2014白鹭洲中学高考数学适应性考试卷附答案文科

2014白鹭洲中学高考数学适应性考试卷（附答案文科）
考生注意：
1、 本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答案都必须写在答题纸上。

2、 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3、 考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若复数z 的实部为1，且2||=z ，则复数z 的虚部是（ ）
A
2．已知集合{}
{
}
2
lg 0,4M x x N x x =>=≤，则M
N =（ ）
A 、(1,2)
B 、[1,2)
C 、(1,2]
D 、[1,2] 3．已知3
()2'(1)f x f x x =+，则
'(2)f =
（ ）
A ．0
B ．6-
C ．6
D ．8
4．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．某程序框图如图所示，现将输出的(,)x y 值依次记为：
1122(,),(,),
,(,),
n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),
x -则数组中的x =（ ）
A ．32
B ．24
C ．18
D ．16
6、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）
7、以下命题中：①p q ∨为假命题，则p 与q 均为假命题
②对具有线性相关的变量,x y 有一组观测数据(,)(1,2,,8)i i x y i =⋅⋅⋅，其回归直线方程是
13y x a =+，且123812382()6x x x x y y y y +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=，则实数14
a =
③对于分类变量x 与y 它们的随机变量2χ的观测值2χ来说2χ越小.“x 与y 有关联”的把握程度越大
④已知
1
02x x
-≥-，则函数1
()2x x f x +=的最小值为16. 其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，且O 为坐标原点，则=⋅+OA OC OB )( （ ） A ．32- B ．32 C ．72- D ．72
9．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则
（C ）2 （D ）1
中，//AB CD ,且2AB CD =,设
为焦点且过点D 的双曲线的离心
率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，设
1e =()(),,21θθg e e f =则()()θθg f ,的大致图像是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11的单调递减区间是 .
12、已知)2,1(=→
a ,)log ,2(2m
b -=→
,若→
→→→=⋅b a b a ,则正数m 的值等于_________． 13、对于集合{}
5,4321,,,a a a a a A =，定义集合{}
51,|≤<≤+==j i a a x x S j i ，记集合S
中的元素个数为()S A ．若54321,,,,a a a a a 是公差大于零的等差数列，则
()S A =____________．
14、设不等式组40,
40,0x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为M ，不等式组,(04)
04t x t t y t -≤≤⎧≤≤⎨≤≤-⎩
表示的平面区域为N.在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率为P ， 则P 的最大值是_________.
15、如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，
则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①2y x =;②1x
y e =+;③2sin y x x =-;
以上函数是“H 函数”的所有序号
为 .
三、解答题（本大题共6个小题，共75分）
16、已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，且不等式2
320ax x -+<的解集为()1,d ．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若3n a n n b a =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．
17．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为b a ,.
（1）求直线05=++by ax 与圆122=+y x 相切的概率；
（2）将5,,b a 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率. 18、如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A BC D -中,1D D ⊥底面ABCD ,
1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒．
（1)求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ；
（2）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积．
19、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若
sin 12sin 15sin 20=⋅+⋅+⋅C B A 。

（1）试判断△ABC 的形状；
（2
5=，点P 是△ABC 内切圆上的动点，求2
2
2
++的取值范围。

20、若椭圆1E :1212212=+b y a x 和椭圆2E : 122
2
222=+b y a x 满足)0(2121>==m m
b b a a ，则称
这两个椭圆相似，m 称为其相似比。

（1）求经过点)6,2(，且与椭圆12
42
2=+y x 相似的椭圆方程。

（2）设过原点的一条射线l 分别与（1）中的两个椭圆交于A 、B 两点
（其中点A 在线段OB 上），求OB
OA 1
+的最大值和最小值.
21、已知函数()()(),ln x
x
f x e ax a R
g x e x =+∈=（e 为自然对数
的底数）.
（1）设曲线()1y f x x ==在处的切线为l ，若l 与点（1，0
a 的值； （2）若对于任意实数()0,0x f x ≥>恒成立，试确定a 的取值范围；
（3）当()()()[]11a M x g x f x e =-=-时，函数在，上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
白鹭洲中学2014届高三适应性考试
数学（文科）答题卡
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、 12、 13、 14、 15、
三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 16、（本小题12分）
考号
17、（本小题12分）
18、（本小题12分）
19、（本小题12分）
20、（本小题13分）
21（本小题14分）
白鹭洲中学2014届高三适应性考试
数学（文科）参考答案
二、填空题：
11、(－∞,－3] 12、 161 13、7 14、2
1
15、 ②③ 三、解答题：
16、解析：（I ）易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.
n d a a a n n d d a ⎧
+=⎪=⎧⎪∴∴=+-⋅=-⎨⎨=⎩⎪⋅=⎪⎩
…………6分
（II ）由（I ）知21321,n n b n -=+-
()()()()()()()()13
21
1
3
21
2319121331333
21333
132191.19
2
8
n n n n
n n n
T n n n ---+-∴=++++
++-=++
++++
+-=
+
=
-+- …………12分
17、解析： （1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ,事件总数为6×6=36．
因为直线05=++by ax 与圆
12
2=+y x 相切，所以有 即：2225a b +=，由于{},1,2,3,4,5,6a b ∈
所以，满足条件的情况只有3,4a b ==或4,3a b ==两种情况．
所以，直线05=++by ax 与圆12
2
=+y x 相切的概率是6分
（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ,事件总数为6×6=36． 因为，三角形的一边长为5 所以，当1a =时，5b =，（1，5，5） 1种 当2a =时，5b =，（2，5，5） 1种 当3a =时，3,5b =，（3，3，5），（3，5，5） 2种
当4a =时，45b =，，（4，4，5），（4，5，5） 2种
当5a =时，=1,2,3,45b ，，63，
（5
，1，5），（5，2，5），（5，3，5）， （5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种
当6a =时，56b =，，（6，5，5），（6，6，5） 2种
故满足条件的不同情况共有14种.
12分 18、解：（1）证明：在
ABD
∆中,由余弦定理得：
所以222
AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥，
又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥，…………3分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥，
又
1D D BD D =,所以BC ⊥平面11BDD B , …………5分
又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BDD B ． 6分
（2）连结1BD ，
∵BC ⊥平面
11BDD B ，所以1BC BD ⊥，
所以四边形
11A BCD 的
…………8分
取
1BD 的中点M ，连结DM ，则1DM BD ⊥，
，又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11
A BCD 平面
1BDD 1BD =，
所以DM ⊥平面1
1A BCD ，所以四棱锥11D A BCD
-的体积：
…………12分
19、解：（1）由正弦定理得0121520=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，…………2分
又)(+-=+=，故)2012()2015(=-+-a c a b ， 由、为不共线向量，可得02015=-a b 且02012=-a c …………4分 所以a b 34=
，a c 3
5
=，从而222a b c =-，故△ABC 为直角三角形。

…………6分 （2）以CA 所在边为x 轴建立直角坐标系，得内切圆方程为1)1()1(2
2
=-+-y x ， 设P 坐标为),(y x ，则2222222
2
2
)3()4(y x y x y x ++-+++-=++
x y x y x 22825683322-=+--+=
…………9分
因为 20≤≤x ，所以[]22,18228∈-x …………12分
20、解：（1）设所求的椭圆方程为12222=+b
y a x ，则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=1642
22
2b a b a 解得⎩⎨⎧==81622b a …………3分 ∴所要求的椭圆方程为
18
162
2=+y x …………5分 （2）①当射线与y 轴重合时，OB OA 1+=42
52
212=
+…………6分 ②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A 、B 在第一象限的情形。

设其方程为kx y =（0,0>≥x k ），设),(11y x A ，),(22y x B
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1242
2y x kx y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22
2122
1214214k k y k x 222112k k OA ++=…………7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=18162
2y x kx y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222122
121162116k k y k x 222114k k OB ++= …………8分 =
+OB OA 1
1
42121122222+++++k k k k 令2
22112k
k t ++=
则由2
222
2212
221442112k
k k k
k t ++=++=
++=
知22≤<t …………10分
=+
OB
OA 1
t t 21+, 记t t t f 21)(+=，则)(t f 在]2,2(上是增函数，∴)2()()2(f t f f ≤<， …………12分
∴
491245≤+<OB OA 由①②知，OB OA 1+
的最大值为49，OB
OA 1
+的最小值为4
2
5。

…………13分 21、解析：（1）()e x f x a '=+,(1)e f a =+.
()y f x =在1x =处的切线斜率为(1)e f a '=+， …………1分 ∴切线l 的方程为(e )(e )(1)y a a x -+=+-，即(e )0a x y +-=. ………… 3分 又切线l 与点(1,0)距离为
解之得，e 1,a =-+或e 1.a =-- ………… 5分
（2）∵对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立， ∴若0x =，则a 为任意实数时，()e 0x f x =>恒成立； …………6分 若0,x >()e 0x
f x ax =+>恒成立，即，在0x >上恒成立， (7)
分
………… 8分 当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增；
当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；
所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)e Q x Q ==-， ………… 9分 所以a 的取值范围为(e,)-+∞.
综上，对于任意实数0,()0x f x ≥>恒成立的实数a 的取值范围为(e,)-+∞.…… 10分 （3）依题意,()e ln e x x M x x x =-+，
…………
12分
当[]1,e ,()0x h x '∈≥, 故()h x 在[]1,e 上单调增函数,因此()h x 在[]
1,e 上的最小值为(1)0h =，
即()()()M x g x f x =-在[1,e]上不存在极值. ………… 14分。