二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
知识要点：
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：
1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式求最值.
基本思想:1.面积问题向线段长方向转化;2.规则图形面积运用面积计算公式计算;2.不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差.
一、知识回顾：
1、二次函数c bx ax y 2
++=的顶点坐标是___ ____ 对称轴是_______ 最值为_______
2、二次函数1422++=x x y 的顶点坐标是__ __，对称轴是__ __，该函数有最_ _值，最值为 __。

3、一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积和宽之间的函数关系式___________
二、新知学习:
例1.某广告公司设计一幅周长为20 m 的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m ，广告牌的面
积为S m 2．
(1)写出广告牌的面积S 与边长x 的函数关系式；
(2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x ≤10)；
(3)根据图象观察当边长x 为何值时，广告牌面积S 最大？
例2.【课本例题改编】.如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
〖针对练习1〗如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD 的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
〖针对练习2〗用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
例3.如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？
例4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6㎝，BC＝12㎝，点P从点A出发，沿AB边向点B以1㎝/（s）的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2㎝/（s）的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C后就停止移动，回答下列问题：
（1）设运动开始后第t（s）时，五边形APQCD的面积为S㎝2，写出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
（2）t为何值时，S最小？求出S的最小值。

〖针对练习1〗如图点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小。

〖针对练习2〗如图，在△ABC中，∠B=90º,AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2MM/S的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s 的速度移动已知P、Q分别从A\B同时出发，求三角形PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式。

并求出t的取值范围。

〖针对练习3〗已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，
分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q
到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△B PQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
例5 如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．
（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高；
（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm2），求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．
〖针对练习1〗如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
〖针对练习2〗如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x 米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？
检测:
1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
2.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长体方形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)
3.富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
(1)如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？
(2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
4.已知三角形的两边和为20 cm，这两边的夹角为120°，如图所示，求三角形的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少？
5. 己知：正方形ABCD的边长为4，经过AB边上一点P作平行于对角线AC、BD的直线，分别与边BC、AD交于点Q、R．设△PQR的面积为y，AP＝x，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
想一想:某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？。