江苏专用2018年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析201710013133

专题 1 直线方程和圆的方程
【三年高考】
1．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1, 0) 为圆心且与直线
mx y 2m 1
0(m
R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】 (x
1)2
y 2
2.
【考点定位】直线与圆位置关系
2．【2014江苏，理 9】在平面直角坐标系 xoy 中，直线 x 2y 3
0被 (x 2)2 (y 1)2 4
圆截得的弦长为 .
【答案】
2 55
5
【解析】圆 (x
2)2
(y
1)2
4的圆心为C (2,1) ，半径为 r
2，点C 到直线 x 2y
3
的距离为
d 2 2(1) 3 3
1 2 2 2
5
，所求弦长为 2 2 2 2 4 9 2 55
l r d ．
5 5
【考点】直线与圆相交的弦长问题．
3．【2012江苏，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线
y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值
是__________． 【答案】
4
3
4. 【2016高考新课标 2理数改编】圆 x 2 y 2 2x 8y 13
0的圆心到直线 ax y
1 0
- 1 -
的距离为 1，则 a ＝ ． 【答案】 4 3
【解析】
试题分析：圆的方程可化为 (x 1)2 (y 4)2 4，所以圆心坐标为 (1, 4) ，由点到直线的距
离公式得： d
a
4 1
1
，解得 a 1
2
4
a
．
3
考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断． 若 d >r ，则直线与圆相离； 若 d ＝r ，则直线与圆相切； 若 d <r ，则直线与圆相交．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x (或 y )的一元二次方程，根据一元二次方 程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
如果 Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果 Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果 Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相 交．
提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法． 5. 【2016高考新课标 3理数】已知直线l ： mx
y 3m 3
0与圆 x 2 y 2 12交于 A , B
两点，过 A , B
分别做l 的垂线与 x 轴交于C , D 两点，若 AB 2 3 ，则| CD | __________________.
【答案】4
考点：直线与圆的位置关系．
- 2 -
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即 几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧 密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为 简捷地得到解决．
6．【2016高考山东文数改编】已知圆 M ： x 2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的
长度是 2 2 ，则圆 M 与圆 N ：（x - 1）
2 + (y - 1)2 = 1的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】 试题分析： 由 x 2
y 2 2ay
0 （ a 0 ）得
2
x y a
a （ a 0 ），所以圆 的圆心为0,a
，
2
2
半径为
r
a ，因为圆 截直线 x y
0所得线段的长度是 2 2 ，所以
1
2
a
2 2 a
2
1 1
2
2
2 ，解得 a 2，圆 的圆心为
1, 1
，半径为
r
，所以
2
1
0 1
2 1
2 ，
r 1 r 2
3，
2
2
r
r
，因为
1
2
1
r r
r
r ，所 1 2
1
2
以圆
与圆 相交．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内 容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三 角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 7.【2016高考北京文数改编】圆 (x 1)2 y 2 2的圆心到直线 y x 3的距离为 ．
【答案】 2 【解析】
试题分析：圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d
|103| 2．
2
考点：直线与圆的位置关系
【名师点睛】点(0,y)
x到直线y kx b(即y kx b 0)的距
离公式
0d
|y kx b|
00
记
1k
2
忆容易，对于知d求k，b很方便.
- 3 -
8．【2016高考上海文科】已知平行直线l : 2
1 0, :
2 1 0 ，则
1
x y l x y
l
的距离
1,l
2
2
________. 【答案】
2 5
5
【解析】试题分析：
| c c | | 11| 2 5
利用两平行线间距离公式得 d 1 2
a b 2 1
2
2
2
2
5
考点：两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 x , y 的系数应该分别相同， 本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力. 9．【2016高考浙江文数】已知 a R ，方程 a 2 x 2 (a 2)y 2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆
心坐标是_____，半径是______. 【答案】 (2,4)；5．
【解析】
试题分析：由题意 a 2
a 2， a 1或 2， a 1时方程为 x 2 y 2 4x 8y 5 0 ，即
(x 2)2 (y 4)2
25，圆心为 (2,
4)，半径为 5， a 2时方程为
4x
4y
4x
8y 10 0， (
1)2 ( 1)2 5
2
2
x y
不表示圆．
2
4
考点：圆的标准方程. 【易错点睛】由方程 a 2 x 2
(a 2)y 2 4x 8y 5a 0 表示圆可得 a 的方程，解得 a 的值，
一定要注意检验 a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
10.【2016高考天津文数】已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M (0, 5) 在圆 C 上，且圆心
到直线 2x y 0
的距离为
4 5 5
，则圆 C 的方程为__________. 【答案】 (x 2)2 y 2 9.
【解析】
- 4 -
试题分析：设C (a ,0),(a
0) ，则 | 2 | 4 5 2,
22 5 3 a
a
r
，故圆 C 的方程为
5 5
(x 2)
y
9.
2
2
考点：直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法：
(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆 的标准方程，列出关于 a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径， 则选择圆的一般方程，列出关于 D ，E ，F 的方程组求解．
(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 11．【2015高考新课标 2，理 7】过三点 A (1, 3) ， B (4, 2) ，C (1,7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点， 则| MN | ________. 【答案】4 6
12.【2015高考陕西，理 15】设曲线 y
e x 在点（0,1）处的切线与曲线 y 1 (x 0)
上点
x
处的切线垂直，则
的坐标为 ．
【答案】
1, 1
【解析】因为 y e x ，所以
y e x ，所以曲线 y
e x 在点
0,1
处的切线的斜率
k
y
e ，设
的坐标为
1
x 0
1
x 0 , y 0 （
0 0
1
x 0
1
x 0 , y 0
（
x 0 0 ），则
y
1 ，因为 y 1
，所
以
x
x
，所以曲线 y 1
1
y
在点
处的切线的斜
率
x
x
2
1 k
y
，因为
2
x
x
2
x
k
k ，所
1
2
1
1
以
，即x021，解得
1
x
2
0x ，因
为
01
x ，所
以
00
x ，所
以
01
y ，即的坐
标
01
是
1,1，所以答案应填：1,1．
13.【2015高考湖北，理14】如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B
- 5 -
（ B 在 A 的上方）， 且 AB
2 ．（Ⅰ）圆C 的标准方程为
；
（Ⅱ）过点 A 任作一条直线与圆O : x 2 y 2
1相交于 M , N 两点，下列三个结论：
①
N A
MA
；
NB
MB
NB
MA
NB
MA
②
2 ； ③
2 2 ．其中正确结论的序号是
. （写出所有正确
NA MB NA MB
结论的序号）
【答案】（Ⅰ） (x 1)2 (y 2)2 2 ；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设C (1,r ) （ r 为圆的半径），因为| AB | 2 ，所以 r 12 12 2 ，
所以圆心C (1, 2) ，故圆的标准方程为 (x 1)2
(y 2)2 2 .（Ⅱ）联立方程组
x 0
(x 1)2 (y
2) 2
2
，解得
x y
0 2
x 或
1
y
0 2
，因为 B 在 A 的上方，所以
1
A (0, 2 1) ，
B (0, 2
1) ，
令直线 MN 的方程为 x 0 ，此时 M M (0,
1) ， N ( 0,1) ，所以| MA | 2 ，
| MB | 2 2 ，| NA | 2 2 ，| NB |
2 ，因为
| NA |
2 2
1 | NB |
2
2 2
， |
MA |
2
2 1
，所以
| MB | 2 2
N A
MA
.
NB
MB
所以NB MA22
21(2
1)2
，
NA MB2222
- 6 -
NB MA22
212
122
NA MB2222
，正确结论的序号是①②③.
14．【2014陕西高考理第12题】若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y x对称，则圆C的标准方程为_______.
【答案】x2(y 1)21
【解析】因为圆心与点(1,0)关于直线y x对称，所以圆心坐标为(0,1).
所以圆的标准方程为：x2(y 1)21,故答案为x2(y 1)21.
【2018年高考命题预测】
纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的
方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地
对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解
题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面
内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式
出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预
测2018年对这一部分考查不会有太大变化．
【2018年高考考点定位】
高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内
两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．
【考点1】直线的方程
【备考知识梳理】
1、直线的倾斜角和斜率
(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），
则
y y
K ．2.直线的方程
21
AB
x x
21
- 7 -
a.点斜式：()
y y1k x x； b.斜截式：y kx b；c.两
点式：
1
y y
1
y y
21
x x
1
x
x
21
；
x y
d.截距式：1；
e.一般式：Ax By C 0，其中A、B不同时为0.【规律方法技
a b
巧】
1. 斜率的定义是k tan ，其中是切斜角，故可结合正切函数y tanx x [0,)的图象
研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．
2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若a (m,n)是直线l的方向向量，则k n
m
（m 0）．
3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.
3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形
是否也满足已知条件．
【考点针对训练】
1.已知直线l过直线x y 20和2x y 10的交点，且与直线x 3y 2
0垂直，则直线l的方程为________
【答案】3x y 2
【解析】由题意得：直线l可设为3x y m 0，又过直线x y 20和2x y 10的交点(1,1)，所以m 312,直线l的方程为3x y 2
2.过点P 3,1引直线，使点A 2,3，B4,5到它的距离相等，则这条直线的方程
为．
【答案】4x y 130或x 3
【解析】显然直x 3符合题意，此直线过线段AB的中点，又5(3)
4
k
AB
42
，l//AB
时方程为y 14(x 3)，化简为4x y 130，因此所求直线方程为4x y 13
0或x 3．
【考点2】两条直线的位置关系
【备考知识梳理】
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2k1=k2；②l1l2k1k2=－1；③
- 8 -
l
l k
k （2）若l :
0,
: 0 当
1
A x
B y C
l
A x
B y
C
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2 2
A B
A B 时，l ，l 平行或重合，代入检验；当
1 2
2 1
1
2
A B
A B 时，l ，l 相交；
当
1 2
2 1
1
2
A 1A 2 +A 2
B 2 =0 时，l
l ．【规律方法技巧】
1
2
1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线 A x ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2 0) 垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直： Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行： A x ＋By ＋n ＝0 . 2．转化思想在对称问题中的应用
对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． 【考点针对训练】
1.若直线 l 1：x ＋2y －4＝0与 l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数 m 的值为
．
【答案】
2
3 .
【解析】由题意得：
m 2 m 3 2 m . 1 2 4 3
2.已知直线l
mx
m
y
，直线
1
:3
2
1 0
l 2 : m 2 x m 2 y 2 0 ，且l l ，则 m
1 // 2
的值为____. 【答案】-1或-2
【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当 m
2时， 1 1
3m
1
l x l x 显然两直线平行，符合题意；当 m
2时，
:
, : l : y
x
，
1
2
1
6 2 m 2
m
2 m 2 2
3m
m 2
1
2
l
x
，解
得： m
1，
:
，若平行需满足
且
2
m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2
综上，答案为-1或-2. 【考点 3】几种距离
【备考知识梳理】
(1)两点间的距离：
平面上的两点A(x，y)，B(x，y)间的距离公式：|AB|=（x-x）2+（y+y）
2.
11221212
(2)点到直线的距离：点
|Ax+By+C
|
P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d=11 11
A+B
22
.
(3)两条平行线间的距离：两条平行线
Ax＋By＋C1＝0
与Ax＋By＋C＝间的距
离
20
- 9 -
d=
|C-C|
12
A+B
22
.
【规律方法技巧】
1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．
2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点
所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|＝|PB|这一条件的转化处理．
【考点针对训练】
1.已知直线3x 4y 3
0与直线6x my 140平行，则它们之间的距离是．【答案】2
【解析】由题意
34
，m 8，所以直线方程为6x 8y 140，即3x 4y
70，
6m
d
37
34
22
2.
2.已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（）y+a 21=0，若l1⊥l2，则a= ，若l1∥
l2，则a= ，此时l1和l2之间的距离为．
【答案】
2
3
，1，
65
5
；
【考点4】圆的方程
【备考知识梳理】
(x a)2(y b)r，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程
22
标准式：
中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．
D
，
一般式：x0，其中
2y2Dx Ey F
2
E
2
为圆心
122
D E4F
2
为半径，，
圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】
- 10 -
1．二元二次方程是圆方程的充要条件
“A=C≠0且 B=0”是一个一般的二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆
的必要条件． 二元二次方程 Ax 2
Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且
D 2 E
4AF 0 ”，它可根据圆的一般方程推导而得．
2
2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法： 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 【考点针对训练】 1．已知圆 (x
a )2 (y
b )2 r 2 的圆心为抛物线 y 2 4x 的焦点,且与直线3x 4y 2
相切,则该圆的方程为_________________. 【答案】 (x
1)2
y 2 1
【解析】抛物线 y 2 4x 的焦点为（1,0），所以圆 (x a )2
(y
b )2 r 2 的圆心为（1,0），
| 3
1
4 0 2 |
圆心到直线3x
4y 2 0 的距离
1
d
，所以所求圆的方程为
3
4
2
2
(x 1)
y
1．
2
2
2．已知圆C 与直线 x y
0及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 x y
0上，则圆C 的方
程为______________________.
【答案】
2
2
x 1
y
1
2
4
【解析】直线 x
y 0与直线 x y 4 0 两条平行线的距离
2 2
1
1
，圆的半径
r 2 ， x 由
x
y y
x
，得
0 x ，由
y y
04
x ，得
2 2 ，直径的两个端点 0,0，
0 y 0x y 2,2
，
因此圆心坐标1,1
，圆的方程
22
x 1y 12．
- 11 -
【两年模拟详解析】
1．【2017届江苏省如东高级中学高三 2月摸底】在平面直角坐标系푥푂푦中,已知过点푀(1,1)的 直线푙与圆(푥 + 1)2 + (푦 ― 2)2 = 5相切,且与直线푎푥 + 푦 ― 1 = 0垂直,则实数푎 = __________． 1 【答案】
2
2．【2016届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】
若直线푙1:푦 = 푥 + 푎和直线푙2:푦 = 푥 + 푏将圆(푥 ― 1)2 + (푦 ― 2)2 = 8分成长度相等的四段弧，则 푎2 + 푏2 = ．
【答案】18
2
【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于
，因此
2 푟 = 2
|1 ― 2 + 푎| 2 = 2 = |1 ― 2 + 푏|
2 ⇒푎 = 2
2 ― 1,푏 = 2 2 + 1或푏 = 2 2 ― 1,푎 = 2 2 + 1，即푎2 + 푏2 =
18
考点：直线与圆位置关系
3．【2016届江苏省扬州中学高三 12月月考】已知动圆 C 与直线 x
y 2 0 相切于点
A ，
C x 2 C
0 2
， 圆
被 轴 所 截 得 的 弦 长 为 ， 则 满 足 条 件 的 所 有 圆 的 半 径 之 积
是
．
【答案】10 【解析】
试题分析：设圆心 (a ,b )，半径为 r ，根据圆C 被 x 轴所截得的弦长为 2 得： r 2 1 b 2 ，又
切 点 是 A
0， 2
， 所 以
， 且 ， 所 以 解 得
或
r
a
(b 2)
b 2 1 a 1,b 1
2
2
2
a
a 5,
b 7
r
r
r
10
1
2
2
50
r
2 10
1
，从而
或
，
，所以答案应填：
．
考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．
4．【2017届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系xOy中，直线
- 12 -
l 1 : kx y 2 0
与直线
相交于点 ，则当实数 变化时，点 到直线
l 2 : x k y 2 0
P k P
x y 4 0
的距离的最大值为______.
【答案】3 2
【解析】 由题意得，直线
的斜率为 ，且经过点
,
l kx y
k A 0, 2
1
: 2 0
直线 的斜率为
，且经过点
，且直线
l x ky
1
2
: 2 0
B 2, 0
l
l
1
2
k
所以点 P 落在以 AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标C
1, 1
，半径为
r 2 ，
1
1 4
则圆心到直线 x
y 4 0 的距离为
2 2 ，
d
2
所以点 P 到直线 x y 4 0 的最大距离为 d r 2 2 2 3 2 。

5．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三三模】在平面直角坐标系 xOy 中，
圆
．若圆 存在以 为中点的弦 ，且 ，则实数
C x y m
C G AB AB 2GO m
:
2
3
2
2
的取值范围是____．
【答案】
2, 2 (或 2 m 2 )
【解析】由于圆C 存在以G 为中点的弦 AB ，且 AB
2GO ，所以OA OB ,如图，过点O
作圆C 的两条切线，切点分别为 B 、D ，圆上要存在满足题意的点 A ，只需 BOD 900 ，
即
COB 450 ，连接CB ， CB OB ，由于C 2,m
，
，
CO
m 2 4 CB 3
CB
3 2
sin
COB
sin450
，解得
.
2 m
2
CO
m
4
2
2
【点睛】已知圆的圆心在直线x2上，半径为3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB2GO OA OB A、B OA OB O C ，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的
- 13 -
两条切线，切点分别为B、D，圆上要存在满足题意的点A，只需BOD 900，即COB 45sin COB sin450m
，则只需，列出不等式解出的范围.
6．【2016届江苏省南京市高三第三次学情调研】若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y －3＝0平行，则实数m的值为____
【答案】
【解析】
试题分
析：由题
意得：
2
3
.
m2m 3
2
m
.
1243
考点：两直线位置关系
7．【东台市2017届高三5月模拟】过点t ,2作直线l与圆交于、两点，
C:x y 1M N
22
若M点恰好是线段NE的中点，则实数t的取值范围是______．
【答案】5t 5
【解析】由圆x2+y2=1的参数方程,可设N(cosθ,sinθ)，
2cos t sin
由M点恰好是线段NE的中点,可得
，
M,
22
22
2
cos t sin
代入圆方程,可得，
1
2
2
化简可得4cosθ+2tsinθ=−1−t2，
由辅助角公式可得164t2
sin
1t2，
由|sin(θ+φ)|⩽1,可得，
2 (2)
1t164t
即为t4−2t2−15⩽0,即有−3⩽t2⩽5，
解得5t 5.
则实数t的取值范围是5t 5.
8．【2016-2017学年江苏省泰兴中学高三12月阶段性检测】直线y kx3与圆
x y M,N MN23
22
234
相交于两点,若,则实数k的取值范围是______.
33
【答案】
,
33
- 14 -
2k
3 3
【解析】由题意，因为 MN
2 3 ,所以圆心(2,3)到直线的距离
,求解可
d 1
k
1
2
得
，故答案
为
.
3
3 3 , 3
k ,
3
3
3 3
9．【苏锡常镇四市 2017届高三教学情况调研（二）】已知直线 l ： mx
y 2m 1
0，圆
C
x 2 y 2 2x 4y 0
l C
m
：
，当直线 被圆 所截得的弦长最短时，实数
__________．
【答案】
1
【解析】直线l 过定点 A 2,1
，圆C
x
y
，当直线l 被圆C 所截得的弦
:
1
2
5
2
2
长最短时，
1
2
AC
l m
1 m
1.
2 1
10．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研】在平面直角坐标系
中，圆 ：
.若圆 存在以 为中点的弦
，且
，则实
数 的取值范围是__________． 【答案】
(或
)
【解析】由于原 C 存在以 G 位中点的弦 AB ，且 AB=2GO ，故푂퐴 ⊥ 푂퐵，如图所示，过点 O 作圆 C 的两条切线，切点分别为 B,D ，圆上要存在满足题意的点 A ，只需∠퐵푂퐷 ≥ 90 ∘ ，即 ∠퐶푂퐵 ≥ 45 ∘ 퐶( ― 2,푚)
|퐶푂| = 푚2 + 4
，连结 CB ，由
可得：
，
|퐶퐵| =
3,sin ∠퐶푂퐵 =
|퐶퐵| |퐶푂| = 3 푚2 + 4 ≥ sin45 ∘ = 2 2 ⇒ ― 2 ≤ 푚 ≤ 2 .
- 15 -
11．【南通市2017届高三第三次调研】在平面直角坐标系xOy中，已知点퐴(0 ， ―2)，点
푃퐵
퐵(1 ， ―1) 푃푥2+푦2=2
，为圆上一动点，则的最大值是____．
푃퐴
【答案】2
2
푃퐵4―2푥+
2푦
(푥―1)
+(푦+1)
2
【解析】设点P（x,y）,则푃퐴==
=
푥2+(푦+2)2
6+4푦
4―2푥+2푦
6+4푦=
2―푥+푦
3+2푦
=
1
2
(1―
1
3
2
1
2
푦+
)
푥―
3
푦+
131 3
2
而表示圆上一点与点2,―的斜率，所以当过点的直线与圆相切时取得最值，设直
( 2)(2,―2)
1
푥―
2
311푃퐵1푃퐵
线：푦+2=푘(푥―2)由d=r得푘1=―7,푘2=1所以푃퐴的最大值时푘=―，故
=
7푃퐴
1
2
(1+7)=2
푃퐵
点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后
푃퐴
根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定
义求法来理解从而求得结论
12．【南通市2017年高考数学全真模拟试题（一）】在平面直角坐标系中，若直线l与圆
22
C x y
1:12:525249
和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的
22C x y l
- 16 -
下方，则直线l的斜率为__________．
【答案】7
点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系，三角函数定义，两角和差的正切公式，以及数形结
合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问
题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对
图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.
13．【2016-2017学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】在平面直角坐标系푥푂푦中，过点
푀(1,0)푙푥2+푦2=5퐴,퐵퐴퐵푀=2푀퐴푙的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的
方程为______________．
【答案】푦=푥―1
【解析】由题意，设直线푥=푚푦+1与圆푥2+푦2=5联立，可得(푚2+1)푦2+2푚푦―4=0，设
- 17 -
2푚 4
퐴(푥1,푦1),퐵(푥2,푦2)
푦1 = ―2푦2 푦1 + 푦2 = ― 푚2 + 1 푦1푦2 = ― ，则
， ， 푚2 + 1，联立解得푚 = 1，则直线
푙的方程为푦 = 푥 ― 1，故答案为푦 = 푥 ― 1.
14．【2017届江苏南京市盐城高三一模】如图，在平面直角坐标系中，分别在 x 轴与直线
3 y x
1
3
A B k 1, 2,
A
上从左向右依次取点 、 ， ，其中
是坐标原点，使 k k 1
A B A
k k k 1
都是等边三角形，则
A 10
B 10 A 11 的边长是
.
【答案】512 【解析】
3
试题分析：设 y
x
与 x 轴交点为 P ，则
1
3
A 1
B 1 A 1P 1; A 2B 2 A 2P 11 2; A 3B 3 A 3P 2 2 4;
A B A
依次类推得
的边长
10 10 11
为 29 512
考点：归纳推理
15．【2017届江苏如东高级中学等四校高三 12月联考】在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆C ：
x 2 y 2 2
x by 2 0
C A B OA OB 3 OA
OB
，直线
与圆 相交于 ， 两点，且
，
则b 的取值范围为__________．
15 15
, 1 1,
3
3
【答案】
- 18 -
【解析】
试题分析：设 AB 中点为 M ，则
3 6 OA OB 3 OA
OB 2 | OM | 3 2AM
| OM | |
OA |
2
2
,又直线 2
x by
C A B
6 | | 2 2 0
| OM |
与圆 相交于 ， 两点，所以
OM ，而 ，所以
1 b
2
2
6
2
5
2 1
b 2
2 1
b
3
2
b
，即 的取值范围为
15 15
,11,
3
3
考点：直线与圆位置关系
【思路点睛】（1）向量加法与弦中点，向量减法与弦长的关系，是本题综合向量与圆中弦长的 切入点；
（2）涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到 直线距离平方与弦长一半平方的和；（3）直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半 径大小关系进行判断
16.【江苏省如东高级中学 2016届高三上学期期中考试数学试题】已知直线 l 过直线
x y 2 0 和 2x y 1
0 的交点，且与直线 x 3y 2
0垂直，则直线 l 的方程为
________ 【答案】3x
y 2
【解析】由题意得：直线l 可设为3x y m 0，又过直线 x y 2 0 和 2x y
1
0 的
交点 (
1, 1) ，所以 m 31 2, 直线l 的方程为3x y 2
17．【江苏省如东高级中学 2016届高三上学期期中考试数学试题】在平面直角坐标系 xOy 中， 已 知 点 A (
2, 0) ， 点 B 是 圆 C :(x 2)2 y 2 4 上 的 点 ， 点 M 为 AB 中 点 ， 若 直 线
l:y kx5k 上存在点P，使得OPM30，则实数k的取值范围为________
【答案】2k2
1
OM CB1,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，【解析】因为点M为AB中点，所以
2
1
当PM为单位圆切线时，OPM取最大值，即OPM30，从而OP
sin OPM
2
，
- 19 -
因此原点到直线l:y kx 5k距离不大于
2，即
|5k|
22k2
k 1
2
18．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知圆O：x2y24，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为.
【答案】1
【解析】设l:y kx b(b 0)，代入圆的方程，化简得(1k2)x22kbx b240：设
P x y Q x y，
得
1,1,2,2
2kb b2
4
x x ,x x
122122
1k 1
k
，
2 y y b b x
x b
k k
k
k
k
kb
1212
2
op oq
x x x x x x x x
12121212
k b 42k b k b b
2222222
222
2
2kb b (1k)b
4k
k kb
2
b4b4b4b4
2222
，由
k k k
得
2
op oq l
b4k
22
b24
k
2
解得k
1．
19．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知直线y kx(k 0)与圆C:(x 2)2y21
相交于 A , B 两点，若
2 AB 5 ，则 k
．
5
【答案】
1
2
【解析】圆心C
2, 0
，半径为 1，圆心到直线距离
d
2k k 2
1 ，而 2
AB
5 ，
得
5
2
2k
5
(
)
1
2
k
．
，解得
1
5
2
k 1
2
20．【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必 过定点_________． 【答案】(9,－4)
x 2y 1 0
9
x 【解析】把直线方程整理得 (x
2y
1)m x y 5 0，所以
x y 5 0
y
4
，
，解得
所以定点为 (9,4)．
- 20 -
21．【南京市、盐城市 2016届高三年级第一次模拟考试数学】过点 P (4, 0) 的直线l 与圆
C x
y 相交于 A , B 两点，若点 A 恰好是线段 PB 的中点，则直线l 的方程
:( 1)
5
2
2
为 .
【答案】 x 3y 4
【解析】如果直线l 与 x 轴平行，则 A (1 5, 0), B (1 5, 0) ,A 不是 PB 中点，则直线l 与 x
轴不平行；设l : x my 4 ，圆心C 到直线l 的距
离 d
5 m
2
1
，令 AB 中点为Q ，则
AQ
d PQ AQ
d ，在 Rt CPQ 中
5
,
3
3 5
2
2
PQ 2
CQ 2 PC 2 ,
得
d
2
5 25 2 1
m 2
，解得 m 3 ，则直线l 的方程为 x 3y 4 0． 【一年原创真预测】 1. 若圆 C:x 2
y 2 2x 4y 3
0关于直线 2ax by 6 0 对称，则由点 (a ,b )向圆所作的
切线长的最小值是____________. 【答案】4
【入选理由】本题考查圆的性质，二次函数的最值等基础知识，意在考查学生的分析问题的能 力和计算能力．本题有一定的难度，将点 (a ,b )向圆所作的切线长转化为二次函数最值，这是 该题难点和亮点之一，是一个好题，故选此题．
2 x y 3
2. 过 P
3, 2
的光线经
x 轴上点
A x
反射后，经过不等式组 x
3y
0 0
所表示的区
7
0,0
2x y
9
域，则x0的取值范围.
- 21 -
5
1,
【答案】
3
x2y3【解析】依题意不等式组
x 3y
7
2x y
9
10
所表示的平面区域如图所示：
8
6
2x+y-9=0
x+3y-7=0
4x-2y+3=0
2C(4,1)
P(-3,2)
B(1,2)
20151055101520
2
P'(-3,-2)
4
可得B1,2,C 4,1，作出P3,2的关于x轴的对称点P '3,2，由图可知，求
出
6
8
5 P B P C与x 轴的交点为
','
1,0,,0
3
10
5
，故x0的取值范围为1,
3
【入选理由】本题考查线性规划的应用，直线的对称问题，直线方程等基础知识知识，意在考查画图、用图以及计算能力.本题将直线的方程，对称问题，线性规划巧妙地结合起来，构思巧妙，故选此题．
- 22 -。