海南省2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.6 微积分基本定理

微积分基本定理
预习课本P51～54，思考并完成下列问题 (1)微积分基本定理的内容是什么？
(2)被积函数f (x )的原函数是否是唯一的？
[新知初探]
1．微积分基本定理
如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b
f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，我们常常把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪
b
a
，即⎠⎛a b
f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪
b
a
＝F (b )－F (a )． [点睛] 对微积分基本定理的理解
(1)微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a b
f (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．
(2)牛顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F (x )叫做f (x )的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①，则
⎠⎛a b
f (x )d x ＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②，则⎠⎛a b
f (x )d x ＝－S 下．
(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛a b
f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a b
f (x )d x ＝0.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ 2．下列积分值等于1的是( ) A.⎠⎛01
x d x B.⎠⎛01
(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛01
1
2d x
答案：C
3．计算：⎠⎛0π
sin x d x ＝( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．1 答案：C
[典例] (1)定积分⎠⎛01
(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e
D ．e －1
(2)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .
[解析] (1)⎠⎛01
(2x ＋e x
)d x ＝(x 2
＋e x
) ⎪⎪⎪
1
＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.
答案：C
(2)解：⎠⎛02
f (x )d x ＝⎠⎛01
f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x
＝⎠⎛0
1(1＋2x )d x ＋⎠
⎛1
2x 2d x ＝(x ＋x 2)10
＋13x 32
1 ＝1＋1＋13(8－1)＝13
3
.
1．由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．
第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 2．分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． [活学活用] 计算下列定积分：
(1)⎠⎛01
(x 3－2x )d x ；(2) (x ＋cos x )d x ； (3)⎠⎛121
x (x ＋1)d x .
解：(1)⎠⎛01
(x 3－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2⎪⎪⎪
1
0＝－3
4
.
(2)
(x ＋cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ＝π
2
8＋1. (3)f (x )＝
1x (x ＋1)＝1x －1
x ＋1
.
取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x
x ＋1
， 则F ′(x )＝1x －1
x ＋1
，
所以⎠⎛12
1x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝ln
x x ＋1⎪⎪⎪
21
＝ln 43.
[典例] (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝⎠⎛01
(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是_________． (2)已知⎠⎛01
[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．
[解析] (1)⎠⎛01
(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2
] ⎪⎪⎪
1
＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，
因为x ∈(0,1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)， 即0≤f (x )<2 ，所以函数f (x )的值域是[0,2)． 答案：[0,2)
(2)解：⎠⎛01
[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝⎠⎛01
[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x ＝⎣⎡⎦⎤ax 3
＋12(3ab ＋1)x 2＋bx ⎪⎪⎪
1
＝a ＋1
2(3ab ＋1)＋b ＝0，
即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.
法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，
所以⎝
⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122
≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，
得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤1
9或ab ≥1.
所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1
9∪[1，＋∞)． 法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋1
2
，
故a ，b 为方程x 2
＋3t ＋1
2
x ＋t ＝0的两个实数根，
所以Δ＝(3t ＋1)2
4
－4t ≥0，整理，得9t 2－10t ＋1≥0，
即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤1
9或t ≥1.
所以ab 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，1
9∪[1，＋∞)．
含有参数的定积分问题的处理办法与注意点
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．
[活学活用] 已知f (x )＝⎠
⎛x －a
(12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01
[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．
解：∵f (x )＝⎠
⎛x －a
(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at ) ⎪
⎪⎪
x
－a
＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2) ＝6x 2＋4ax －2a 2，
∵F (a )＝⎠⎛01
[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01
(6x 2＋4ax ＋a 2)d x
＝(2x 3
＋2ax 2
＋a 2
x ) ⎪⎪⎪
1
＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，
∴当a ＝－1时，F (a )最小值＝1.
层级一 学业水平达标
1．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a b
F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b ) C.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )
解析：选C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确． 2.⎠⎛0π
(cos x ＋1)d x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．π＋1
D ．π
解析：选D ⎠⎛0π
(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) ⎪⎪⎪
π
＝sin π＋π－0＝π.
3．已知积分⎠⎛01
(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1
D ．－1
解析：选A 因为⎠⎛01
(kx ＋1)d x ＝k ， 所以⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪
1
0＝k . 所以1
2
k ＋1＝k ，所以k ＝2.
4. ⎠⎛
－a
a
|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )
A ．6
B ．56
C ．36
D ．2 016
解析：选A ⎠⎛－a a
|56x |d x ＝2⎠⎛0a
56x d x ＝2×562x 2⎪
⎪⎪
a 0
＝56a 2≤2 016，故a 2≤36，即0<a ≤6. 5.⎠⎛03
|x 2－4|d x ＝( ) A.21
3 B.223 C.233
D.253
解析：选C ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2
，0≤x ≤2，
∴⎠⎛03
|x 2－4|d x ＝⎠⎛23
(x 2－4)d x ＋⎠⎛02
(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪
3
2＋⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪
2
＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0
＝－3－83＋8＋8－83＝23
3.
6.⎠⎛02
(x 2－x )d x ＝__________.
解析：∵⎝⎛⎭⎫x 3
3－12x 2′＝x 2－x ，∴原式＝⎝⎛⎭⎫x 3
3－12x 220＝⎝⎛⎭⎫83－2－0＝23. 答案：2
3
7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.则⎠⎛1－1
f (x )d x ＝_________. 解析：⎠⎛－11
f (x )d x ＝⎠⎛－11
x 2
d x ＋⎠⎛01
(cos x －1)d x
＝13x 3⎪⎪⎪
0－1＋(sin x －x ) ⎪⎪⎪
1
＝⎣⎡⎦⎤13×03－1
3×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23.
答案：sin 1－2
3
8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03
(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝__________. 解析：S 10＝⎠⎛03
(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝3＋9＝12. 因为{a n }是等差数列，
所以S 10＝10(a 5＋a 6)2＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝125.
答案：
125
9．已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01
f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．
解：由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2， ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0, ② 而⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛01
(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋1
2b ＋c ，
∴13a ＋1
2
b ＋
c ＝－2, ③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－
4.
法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4x ，－3≤x ＜－32
，
6，－32≤x ≤32，
4x ，32＜x ≤3.
如图，所求积分等于阴影部分面积，
即⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×3
2＋3×6＝45.
层级二 应试能力达标
1．函数F (x )＝⎠⎛0
x cos t d t 的导数是( )
A ．F ′(x )＝cos x
B ．F ′(x )＝sin x
C ．F ′(x )＝－cos x
D ．F ′(x )＝－sin x
解析：选A F (x )＝⎠⎛0x
cos t d t ＝sin t ⎪⎪⎪
x
＝sin x －sin 0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.
2．若函数f (x )＝x m
＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12
f (－x )d x ＝( )
A.56
B.12
C.23
D.16
解析：选A ∵f (x )＝x m
＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2
＋x ，∴⎠⎛12
f (－x )d x ＝⎠⎛12
(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪
2
1＝56
. 3．若⎠⎛1a
⎝⎛⎭⎫2x ＋1
x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3
D ．2
解析：选D ⎠⎛1a
⎝
⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2
－1)＋ln a ＝3＋ln 2. ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2－1＝3，
a ＞1，a ＝2，
∴a ＝2.
4．若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01
f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13
D ．1
解析：选B 设⎠⎛0
1f (x )d x ＝c ，则c ＝⎠
⎛0
1(x 2
＋2c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪
1
0＝13＋2c ，解得c ＝－1
3
. 5．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为9
2，则k ＝
________________.
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k ，
y ＝k 2
.
由题意得，⎠⎛0k
(kx －x 2
)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪
k
0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝9
2
，∴k ＝3. 答案：3
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________
解析：长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛01
3x 2
d x ＝x 3⎪⎪⎪
1
＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 答案：1
3
7. 已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，
S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．
(1)若t ＝2时，求S 2.
(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 解：(1)当t ＝2时，
S 2＝
([2－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭
⎫13x 3
－2x ＝4
3
(2－1)． (2)t ∈(0,2)，S 1＝⎠⎛0t
[(4－x 2)－(4－t 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2
x －13x 3⎪⎪⎪
t
0＝23
t 3
， S 2＝⎠⎛t 2
[(4－t 2)－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪
2
t ＝83－2t 2＋23
t 3， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83，
S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)， 令S ′＝0得t ＝0(舍去)或t ＝1， 当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减， 当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增， 所以当t ＝1时，S min ＝2.
8.如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k
的值．
解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
神笛2005
神笛2005 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 33⎪⎪⎪
10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为 x ′1＝0，x ′2＝1－k ，
所以S 2＝ (x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12
. 于是k ＝1－312＝1－342
.。