二次函数与图像压轴题及参考答案

二次函数与图像
1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于A B 、两点，D 为抛物线的顶点，O 为坐标原点．若OA OB OA OB <、（）的长分别是方程2
430x x -+=的两根，且45DAB ∠=°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ，求C D 、到直线l 的距离分别为12d d 、，试求12d d +的最大值．
2、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G
三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
E
C B
y P
A o
x
3、已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于不同的两点
A （x 1，0）和
B （x 2，0），与y 轴的正半轴交于点
C 。

如果21x x 、 是方程062=--x x 的两个根（21x x <）
，且△ABC 的面积为2
15。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC 和BC 的解析式；
（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作直线m y =（m 为常数）
，与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。

4．如图，抛物线y= –1
2x 2+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P .
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H . ①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；
②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

O
H
F P
M
N C B
A
y
x
二次函数与图像答案
1、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于A B 、两点，D 为抛物线的顶点，O 为坐标原点．若OA OB OA OB <、（）的长分别是方程2
430x x -+=的两根，且45DAB ∠=°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ，求C D 、到直线l 的距离分别为
12d d 、，试求12d d +的最大值．
解：（1）解方程
2430x x -+=得
13x x ==或，而OA OB <， 则点A 的坐标为(10)-，，点
B 的坐标为(30)，．
过点D 作1DD x ⊥轴于1D ，则1D 为AB 的中点．
1D ∴的坐标为(10)，．
又因为11452DAB AD DD ∠=∴==°，．
D ∴的坐标为(12)-，
． 令抛物线对应的二次函数解析式为2
(1)2y a x =--． 抛物线过点(10)A -，， 则042a =-，得12
a =．
故抛物线对应的二次函数解析式为21(1)22y x =
--．
（或写成213
22
y x x =--）
（2）
90CA AD DAC ⊥∠=，°．
又
14545DAB CAD ∠=∴∠=°，°．
令点C 的坐标为()m n ，，则有1m n +=．
点C 在抛物线上，21
(1)22
n m ∴=
--．
化简得2
450m m --=．解得51m m ==-，（舍去）． 故点C 的坐标为(56)，．
（3）由（2）知62AC =，而22AD =，
2245DC AD AC ∴=+=． 过A 作AM CD ⊥．
11
22
AC AD DC AM ⨯=⨯，
65
545
AM ∴=
= ADC APD APC S S S =+△△△，
12111
222
AC AD AP d AP d ∴⨯⨯=⨯+⨯．
122424244565
d d AP AM +=
==≤． 即此时12d d +的最大值为5．
2、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G
三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2
10x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-
（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=
∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰 直角三角形，令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线2
1y x =-上 ∴2
11a a +=-
解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3
∴四边形ACB P 的面积S =
12AB •O C +1
2AB •P E =11
2123422
⨯⨯+⨯⨯= (3) 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC 2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2
(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-
(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=2
1m -2322
= 解得11m =-（舍去） 22
3
m =（舍去） (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2
232
= 解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-
G
M
图2
C B
y
P
A
o
x
② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=2
1m -
∴ 2322
= 解得11m =-（舍去） 243m =
∴M 47
(,)39 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG
PA
即 2232
= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似 M 点的坐标为(2,3)-，47
(,)39
，(4,15)
3、已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于不同的两点
A （x 1，0）和
B （x 2，0），与y 轴的正半轴交于点
C 。

如果21x x 、 是方程
062=--x x 的两个根（21x x <），且△ABC 的面积为
2
15。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC 和BC 的解析式；
（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作直线m y =（m 为常数）
，与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）解方程062=--x x ，得3221=-=x x ，
∴A （-2，0），B （3，0）
由抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴C （0，c ）且c>0
5||215
||||21==⋅⋅=∆AB c AB S ABC ，
即215
521=⋅⋅c ∴c=3，C （0，3） 将A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线c bx ax y ++=2中，得
⎪⎩⎪⎨⎧==+⋅+⋅=+-⋅+-⋅30
330)2()2(2
2c c b a c b a 解得⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
==-=3
2121c b a ∴抛物线的解析式是32
1
212++-=x x y
（2）设直线AC 的解析式为)0(111≠+=k b x k y ∵点A （-2，0），C （0，3）在直线AC 上，
⎩⎨⎧==+-∴302111b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧==32311b k ∴直线AC 的解析式为32
3
+=
x y 设直线BC 的解析式为)0(222≠+=k b x k y ∵点B （3，0），C （0，3）在直线BC 上
⎩⎨⎧==+∴303222b b k 解得⎩⎨⎧=-=3122b k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y
（3）假设存在满足条件的点R ，并设直线y=m 与y 轴的交点为E （0，m ）
由（1），知|AB|=5，|OC|=3 ∵点P 不与点A 、C 重合 ∴点E （0，m ）不与点O 、C 重合 ∴0<m<3 由于PQ 为等腰直角三角形PQR 的一腰，过点P 作PR 1⊥x 轴于点R 1， 则∠R 1PQ=90°，|PQ|=|PR 1|=|OE|=m ∵PQ ||||||||OC EC AB PQ =∴
335m m -=815=m )815()815(，，，Q P x Q x P ∴8
15
323=+∴P x )81543(43，，--=P x P ∴)043(1，-R x
QR ⊥2)
815
89(89，，Q x Q =)08
9
(2，R 815)43(89||=--=PQ 8
15
|8150|||1=
-=PR ︒
=∠=∴90||||11PQ R PR PQ ，8
15|8150|||2=-
=QR ︒=∠=∴90||||22QP R QR PQ ，)089
()043(21，、，R R -∴（1）求抛
物线的解析式；
（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H . ①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；
②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

O
H F
P
M
N C B
A
y
x。