高等数学第一类换元法(凑微分法)

2
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2

dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
f (e )e dx f (e )d (e );
x x x x
f (tan x ) sec xdx f (tan x )d (tan x ); f (arctan x ) 1 2 dx f (arctan x ) 1 x d (arctan x ).
注: 一般情形:
sin 1 ( 2) 2x dx . x


1 1 dx f 1 d 1 . f 2 x x x x
f (e x ) e x dx f (e x ) d (e x );
完
例 9 求不定积分
sin 2 x dx.
( x )u换 元
u ( x)
回代
f (u )du F (u ) C
F [ ( x )] C ,
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
1 2 2
1 (1 x 2 ) 3 C . 2 3
注: 对变量代换比较熟练后, 可省去书写中间变量 的换元和回代过程. 完
1 dx . 例 5 求不定积分 x(1 2 ln x )
解
1 1 d (ln x ) dx x(1 2 ln x ) 1 2 ln x 1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x 12 lnx u 1 1 1 ln u C u du 2 换元 2 u 1 2 ln x 1 ln 1 2 ln x C . 回代 2
注: 一般情形:

f (ax b) dx ax b u 1 f ( u) du. a
完
例 3 计算不定积分 解
xe
x2
xe dx. 1 e ( x )dx dx 2
x2
x2 2
2
1 e x2 d ( x 2 ) 2 x u 1 e u du 1 e u C 换元 2 2 u x 1 x2 e C. 回代 2
e3

f ( x ) 1 dx 2 f ( x ) d ( x ). x
完
例7
求下列不定积分
1 dx ; a 2 x 2 1 解 (1) 原式 2 a
(1)
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
1 dx 2 1 x a 1 1 x 1 arctan x C ; d 2 a a x a a 1 a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3
10
u 2x 1
回代
1 ( 2 x 1)11 C . 22
完
1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
化为 f [( x )]( x )dx .

例 1 求不定积分
( 2 x 1) 10dx .
解 利用凑微分公式 dx 1 d (ax b), 所以
a
1 ( 2 x 1)10 ( 2 x 1)dx (2 x 1) dx 2 1 ( 2 x 1)10 d ( 2 x 1) 2 2x 1 u 1 1 u11 C 10 u du 2 11 换元 2
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
sin 3 x dx sin 2 x sin xdx (1 cos 2 x )d (cos x )
d (cos x ) cos 2 xd (cos x ) cos x 1 cos 3 x C ; 3 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x ) sin 2 x (1 sin 2 x )2 d (sin x )
复习： 凑微分
1 部分常用的凑微分: (1) dx a d (ax b); 1
(2) x dx
n
n 1
d (x
n 1
);
1 dx x
(3)
2
d ( x );
1 1 (4) dx 1 d ( ); 2 x x 1 dx 1 d (ln x); (5) x (6) e x dx 1 d (e x );
2 dx 1 d ( 2 x ) 2 e 2 x dx 1 e 2 x d ( 2 x )u 2 x 1 e u du 1 e u C 2 2 2 1 e2x C 2
第一类换元法(凑微分法)
e 2 x dx 1 e 2 x d ( 2 x )u 2 x 1 e u du 1 e u C 2 2 2 1 e2x C 2
2
完
高等数学
第一类换元法(凑微分法)
问题
观察 从公式 e u du e u C ,令u 2x , 则有
? e dx e
2x
2x
C
(e )
2x
'
e 2 x d (2 x ) e 2 x C

2e e
2x
2x
e dx e C
2x 2x
解法 可将微分dx 凑成 1 d ( 2 x )的形式,即
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)

e3
x
x
x
dx ;
( 2)

tan x dx . x
注: 一般情形:
dx 2 e 3 x C ; x 3 ( 2) tan x dx 2 sin x d ( x ) x cos x 2 1 d (cos x ) 2 ln cos x C . cos x
第一类换元法(凑微分法)
1 e 2 x d ( 2 x )u 2 x 1 e u du 1 e u C e dx 2 2 2 1 e2x C 2 一般地,设 f (u) 具有原函数 F (u),即
2x
则
f (u)du F (u) C , f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x)
完
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) 1 ex
sin 1 ( 2) 2x dx . x
1 e x e x dx 1 e x dx 解 (1) 原式 x 1 ex 1 e e x dx dx 1 d (1 e x ) dx 1 ex 1 ex
7. f (e x )e x dx f (e x )d (e x );
常 见 凑 微 分 公 式
6. f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
7. f (e x )e x dx f (e x )d (e x );
常 见 6. 凑 7. 微 8. 分 公 9. 式
( 2) tan x dx 2 tan x d ( x ) x 2 sin x d ( x ) cos x
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)

e3
x
x
x
dx ;
( 2)

tan x dx . x

e3
x
dx
2 e 3
2 sin x d ( x ) cos x
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
(1)
解 (1)

e3
x
x
x
dx ;
( 2)

tan x dx . x

e3
x
dx 2 e 3 x d ( x )
2 e 3 x d (3 x ) 2 e 3 x C; 3 3
(7)
sin xdx 1 d (cos x).
常 见 凑 微 分 公 式
1. f (ax b )dx 1 f (ax b )d (ax b ); a 2. f ( x n1 ) x ndx 1 f ( x n1 )d ( x n1 ); n1 3. f ( x ) 1 dx 2 f ( x )d ( x ); x 1 1 dx f 1 d 1 ; 4. f 2 x x x x 5. f (ln x ) 1 dx f (ln x )d (ln x ); x 6. f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) 1 ex 1 sin 解 ( 2) 2x dx sin 1 1 dx x x x 1 d 1 cos 1 C . sin x x x
(cos x )2 C .


注: 一般情形: f (sin x) cos xdx f (sin x )d sin x. f (cos x) sin xdx f (cos x)d (cos x).
完
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
解 (1)
x ln(1 e x ) C; 1 sin ( 2) 2x dx sin 1 1 dx x x x
例 8 求下列不定积分
1 dx ; (1) 1 ex
解
sin 1 ( 2) 2x dx . x
1 sin ( 2) 2x dx sin 1 1 dx x x x