2018单元滚动检测卷高考数学文精练检测：六 数 列 全

单元滚动检测六 数 列
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．(2016·苏北四市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝________.
2．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10＝________. 3．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为________．
4．(2016·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.
5．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是__________． 6．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10＝________.
7．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是____________．
8．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{}a n 的通项公式是a n ＝________. 9．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1
a n a n ＋1，
那么数列{b n }的前n 项和S n 为__________．
11．(2016·常州模拟)已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5
S 3
＝________.
12．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1f (n )
(n ∈N *)的前n 项
和是__________．
13．(2016·黑龙江大庆铁人中学一模)设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若S 504S 1008
＝1
10，
则S 1008
S 2016
＝________.
14．(2016·苏州一模)对于正项数列{a n }，定义H n ＝n
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的
“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝
2
n ＋2
，则数列{a n }的通项公式为______________．第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
答案解析
1．－3
解析 方法一 由题意可得⎩⎨⎧
a 1＋(a 1＋6d )＝－8，
a 1＋d ＝2，
解得a 1＝5，d ＝－3.
方法二 由题意可得a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 2．1
解析 由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2
，
所以d ＝0，a 10＝a 5＝1. 3．7
解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，
∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .
设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎨⎧
22－3k ≥0，
22－3(k ＋1)≤0. ∴193≤k ≤22
3.
∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 4．6
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3
a 1
＝4.
又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.
又S k ＝1－2k
1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.
5．1或－1
2
解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求；
当q ≠1时，a 1q 2
＝7，a 1(1－q 3
)1－q
＝21，
解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－1
2. 6．－7
解析 由题意，根据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧
a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7. 7．8，323)
解析 因为{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2
＝1
8，
解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n
)∈8，323)．
8．(－2)n －1
解析 ∵S n ＝23a n ＋1
3，① ∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋1
3.② ①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a n
a n －1
＝－2.
∵a 1＝S 1＝23a 1＋1
3，∴a 1＝1，
∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1. 9．1 830
解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，
∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，
∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234 ＝
15×(10＋234)
2＝1 830.
10.4n n ＋1 解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1
＝n
2，
∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1
n ＋1
)，
∴S n ＝4(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n
n ＋1
.
11.317
解析 由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n ，S 5
S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝25－123
－1
＝317. 12.n n ＋1
解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴
1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.
13.182
解析 设S 504＝a ≠0，则S 1 008＝10a .
S 1 008－S 504＝9a ，所以数列S 504，S 1 008－S 504，
S 1 512－S 1 008，S 2 016－S 1 512…是首项为a ，公比为9的等比数列． 所以S 1 512＝91a ，S 2 016＝820a ，所以S 1 008S 2 016
＝10a 820a ＝1
82.
14．a n ＝2n ＋1
2n (n ∈N *)
解析 由H n ＝n
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n
可得
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n
＝n (n ＋2)
2，①
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)
2
(n ≥2)，②
①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2
＝2n ＋1
2(n ≥2)，
∴a n ＝2n ＋1
2n (n ≥2)．
又H 1＝1a 1
＝23，∴a 1＝3
2，也满足a n ＝2n ＋12n .
综上，a n ＝2n ＋1
2n (n ∈N *)．
15．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，根据已知有S 7＝7＋21d ＝28，解得d ＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
所以b 1＝lg 1]＝0，b 11＝lg 11]＝1，b 101＝lg 101]＝2.
(2)因为b n
＝⎩⎨⎧
0，1≤n <10，
1，10≤n <100，
2，100≤n <1 000，
3，n ＝1 000，
所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
16．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；
当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，
从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.
令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，
此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；
当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 17．解 (1)由题意，a n ＋1＝3S n ＋1， 则当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1. 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2
a 1
＝4，
所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 故通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．
(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1) ＝n (1＋n )2＋1×(1－4n )1－4
＝n ＋n 22＋4n －13.
18．(1)证明 ∵b n ＝1
a n
，且a n ＝a n －12a n －1＋1，
∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1
a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n
，
∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n
－1
a n
＝2.
又b 1＝1
a 1
＝1，
∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1
a n
，
∴a n ＝1b n ＝12n －1
.
∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝
1
2n －1
. 19．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1
，
∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，∴1S n －1
S n －1
＝2，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1
＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝1
2n －1.
∴13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1
)
＝12(1－12n ＋1
)＜12.
20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得q ＞0.
由已知，得⎩
⎨⎧
2q 2
－3d ＝2，
q 4－3d ＝10，
消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0， 又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.
(2)由(1)得c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，
上述两式相减，得
－S n＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以S n＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.。