泛函分析读书笔记(上)

第一部分线性代数
第一章 线性空间
第一节 线性空间
一、基本概念
1、 定义：数域P ＝复数子集＋四则运算封闭
2、 定义：线性空间=•+），；；（P V 数域P 上的线性空间V ＝线性空间V ⑴、解释：=V 非空集合
⑵、解释：V V V →⨯=+【加法，加法保持封闭】 ⑶、解释：V V P →⨯=•【数乘，数乘保持封闭】 ⑷、解释：=•+），（线性运算【满足8条规则】
3、 8条规则
加法规则：⑴、交换律：αββα+=+
⑵、结合律：)()(γβαγβα++=++
⑶、零元素：V ∈∃0，对于V ∈∀α，都有αα=+0
⑷、负元素：对于V ∈∀α，V ∈∃β，使得0=+βα【记为：α-】
数乘规则：⑸、αα=1
⑹、αα)()(kl l k =
加法数乘规则：⑺、βαβαk k k +=+)(
⑻、αααl k l k +=+)(
二、基本性质
1、 性质
⑴、性质：零元素唯一
⑵、证明：假设：V ∈∃10，对于V ∈∀α，都有αα=+10 V ∈∃20，对于V ∈∀α，都有αα=+20 对于V ∈∀α，都有⇒=+αα10特别：212000=+
对于V ∈∀α，都有⇒=+αα20特别：121000=+
12120000+=+【交换律】2100=⇒ ⑶、性质：负元素唯一
2、 性质
⑴、性质：ααα-=-==)1(0000，，k
⑵、证明：ααααααα==+=+=+1)10(100【规则5＋规则8】 )()(]0[0αααααααα-+=-++⇒=+⇒
αααααααα000)]([0)(]0[=+=-++=-++⇒【结合律】
0)(=-+αα【负元素的定义】
00=⇒α
第二节 线性无关
一、基本概念
1、 概念：线性组合（线性表出）
如果：r r k k k αααα+++=Λ2211
则称：向量α是向量组r ααα，，
，Λ21的一个线性组合 或称：向量α可由向量组r ααα，，
，Λ21线性表出
2、 概念：线性相关
如果：存在不全为0的P k k k r ∈，，
，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ
则称：向量组r ααα，，
，Λ21线性相关
3、 概念：线性无关
如果：不存在不全为0的P k k k r ∈，，
，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ
则称：向量组r ααα，，
，Λ21线性无关 4、 关键：00212211====⇒=+++r r r k k k k k k ΛΛααα
二、基本性质
1、 性质
⑴、性质：向量组r ααα，，
，Λ21线性相关 ⇔其中某一向量可由其余向量线性表出 ⑵、证明：必要性：r r r r k k
k k k k k αααααα)()(01
21212211-++-
=⇒=+++ΛΛ 充分性：0)()(221221=-++-+⇒++=r r r r k k k k ααααααΛΛ
2、 性质
⑴、性质：如果：向量组r ααα，，
，Λ21线性无关 并且：可由向量组s βββ，，
，Λ21线性表出 则有：s r ≤
⑵、证明：∑∑===⇒=
⇒+++=s
j j ji i s
j j j s s t t
t t t 1
11
112211111βαβαβββαΛ
∑∑∑∑∑=======⇒
=+++s j r
i j ji i r
i s
j j ji
i
r
i i
i
r r t k t
k k k k k 11
1
1
1
2211][][0ββααααΛ
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧⇒=+++=+++=+++⇒0
00
221122222111122111sr r s s r
r r r t k t k t k t k t k t k t k t k t k ΛΛΛΛs 个方程，r 个未知数
⇒如果s r >，则方程存在非零解r k k k ，，
，Λ21 ⇒向量组r ααα，，
，Λ21线性相关⇒矛盾
3、 等价
⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】
⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量
⑶、证明：假设：向量组r ααα，，
，Λ21线性无关 向量组s βββ，，
，Λ21线性无关
4、 性质
⑴、性质：如果：向量组r ααα，，
，Λ21线性无关 并且：向量组βααα，，，
，r Λ21线性相关 那么：β可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出，并且表法唯一 ⑵、证明：向量组βααα，，，
，r Λ21线性相关 ⇒存在不全为0的P k k k k r ∈β，，，
，Λ21 使得：02211=++++βαααβk k k k r r Λ
r r k k
k k k k k αααββ
βββ)()()(02221-++-+-
=⇒≠⇒Λ 假设：r r k k k αααβ+++=Λ2211
r r l l l αααβ+++=Λ2211
0)()()(222111=-++-+-⇒r r r l k l k l k αααΛ
⇒===⇒r r l k l k l k ，，
，Λ2211表法唯一
第三节 维数、基和坐标
1、 定义：n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量
2、 定义：n 维线性空间V 的一组基：n 个线性无关的向量n εεε，，
，Λ21
3、定义：坐标：对于V ∈∀α，向量组n εεε，，
，Λ21线性无关 向量组n a εεε，，
，，Λ21线性相关【否则1+n 维】 n n a a a εεεα+++=⇒Λ2211⇒坐标)(21n a a a ，，
，Λ=
4、 定理
⑴、定理：如果：向量组n ααα，，
，Λ21线性无关 并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出
那么：V 的维数n =，并且n ααα，，
，Λ21是V 的一组基 ⑵、证明：假设：V 的维数1+=n
⇒121+n βββ，，
，Λ线性无关，可由向量组n ααα，，，Λ21线性表出 ⇒n n ≤+1⇒矛盾
第四节 极大线性无关组
1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组 如果：该部分组线性无关
并且：添加任一向量均线性相关
2、 性质
⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价
⑵、证明：假设：向量组r k αααα，，，，
，ΛΛ21= 极大线性无关组k ααα，，
，Λ21= k ααα，，
，Λ21⇒可由r k αααα，，，，，ΛΛ21线性表出 对于}{21r k ααααβ，，，，
，ΛΛ∈∀ βααα，，，
，k Λ21⇒线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 β⇒可由k ααα，，
，Λ21线性表出
3、 性质
⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量 ⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价 向量组与极大线性无关组2等价
⇒极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】
第五节 线性子空间
1、 定义：），；；（•+P W 是线性空间），；；（•+P V 的一个子空间 ＝W 是数域P 上的线性空间V 的一个子空间 ＝W 是线性空间V 的一个子空间
如果：
⑴、V W =的非空子集
⑵、两种运算封闭：W W W ∈+∈∀∈∀βαβα，， W k W P k ∈∈∀∈∀αα，，
2、 )(21r L ααα，，
，Λ ⑴、性质：如果：∈r ααα，，
，Λ21线性空间V 那么：所有可能的线性组合r r k k k ααα+++Λ2211构成V 的一个子空间
称为：由r ααα，，，Λ21生成的子空间 记为：)(21r L ααα，，
，Λ ⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭
3、 性质
⑴、性质：)()(2121s r L L βββααα，，，，，
，ΛΛ= ⇔向量组r ααα，，
，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价
⑵、证明：
①：充分性：∑==+++=⇒∈∀r
i i
i r r r k k k k L 1
221121)(α
ααααααααΛΛ，，
，
∑∑===⇒=+++=s
j j ji i s j j j s s i t t t t t 1
1
11221111βαββββαΛ
∑∑∑∑∑========
⇒s j r
i j ji i r i s
j j ji
i
r i i
i t k t
k k 1
1
1
1
1
][][ββαα
)()()(212121s r s L L L βββαααβββα，，，，，，，，
，ΛΛΛ⊂⇒∈⇒ ②：必要性：)()(2121s i r i L L βββααααα，，，，，
，ΛΛ∈⇒∈ i α⇒可由向量组s βββ，，
，Λ21线性表出
4、 性质
⑴、性质：如果：W 是n 维线性空间V 的一个m 维子空间
并且：m ααα，，
，Λ21是W 的一组基 那么：m ααα，，
，Λ21可以扩充为线性空间V 的一组基 ⑵、证明：V ∈∃β，使得βααα，，，
，m Λ21线性无关 反证法：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，
，Λ21线性表出 ⇒线性空间V 的维数⇒=m 矛盾
第六节 子空间的交与和
1、 定义：}|{22112121V V V V ∈∈+=+αααα，
2、 性质
⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V I 也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：=21V V I 非空子集【至少都包含零元素】 2121V V V V ∈∈⇒∈∀ααα，I 2121V V V V ∈∈⇒∈∀βββ，I
2121V V V V I ∈+⇒∈+∈+⇒βαβαβα，
3、 性质
⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间 那么：21V V +也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，， 22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀ββββββ，， 222111V V ∈+∈+⇒βαβα，
2122112121)()()()(V V +∈+++=+++=+⇒βαβαββααβα
4、 维数公式
⑴、公式：维+1V 维=2V 维+)(21V V I 维)(21V V +
⑵、证明：假设：m αα，，
Λ1是21V V I 的一组基 111n m ββαα，，，，，
ΛΛ是1V 的一组基 211n m γγαα，，，，，ΛΛ是2V 的一组基
证明：21111n n m γγββαα，，，，，，，，
ΛΛΛ是21V V +的一组基
①、线性无关：022********=++++++++n n n n m m q q p p k k γγββααΛΛΛ
2211111111n n n n m m q q p p k k γγββααα---=+++++=ΛΛΛ
m m l l V V V V αααααα++=⇒∈⇒∈-∈⇒ΛI 112121， m m n n m m l l p p k k ααββαα++=+++++ΛΛΛ11111111 01111====⇒n m m p p l k l k ，，
m m n n l l q q ααγγ++=++ΛΛ112211
00211=====⇒n m q q l l ，Λ
②、21V V +∈∀α，均可由21111n n m γγββαα，，，，，，，，
ΛΛΛ线性表出
第七节 子空间的直和
1、 直和
⑴、定义：=+21V V 直和⇔任何元素的分解式唯一
⑵、分析：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，唯一
2、 性质
⑴、性质：=+21V V 直和⇔零元素的分解式唯一
⑵、证明：充分性：假设：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈αααααα，，
221121V V ∈∈+=ββββα，，
)()()()(022112121βαβαββαα-+-=+-+=⇒ 2211βαβα==⇒，
3、 性质
⑴、性质：=+21V V 直和}0{21=⇔V V I
⑵、证明：充分性：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，
2211210V V ∈∈+=⇒αααα，，
1221221121V V V V ∈∈∈∈⇒-=⇒αααααα，，， 021212211==⇒∈∈⇒ααααV V V V I I ， 必要性：212121V V V V V V ∈-∈⇒∈∈⇒∈∀ααααα，，I 00)(=⇒=-+ααα
4、 性质
⑴、引理：⇔=}0{V 维0=V
⑵、证明：必要性：向量0线性相关⇒不存在线性相关的向量组 充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量α ⇒≠⇒0α向量α线性无关
α⇒可以扩充为线性空间V 的一组基⇒维1≥V ⇒矛盾
⑶、性质：=+21V V 直和⇔维+1V 维=2V 维)(21V V +
第八节 线性空间的同构
1、 定义：同构
如果：=W V ，线性空间
并且：存在W V →的双射σ【双射＝一一映射＝满射＋单射】
并且：σ满足两条性质：①)()()(βσασβασ+=+②)()(ασασk k = 则称：V 和W 同构，=σ同构映射
2、 基本性质
⑴、性质：数域P 上的n 维线性空间V 与n P 同构
⑵、证明：①、=•+)(，，
；P P n
线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】 n n n n P b b b P a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，
，ΛΛβα )(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，
，Λβα n n P a a a P k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα
)(21n ka ka ka k ，，
，Λ=•⇒α ②、构造n
P V →的双射σ【向量到坐标的双射】
假设：V n =εεε，，
，Λ21的一组基 )()(212211n n n a a a a a a V ，，
，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα ③、σ满足两条性质
)()(212211n n n a a a a a a V ，，
，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα )()(212211n n n b b b b b b V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀βσεεεββ
n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111+++++=+⇒Λ
)()()()(2211βσασβασ+=++++=+⇒n n b a b a b a ，，
，Λ
3、 性质群1
⑴、性质：)()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ΛΛ ⑵、证明：σ的两条性质
⑶、性质：r ααα，，
，Λ21线性无关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性无关 ⑷、证明：必要性：假设：0)()()(2211=+++r r k k k ασασασΛ
0)(2211=+++⇒r r k k k ααασΛ
由于0)0(=σ，并且=σ双射
00212211====⇒=+++⇒r r r k k k k k k ΛΛααα
⑸、性质：r ααα，，
，Λ21线性相关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性相关 ⑹、证明：反证法
⑺、性质：同构的线性空间同维
⑻、证明：假设：线性空间V 和W 同构，并且维n V =)(，维m W =)(
维⇒=n V )(存在n 个线性无关的向量组V n ∈ααα，，
，Λ21 ⇒存在n 个线性无关的向量组W n ∈)()()(21ασασασ，，
，Λ ⇒维n m W ≥=)( 同理：n m n m =⇒≤
4、 性质群2
⑴、性质：如果：1V 是线性空间V 的一个子空间
那么：}|)({)(11V V ∈=αασσ是线性空间)(V σ的子空间 ⑵、证明：①、=1V 非空子集=⇒)(1V σ非空子集
②、两种运算封闭
假设：11
1*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-αασασασα【双射】 111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-ββσβσβσβ
111*)(*)(V ∈+⇒--βσασ【运算封闭】
)(*)](*)([111V σβσασσ∈+⇒--【定义】【σ的两条性质】
***)]([*)]([*)](*)([1111βαβσσασσβσασσ+=+=+----
)(**1V σβα∈+⇒
⑶、性质：=-στσ、1
同构映射 ⑷、证明：①、=-1
σ
双射
②、1
-σ
的两条性质
)]([)]([)]([1
1
1
βσσασσβασσβαβα---+=+⇒+=+ )]()([)]([1
1
1
βσασσβασσ---+=+⇒【σ的两条性质】
)()()(111βσασβασ---+=+⇒
第二章 欧几里得空间
第一节 实线性空间
1、 定义：实线性空间)(•+=，；
；R R n
⑴、两种运算：①、向量加法
n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα
)(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，
，Λβα ②、向量数乘
n n R a a a R k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα
)(21n ka ka ka k ，，
，Λ=•⇒α ⑵、两种运算封闭＋满足8条性质
第二节 欧几里得空间
一、基本概念
1、 定义：内积==)(βα，内积的4条性质 ⑴、交换：)()(αββα，，= ⑵、数乘：)()(βαβα，，k k =
⑶、分解：)()()(γβγαγβα，，，+=+ ⑷、正定：0)(≥αα，，00)(=⇔=ααα，
2、 欧几里得空间【欧氏空间】
⑴、定义：欧几里得空间+•+=)(，；；R V 内积
⑵、分析：未确定因素；③，
；②①•+V 内积
⑶、典例：=n
E 实线性空间+•+)(，；
；R R n
内积 ⑷、分析：①、n
R V =；
②、=•+，向量加法＋向量数乘；
③、内积：n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，
，ΛΛβα n n b a b a b a +++=⇒Λ2211)(βα，【满足内积的4条性质】
3、 基本概念
⑴、概念：向量长度)(||ααα，== ⑵、概念：单位向量|
|αα=
⑶、概念：向量距离)(||)(βαβαβαβα--=-==，，d ⑷、概念：夹角|
|||)
(cos 1
βαβαβα，，->==<
二、柯西不等式
1、 基本公式
⑴、公式：|||||)(|βαβα≤，
⑵、证明：①0)(0||0==⇒=βαββ，， ②⇒≠0β令βαγt +=
022
≥++=++=⇒），（），（），（），（），（βββαααβαβαγγt t t t
04]2[2≤-=∆⇒），）（，（），（ββααβα【开口向上＋单根或者无根】
），）（，（），（ββααβα≤⇒2
][
③等号成立条件：βαβαγγγt t -=⇒=+⇒=⇒=000），（
）
，（）
，（βββα-=-
=a b t 2【单根】 βαββββαα、）
，（）
，（⇒=⇒线性相关
2、 推论
⑴、推论：||||||βαβα+≤+
⑵、证明：），（），（），（），（βββαααβαβα++=++2 2
2
2
|]||[|||||||2||βαββαα+=++≤
⑶、推论：||||||γββαγα-+-≤-
⑷、证明：令γαβαγβββαα-=+⇒-=-=，【代入上式】
第三节 标准正交基
1、 基本概念
⑴、定义：两个向量正交【如果0)(=βα，，则称βα、正交，记为βα⊥】
⑵、性质：n 维欧几里得空间V 的内积∑∑===
=n j n
i j
i
j
i b a 11
)()(ε
εβα，，
⑶、证明：假设：V n =εεε，，
，Λ21的一组基 n n a a a V εεεαα+++=⇒∈∀Λ2211
n n b b b V εεεββ+++=⇒∈∀Λ2211
2、 基本概念
⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组⎩⎨⎧≠==≠==j
i j
i j i 00)(αα，
⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基
⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量
3、 基本性质
⑴、性质：正交向量组线性无关
⑵、证明：假设：=r ααα，，
，Λ21正交向量组 02211=+++++⇒r r i i k k k k ααααΛΛ
0)()(2211==+++++⇒i i i i r r i i k k k k k ααααααα，，ΛΛ 0=⇒i k
4、 定理
⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基
⑵、证明：①假设：=m ααα，，
，Λ21线性空间V 的正交向量组 V ∈∃β，使得βααα，，，
，m Λ21线性无关 否则：βαααβ，，，
，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，
，Λ21线性表出 ⇒维V ⇒=m 矛盾 ②∑=+-
=m
j j
j m k 1
1α
βα
m i k i m
j j j i m ，，，，，，Λ21)()(1
1=-=⇒∑=+ααβαα
0))1
=-=-=∑=），（，（），（，（i i i i i m
j j j i k k αααβαααβ
）
，（，（i i i i k αααβ)
=⇒
5、 定理
⑴、定理：如果：V n =εεε，，
，Λ21的一组基 那么：可以找到一组标准正交基n ηηη，，，Λ21 并且：)()(2121n n L L ηηηεεε，，，，，
，ΛΛ= ⑵、证明：①|
|111εεη=
②假设：已经找到一组单位正交向量m ηηη，，，Λ21 使得：)()(2121m m L L ηηηεεε，，，，，
，ΛΛ= ∑=+++-
=⇒m
j j j m m m 1
1
11)(ηηε
εγ，
m i i m
j j j m m i m ，，，，，，，Λ21))(()(1
1
11=-
=⇒∑=+++ηηηε
εηγ
))(()())(()(111
11i i i m i m i m
j j j m i m ηηηεηεηηηεηε，，，，，，++=++-=-=∑
0))(()(11=-=++i i i m i m ηηηεηε，，， |
|11
1+++=
⇒m m m γγη ③∑=++++-
=n
j j j m m m m 1
1
111)(||ηηε
εγη，
1+⇒m η可由121+m εεε，，
，Λ线性表出 1+m ε可由121+m ηηη，，，Λ线性表出
121+⇒m εεε，，
，Λ与121+m ηηη，，，Λ等价 )()(121121++=⇒m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ
第四节 正交补
1、 基本概念
⑴、定义：V ⊥α：如果V ∈∀β，都有0)(=βα，
则称V 、α正交，记为V ⊥α
⑵、定义：W V ⊥：如果W V ∈∀∈∀βα，，都有0)(=βα，
则称W V 、正交，记为W V ⊥
⑶、定义：正交补：假设：=21V V ，线性空间V 的两个子空间 如果：V V V V V =+⊥2121，
则称：12V V =的正交补，记为：⊥
=12V V
2、 性质
⑴、性质：如果：s V V V ，，
，Λ21两两正交 那么：=+++s V V V Λ21直和 ⑵、证明：假设：i i s V ∈+++=αααα，Λ210
00)(0)(21=⇒=⇒=+++⇒i i i i s ααααααα，，Λ
3、 性质
⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一
⑵、证明：假设：=1V 线性空间V 的一个子空间，⊥
=12V V ①、V V V =⇒=21}0{
②、1211}0{V V m =⇒≠εεε，，
，Λ的一组正交基 ⇒可以扩充为=n m εεε，，，，ΛΛ1V 的一组正交基 )(12n m L V εε，，Λ+=⇒
⊥
=⇒12V V 【证明集合相等】【根据定义证明正交】
③、假设：21V V ⊥，并且V V V =+21
31V V ⊥，并且V V V =+31
3311312222V V V V ∈∈+=⇒∈∀⇒∈∀ααααααα，，
00((111131112=⇒=⇒+=⇒
ααααααααα），），（），），（ 32323323V V V V ⊂⇒∈⇒∈=⇒αααα， 同理可证：3223V V V V =⇒⊂
第三章 线性变换
一、线性变换的定义
1、 定义：线性变换
假设：=T 线性空间）
，；；（•+P V 的一个变换 如果：T 满足两个条件
⑴、V T T T ∈∀+=+βαβαβα，，)()()( ⑵、V P k kT k T ∈∀∈∀=ααα，，)()(
则称：=T 线性变换
2、 等价条件
⑴、性质：T 的两个条件等价于
V P k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(
⑵、证明：①必要性：)()()()()(212121βαβαβαT k T k k T k T k k T +=+=+
②充分性：)()()(121βαβαT T T k k +=+⇒==
)()(021ααkT k T k k k =⇒==，
二、线性变换的运算
1、 线性变换的乘积
⑴、定义：V T T T T ∈=ααα，))(())((2121 ⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换
⑶、证明：①))(())(())((2212121βαβαβα（）T T T T T T T +=+=+
))(())(())(())((21212121βαβαT T T T T T T T +=+=
②））
）ααααα)(()(()(())(())((2121212121T T k T kT kT T k T T k T T ====
2、 线性变换的加法
⑴、定义：V T T T T ∈+=+αααα，)()())((2121 ⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换 ⑶、证明：同上类似
三、线性变换的矩阵
1、 定理：
⑴、定理：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间）
，；；（•+=P V V n =εεε，，
，Λ21的一组基 =n a a a ，，，Λ21任意一组向量
那么：存在唯一的一个线性变换T
使得：n i a T i i ，，，，Λ21
==ε ⑵、证明：存在性和唯一性
2、 唯一性
⑴、性质：如果：n i T T i i ，，，
，Λ2121==εε 那么：21T T =
⑵、证明：n n x x x x V x εεε+++=⇒∈∀Λ2211
n n n n T x T x T x x x x T x T εεεεεε1212111221111)(+++=+++=⇒ΛΛ x T x x x T T x T x T x n n n n 2221122222121)(=+++=+++=εεεεεεΛΛ
3、 存在性
⑴、性质：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间）
，；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基
=n a a a ，，，Λ21任意一组向量
那么：存在一个线性变换T
使得：n i a T i i ，，，，Λ21
==ε
⑵、证明：
①变换T ：∑==
+++=⇒∈∀n
i i
i n n x x x x x V x 1
2211ε
εεεΛ
∑==
+++=⇒n
i i
i n n a
x a x a x a x Tx 1
2211Λ
②线性变换T ：假设：∑∑===⇒∈∀=
⇒∈∀n
i i
i n
i i i z z V z y y V y 1
1
ε
ε，
∑∑===+=
+⇒n
i i i n
i i i i
ky ky z y
z y 1
1
)(εε，
Tz Ty a z a y a z y
z y T n
i i i n i i i n
i i i i
+=+=+=
+⇒∑∑∑===1
1
1)()(
kTy a y k a
ky ky T n
i i i n
i i
i ===
⇒∑∑==1
1
)(
③证明i i a T =ε：n i i εεεεε010021+++++=ΛΛ
i n i a a a a a T =+++++=⇒0100221ΛΛε
4、 定义：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间）
，；；（•+=P V V n =εεε，，
，Λ21的一组基 V T =的一个线性变换
那么：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=⇒n
nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛ22112222112212211111 )()(2121222211121121n nn n n n n n T T T a a a a a a a a a εεεεεε，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒ )()(2121n n T T T A εεεεεε，，，，，
，ΛΛ=⇒ 则称：=A 线性变换T 在n εεε，，
，Λ21下的矩阵
⑵、性质：如果：取定一组基
并且：=ϕ线性变换n n T ⨯→矩阵的一个映射
那么：=ϕ双射
⑶、证明：①单射：假设：2211)()(A T A T ==ϕϕ，
212121T T T T A A i i =⇒=⇒=εε【唯一性】
②满射：i i ni i i i a T a a a a A =⇒=⇒ε)(21，，
，Λ【存在性】
5、 定理
⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法
⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积
⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘
⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆
第二部分泛函分析
第一章 度量空间
第一节 度量空间
一、度量空间
1、 符号约定：）
，；；（），；；（•+⇒•+F R P V
2、 定义：距离ρρ==），（y x 的两条性质
⑴、正定：R y x y x y x y x ∈∀=⇔=≥，；），（，），（00ρρ
⑵、三角不等式：R z y x z y z x y x ∈∀+≤，，）；，（），（），（ρρρ
3、 定义：度量空间)ρ，（R =【距离空间】
⑴、解释：=R 非空集合
⑵、解释：=ρ距离【满足ρ的两条性质】
4、 对称性
⑴、性质：）
，（），（x y y x ρρ= ⑵、证明：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤
），（），（），（），（），（x y y x x y x x y x ρρρρρ≤⇒+≤⇒
同理可证：），（），（），（），（x y y x y x x y ρρρρ=⇒≤
二、基本概念
1、 子空间
⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间
⑵、证明：假设：=)ρ，（R 度量空间， =)ρ，（M 度量空间的子空间
证明：=M 非空子集，ρ的两条性质仍然满足
2、 一致离散：如果：0>∃α
使得：y x R y x ≠∈∀，，；都有：αρ>），（y x
则称：=R 一致离散的度量空间
3、 等距映射和等距同构
⑴、定义：等距映射：假设：
=))11ρρ，，（，（R R 度量空间；1R R →=ϕ的映射 如果：），
（），（y x y x ϕϕρρ1= 则称：1R R →=ϕ的等距映射
⑵、性质：1R R →=ϕ的等距映射1R R →=⇒ϕ的单射
⑶、证明：y x y x y x y x ϕϕϕϕρρ≠⇒≠⇒≠⇒≠001），
（），（
⑷、定义：等距同构：假设：1R R →=ϕ的等距映射
如果：1)(R R =ϕ
则称：
=))11ρρ，，（，（R R 等距同构【双射】 ⑸、性质：11)(R R R R →=⇒=ϕϕ的满射
三、极限
1、 极限
⑴、定义：假设：=R 度量空间，R x n x n ∈=，，，)21
(Λ 如果：0)(lim =∞→x x n n ，ρ
则称：点列}{n x 按距离收敛于x
记为：x x n →【x x n n =∞
→lim 】 并称：=}{n x 收敛点列，}{n x x =的极限
⑵、归纳：0)(lim lim =⇔=⇔→∞
→∞→x x x x x x n n n n n ，ρ
2、 性质
⑴、性质：收敛点列的极限唯一
⑵、证明：假设：0)(lim =⇒→∞
→x x x x n n n ，ρ 0)(lim =⇒→∞
→y x y x n n n ，ρ )()()(0y x x x y x n n ，，，ρρρ+≤≤⇒【三角不等式】
0)]()([lim )(0=+≤≤⇒∞
→y x x x y x n n n ，，，ρρρ【夹逼原则】 y x y x =⇒=⇒0)(，ρ
3、 性质
⑴、性质：如果：00y y x x n n →→，
那么：)()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=∞
→【y x y x ，，=)(ρ的连续函数】 ⑵、证明：0)(lim 00=⇒→∞
→x x x x n n n ，ρ 0)(lim 00=⇒→∞
→y y y y n n n ，ρ )()()()(0000n n n n y y y x x x y x ，，，，ρρρρ++≤
)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒
)()()()(0000y y y x x x y x n n n n ，，，，ρρρρ++≤
)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒
)()(|)()(|00000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-≤⇒
0)]()([lim |)()(|lim 00000=+≤-≤⇒∞
→∞→y y x x y x y x n n n n n n ，，，，ρρρρ )()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=⇒∞
→
4、 定义：开球})(|{)(00R x r x x x r x O ∈<==，，，ρ
其中：=R 度量空间，R x ∈0，+∞<<r 0【=r 有限正数】
5、 定义：有界集：假设：=R 度量空间，R M =中的点集
如果：M 包含在某个开球)(0r x O ，中
则称：R M =中的有界集
6、 性质
⑴、性质：如果=}{n x 收敛点列，那么=}{n x 有界集
⑵、证明：=}{n x 收敛点列0lim x x n n =⇒∞
→ 0>∃⇒N ，使得当N n >时，都有1)(0<x x n ，ρ
1)1)()(m ax (001+=⇒，，，，
，x x x x r N ρρΛ }{n x ⇒包含在开球)(0r x O ，中
四、常见的度量空间
1、 欧氏空间n
E =，其中：)()(y x y x y x --=，，ρ【内积】
2、 函数空间==][b a C ，区间][b a ，上的连续函数的全体
其中：|)()(|max )(][t y t x y x b a t -=∈，，ρ
第二节 范数
一、范数
1、 定义：R 上的实值函数)(x P 的4个条件【范数的4个条件】
⑴、正定1：R x x P ∈∀≥，0)(
⑵、齐次性：R x F x P x P ∈∀∈∀=，，ααα)(||)(
⑶、三角不等式：R y x y P x P y x P ∈∀+≤+，，)()()(
⑷、正定2：00)(=⇔=x x P
2、 定义：范数：假设：=•+），；；（F R 实数域F 上的线性空间
如果：R 上的实值函数)(x P 满足范数的4个条件
则称：x x P =)(的范数
记为：x x =||||的范数【)(||||x P x =】
并称：=R 赋范线性空间【赋范空间】
3、 性质
⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件
⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：00)(=⇒=x x P
⑶、证明：0)0(0)(|0|)0()0(00=⇒===⇒=P x P x P P x
4、 典例：函数空间][b a C ，
⑴、性质：如果：][|)(|max ||||]
[b a C f x f f b a x ，，，∈∀=∈ 那么：=][b a C ，赋范线性空间
⑵、证明：①=][b a C ，线性空间）
，；；（•+F R 定义：=+向量加法，=•向量数乘⇒两种运算封闭＋满足8个条件
②范数的4个条件
正定1：0|)(|max ||||]
[≥=∈x f f b a x ， 齐次性：||||*|||)(|max |||)(|max ||||]
[][f x f x f f b a x b a x αααα===∈∈，， 三角不等式：|)()(|max ||||]
[x g x f g f b a x +=+∈， |||||||||)(|max |)(|max ]
[][g f x g x f b a x b a x +=+≤∈∈，， 正定2：0)(0|)(|max 0||||]
[=⇒=⇒=∈x f x f f b a x ，
5、 典例：n 维向量空间n R
⑴、范数1：n n n
i i R x x x x x x x x x ∈=∀==
=∑=)()(||||||2112，，，，，Λ ⑵、范数2：∑==n i i
x x 1
|||||| ⑶、范数3：||max ||||1i n
i x x ≤≤=
二、范数和距离
1、 性质
⑴、性质：利用范数可以定义距离：||||)(y x y x -=，ρ
⑵、证明：距离的两个条件
①正定：0||||)(≥-=y x y x ，ρ
y x y x y x =⇔=-⇔=0||||0)(，ρ
②三角不等式：||||||||||||y x y x +≤+
y x y x y z y z x x -=+⇒-=-=，
||||||||||||||||||||z y z x y z z x y x -+-=-+-≤-⇒
)()()(z y z x y x ，，，ρρρ+≤⇒
⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离⇒度量空间【线性空间＋范数＋距离】
2、 极限
⑴、定义：假设：=R 赋范线性空间，R x n x n ∈=，，，)21
(Λ 如果：0||||lim =-∞
→x x n n 则称：点列}{n x 按范数收敛于x
记为：x x n →【x x n n =∞
→lim 】 ⑵、归纳：0||||lim lim =-⇔=⇔→∞
→∞→x x x x x x n n n n n
3、 性质
⑴、性质：如果0x x n →，那么||||||||lim 0x x n n =∞
→【x x =||||的连续函数】 ⑵、证明：0||||lim 00=-⇒→∞
→x x x x n n n ||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤
||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤
||||||||||||||000x x x x n n -≤-≤⇒
0||||lim |||]||||[|||lim 000=-≤-≤⇒∞
→∞→x x x x n n n n ||||||||lim 0||]||||[||lim 0||||||||||lim 000x x x x x x n n n n n n =⇒=-⇒=-⇒∞
→∞→∞→
4、 性质
⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件
①、)0()(，，y x y x -=ρρ
②、)0(||)0(，，x x ρααρ=
⑵、证明：①、||||)(y x y x -=，ρ
||||||0||)0(y x y x y x -=--=-，ρ
②、||||*||||||||0||)0(x x x x ααααρ==-=，
||||*||||0||*||)0(||x x x ααρα=-=，
5、 性质
⑴、性质：如果：)(y x ，ρ满足两个条件
那么：可以利用距离定义范数：)0(||||，x x ρ=
⑵、证明：范数的4个性质
①正定1：0)0(||||≥=，x x ρ
②齐次性：||||*||)0(||)0(||||x x x x αρααρα===，，
③三角不等式：）
，（），（），（z y z x y x ρρρ+≤ ）
，（），（），（），（），（），（00000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤-⇒+≤⇒ ）
，（），（），（00|1|0y y y ρρρ=-=- ）
，（），（），（），（），（），（000000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤+⇒-+≤-⇒ ||||||||||||y x y x +≤+⇒
④正定2：00)0(0||||=⇒=⇒=x x x ，ρ
6、 定理
⑴、利用范数，可以定义距离
⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件
⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数
⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】
第二章 有界线性算子
第一节 度量空间中的点集
1、 基本概念
⑴、概念：0x 的-ε环境})(|{)(00R x x x x x O ∈<==，，，ερε
⑵、概念：A x =0的内点：如果存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，
⑶、概念：=A 开集：如果A 的每一个点都是内点
⑷、概念：0x 的环境==)(0x O 包含0x 的开集
2、 基本性质
⑴、性质：)(00ε，x O x ∈，)(00ε，x O x =的内点【ερ<=0)(00x x ，】【2*εε=】
⑵、性质：)(00x O x ∈，)(00x O x =的内点【定义】
3、 重要性质
⑴、性质：=)(0ε，x O 开集
⑵、证明：ερε<⇒∈∀)()(00x z x O z ，，
)(*0)(000x z x z ，，ρεερε-<<⇒-<⇒
*)(*)(ερε<⇒∈∀z x z O x ，， ερερρρ<+<+≤⇒)(*)()()(000z x z x z x x x ，，，，
)(*)()(00εεε，，，x O z O x O x ⊂⇒∈⇒
)(0ε，x O z =⇒的内点=⇒)(0ε，x O 开集
4、 重要性质
⑴、性质：0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，都是0x 的环境
⑵、意义：-ε环境=环境的特殊情况
⑶、证明：=∈)()(000εε，，，x O x O x 开集
⑷、性质：A x =0的内点⇔存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0
⑸、意义：利用环境定义内点
⑹、证明：①：A x =0的内点
⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，
⇒存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0
②：存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0
)(00x O x =⇒的内点
⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，
⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，
A x =⇒0的内点
5、 定理
⑴、定理：⇔→0x x n
对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈
⑵、意义：利用环境定义收敛点列
⑶、证明：①：任取0x 的一个环境)(0x O =)(00x O x =⇒的内点
⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，
⇒→0x x n 对于0>ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(0x x n ，
)()(00x O x x O x n n ∈⇒∈⇒ε，
②：对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈
⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，
存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈
00)(x x x x n n →⇒<⇒ερ，
⑷、推论：⇔→0x x n
对于0x 的任何-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ ⑸、意义：利用-ε环境定义收敛点列
第二节 连续映射
1、 函数)(x f 在0x 点连续
⑴、传统描述：对于00>∃>∀δε，，当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f
⑵、环境描述：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =
存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =
当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈
2、 映射f 在0x 点连续【双重扩展】
⑴、定义：假设：=Y X ，度量空间，X D =的一个子空间，Y D f →=的映射
如果：对于)(0x f 的任何环境Y x f O ⊂=))((0
存在0x 的一个环境D x O ⊂=)(0
当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈
则称：映射f 在0x 点连续
⑵、定义：如果：映射f 在D 上的每一点都连续
则称：D f =上的连续映射
3、 等价定理
⑴、定理：①：映射f 在0x 点连续
②：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =
存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =
当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈
③：)()(00x f x f x x n n →⇒→
⑵、证明：①⇒②
映射f 在0x 点连续
⇒对于)(0x f 的任何环境))((0x f O =
存在0x 的一个环境)(0x O =
当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈【定义】
⇒对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =
存在0x 的一个环境)(0x O =
当)(0x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈【-ε环境=环境的特殊情况】 )(00x O x =的内点
⇒存在0x 的一个-δ环境)()(00x O x O ⊂=δ，
⇒结论【全局满足则局部满足】
⑶、证明：②⇒③
⇒→0x x n 对于0>∀δ，存在0>N ，当N n >时，)(0δ，x O x n ⊂ N 由δ决定，δ由ε决定⇒N 由ε决定
⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈
)()(0x f x f n →⇒
⑷、证明：③⇒①
反证法：映射f 在0x 点不连续
⇒存在)(0x f 的一个环境))((0x f O =
对于0x 的任何环境)(0x O =
存在)(0x O x ∈，))(()(0x f O x f ∉
⇒对于0x 的任何环境)1(0n
x O ，=，存在)(0x O x n ∈，))(()(0x f O x f n ∉ 0)(lim 1)(0)(000=⇒<<⇒∈∞→x x n
x x x O x n n n n ，，ρρ【夹逼定理】 )()(00x f x f x x n n →⇒→⇒【条件】
⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈ ))(()(00x f O x f =的内点
⇒存在)(0x f 的一个-*ε环境))((*))((00x f O x f O ⊂=ε，
⇒对于0*>ε，
存在0>N ，当N n >时，))((*))(()(00x f O x f O x f n ⊂∈ε， ⇒存在0>N ，当N n >时，))(()(0x f O x f n ∈
⇒矛盾【N 由*ε决定，*ε由))((0x f O 决定】
第三节 线性算子
1、 算子
⑴、定义：算子＝映射
⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子
2、 线性算子
⑴、定义：假设：=Y X ，实数域F 上的线性空间
X D =的子空间
Y D T →=的映射
如果：T 满足条件：
D F k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(
则称：=T 线性算子
并称：T D =的定义域，T D x Tx TD =∈=}|{的值域
⑵、定义：如果：=T 线性算子
并且：F TD ⊂
则称：=T 线性泛函
第四节 线性算子的有界性与连续性
一、有界算子
1、 连续定理
⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续
⑵、描述：假设：=Y X ，赋范线性空间，X D =的一个子空间，Y D T →=的线性算子 如果：T 在D x ∈0连续
那么：D T =上的连续算子
⑶、证明：①：假设：x x D x n →∀⇒∈∀
②：x x n →
⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(x x n ，
||||)(x x x x n n -=，ρ【=X 赋范线性空间】
||||)(00x x x x x x n n -=+-，ρ
⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<+-)(00x x x x n ，
00x x x x n →+-⇒
③：T 在0x 点连续00)(Tx x x x T n →+-⇒【等价定理①⇒③】
00Tx Tx Tx Tx n →+-⇒【=T 线性算子】
Tx Tx n →⇒【=Y 赋范线性空间】
T ⇒在x 点连续【+∀n x 等价定理③⇒①】
T ⇒在D 上处处连续【x ∀】。