t ==， ∴
1212||114612||334
t t MA MB t t +1-==÷=. （23）【解】（Ⅰ）依题设，13,,2
()155,2
x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->
⎪⎩，
∴当1
2x ≤
时，由()33f x x =-<-，解得0x <，此时0x <； 当12x >时，由()553f x x =-<-，解得2
5
x <，此时x ∈∅.
∴()3f x <-的解集为(,0)M =-∞.
（Ⅱ）证明：当x M ∈时，要证22[()]|()|0x f x x f x -<， 只需证2[()]|()|0f x x f x ->，
由（Ⅰ）知，当x M ∈时，()3f x x =-，
∴2[()]|()|f x x f x -=2(3)(3)(3)(23)x x x x x ---=--， 又∵30,230x x -<-<， ∴2[()]|()|0f x x f x ->， ∴22[()]|()|0x f x x f x -<.。