2023届高考物理小角度近似专题复习
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小角度近似处理问题。如果平常的复
习中对这一知识作了充分复习准备，
在考场中就不会迷惑失措。
解：离子进入磁场后做圆周运动半径
mv
L
r
sin
qB
r
经过磁场后，离子在y方向偏转距离 y1 r (1 cos )
其中运动半径与磁分析器中相同
r
1 2
2
1
1 L
(sin ) 2 ( ) 2
1.（2020全国高考）
图中 A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆 D 的一端与 M 固连且与镜面垂直，另
一端与弹簧下端相连，PQ 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ 的圆心位于 M
的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水
cos
tan
0.01754
0.99985
0.01745
0.03490
0.99939
0.03492
0.05234
0.99863
0.05241
0.06976
0.99756
0.06993
0.08716
0.99619
0.08749
0.10452
0.99452
0.10510
0.12187
0.99255
2
2
三、教材中出现（或隐含的）实例复习回顾
1.单摆的振动是简谐运动及周期公式的推导
s in tan
3.
2.近轴光入射，观察水中的鱼的视深
小角度近
似处理
3.火车转弯时刚好对内外轨不发生挤压的内外轨高度差
四.典型实例
12. 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。
)
速度偏转角
等于圆心角
直线运动
y2
y1
结束语：数学是囊括宇宙奥秘的基础科
学，可以说模型抽去概念就变成了数学，
0.12278
0.13917
0.99027
0.14054
的值
二、小角度近似值结论
1.从表中可以看出当 很小时（一般 50 时 ），可以作如下
近似处理
sin
tan
2.
cos 1
sin tan
利用泰勒展开式，对 cos 常取二阶小量近似
cos 1
原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过
电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有
1
sin tan
cos 1 2
2
求偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示
分析：本题的最后，给出了小角度近
似的公式，隐含着做题过程中要运用
高考物理复习
---小角度近似方法
概述
小角度近似，是数学的一种处理方法，是
属于微小变量的近似处理的一种，新高考要
求学生能运用数学方法处理物理问题的能力。
因而在高考题中经常出现小角度近似方法的
运用，而且也是近年的高考热点，本节课，
对这一内容作一总结复习。
一、小角度近似原理
如图在单位圆中，当圆心角 很小时，对应的弧长接近直线，所以有
2
2 r
R1 R2
2
处理好小角度近似是
关键
近似1 cos
L2
y1
R1 R2
o
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
L
2 L2
y2 L tan L sin a L
r R1 R2
2
3L
y y1 y2
R1 R2
位置坐标为 ( 0,
3L2
R1 R2
1
+
= ∆
∆
∙ =
所以
+
∙
=
（1）
该同学第二次反向通电流，反射点在O点上方，弹簧
的总伸长量为 x2
− = ∆
∆
∙ =
由（1）（2）得所求电流
+
=
所以
sin y
yl
下表列出了
10
80 情况ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 弧度值、sin
/ rad
100 0.01745
2 0.03491
30 0.05236
40 0.06981
50 0.08727
60 0.10472
7 0 0.12217
80 0.13963
、cos 、
tan
sin
平方向经 PQ 上的 O 点射到 M 上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使 M 发
生倾斜，入射光束在 M 上的入射点仍近似处于 PQ 的圆心，通过读取反射光射到 PQ 上的
位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为 k，磁场磁感应强度大小为 B，线圈
C 的匝数为 N。沿水平方向的长度为 l，细杆 D 的长度为 d，圆弧 PQ 的半径为 r﹐r >> d，
偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面
是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统
中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，
间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标
d 远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为 I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值x 及 PQ 上反射
光点与 O 点间的弧长 s；
分析：本题的已知条件中出现了 r d
这个条件，就要引起注意，想到小角度
近似方法的应用
解：左图是通电流I后的示意图，平面镜的
法线转过 角，反射光转 2 角。
−
=
∙
（2）
2.（浙江2021年1月）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离
子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选
择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分
析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和
线框平衡
NBIl k x
得弹簧长度的改变量绝对值
因为
r d
所以
NBIl
x
k
很小，可以作小角度近似处理
∆
= = =
所以弧长
s 2 r
NBIl
x
2 NBIlr
k
2 r2
r
d
d
kd
设弹簧未调零时，向下偏离起点的位移为
该同学第一次通电流，反射点在O点上方，弹射簧的总伸长量为 x
习中对这一知识作了充分复习准备，
在考场中就不会迷惑失措。
解：离子进入磁场后做圆周运动半径
mv
L
r
sin
qB
r
经过磁场后，离子在y方向偏转距离 y1 r (1 cos )
其中运动半径与磁分析器中相同
r
1 2
2
1
1 L
(sin ) 2 ( ) 2
1.（2020全国高考）
图中 A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆 D 的一端与 M 固连且与镜面垂直，另
一端与弹簧下端相连，PQ 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ 的圆心位于 M
的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水
cos
tan
0.01754
0.99985
0.01745
0.03490
0.99939
0.03492
0.05234
0.99863
0.05241
0.06976
0.99756
0.06993
0.08716
0.99619
0.08749
0.10452
0.99452
0.10510
0.12187
0.99255
2
2
三、教材中出现（或隐含的）实例复习回顾
1.单摆的振动是简谐运动及周期公式的推导
s in tan
3.
2.近轴光入射，观察水中的鱼的视深
小角度近
似处理
3.火车转弯时刚好对内外轨不发生挤压的内外轨高度差
四.典型实例
12. 光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。
)
速度偏转角
等于圆心角
直线运动
y2
y1
结束语：数学是囊括宇宙奥秘的基础科
学，可以说模型抽去概念就变成了数学，
0.12278
0.13917
0.99027
0.14054
的值
二、小角度近似值结论
1.从表中可以看出当 很小时（一般 50 时 ），可以作如下
近似处理
sin
tan
2.
cos 1
sin tan
利用泰勒展开式，对 cos 常取二阶小量近似
cos 1
原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过
电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有
1
sin tan
cos 1 2
2
求偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示
分析：本题的最后，给出了小角度近
似的公式，隐含着做题过程中要运用
高考物理复习
---小角度近似方法
概述
小角度近似，是数学的一种处理方法，是
属于微小变量的近似处理的一种，新高考要
求学生能运用数学方法处理物理问题的能力。
因而在高考题中经常出现小角度近似方法的
运用，而且也是近年的高考热点，本节课，
对这一内容作一总结复习。
一、小角度近似原理
如图在单位圆中，当圆心角 很小时，对应的弧长接近直线，所以有
2
2 r
R1 R2
2
处理好小角度近似是
关键
近似1 cos
L2
y1
R1 R2
o
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
L
2 L2
y2 L tan L sin a L
r R1 R2
2
3L
y y1 y2
R1 R2
位置坐标为 ( 0,
3L2
R1 R2
1
+
= ∆
∆
∙ =
所以
+
∙
=
（1）
该同学第二次反向通电流，反射点在O点上方，弹簧
的总伸长量为 x2
− = ∆
∆
∙ =
由（1）（2）得所求电流
+
=
所以
sin y
yl
下表列出了
10
80 情况ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 弧度值、sin
/ rad
100 0.01745
2 0.03491
30 0.05236
40 0.06981
50 0.08727
60 0.10472
7 0 0.12217
80 0.13963
、cos 、
tan
sin
平方向经 PQ 上的 O 点射到 M 上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使 M 发
生倾斜，入射光束在 M 上的入射点仍近似处于 PQ 的圆心，通过读取反射光射到 PQ 上的
位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为 k，磁场磁感应强度大小为 B，线圈
C 的匝数为 N。沿水平方向的长度为 l，细杆 D 的长度为 d，圆弧 PQ 的半径为 r﹐r >> d，
偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面
是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统
中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，
间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标
d 远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为 I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值x 及 PQ 上反射
光点与 O 点间的弧长 s；
分析：本题的已知条件中出现了 r d
这个条件，就要引起注意，想到小角度
近似方法的应用
解：左图是通电流I后的示意图，平面镜的
法线转过 角，反射光转 2 角。
−
=
∙
（2）
2.（浙江2021年1月）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离
子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选
择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分
析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和
线框平衡
NBIl k x
得弹簧长度的改变量绝对值
因为
r d
所以
NBIl
x
k
很小，可以作小角度近似处理
∆
= = =
所以弧长
s 2 r
NBIl
x
2 NBIlr
k
2 r2
r
d
d
kd
设弹簧未调零时，向下偏离起点的位移为
该同学第一次通电流，反射点在O点上方，弹射簧的总伸长量为 x