函数的单调性与最值导学案

学案5 函数的单调性与最值
导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．
自主梳理
1．单调性
(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．
(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________． (3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．
(4)函数y ＝x ＋a x
(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x
(a <0)在______________上单调递增． 2．最值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．
自我检测
1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ) A ．增函数 B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增
2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )
A ．f (a )<f (2a )
B ．f (a 2)<f (a )
C ．f (a 2＋a )<f (a )
D ．f (a 2＋1)>f (a )
3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )
A ．y ＝1－2x
B ．y ＝x －1
C ．y ＝－x 2＋2x
D ．y ＝5
4．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)>f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．不能确定
5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )
A ．[c,55＋c ]
B ．[－43
＋c ，c ] C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ] 探究点一 函数单调性的判定及证明
例1 设函数f (x )＝x ＋a x ＋b
(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．
变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋
1f (x )，讨论F (x )的
单调性，并证明你的结论．
探究点二 函数的单调性与最值
例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x ，x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝1
2时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a
2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
探究点三 抽象函数的单调性
例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2
3.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1
x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性；
(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.
分类讨论及数形结合思想 例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，
若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )
A ．一定大于0
B ．一定小于0
C ．等于0
D ．正负都有可能
题号 1 2 3 4 5
答案 6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①y ＝[f (x )]2是增函数；
②y ＝1f (x )
是减函数； ③y ＝－f (x )是减函数；
④y ＝|f (x )|是增函数．
8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x
的最小值是________． 三、解答题(共38分)
9．(12分)(湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.
(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．
11．)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈
[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )
a ＋
b >0成立．
(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1
x －1)；
(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．。