2019届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分别化简集合A,B,结合集合交集运算性质,计算,即可
【详解】
对于A集合,解得,所以,故选A.
【点睛】
考查了集合交集运算性质,关键化简集合A,B,即可,难度中等.
2．若（是虚数单位），则（）
A．B．2 C．D．3
【答案】C
【解析】结合复数的四则运算,计算z，结合复数模长计算公式，计算，即可。

【详解】
,化简,得到,因此,故选C.
【点睛】
考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等。

3．函数的一个零点所在的区间是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】零点所在区间满足，依次判定，即可。

【详解】
，，故其中一个零点位于区间内，故选B。

【点睛】
考查了函数零点所在区间的判定，关键抓住零点所在区间满足
，即可，难度中等。

4．已知向量，，且，则（）
A．B．C．0 D．
【答案】A
【解析】结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。

【详解】
，结合向量垂直判定，建立方程，可得
，解得，故选A。

【点睛】
考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。

5．是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】结合充分条件，必要条件的判定，相互推导，即可。

【详解】
当x,y满足，可以推出，但是当，虽然满足
，但是并不能满足，故为必要不充分条件，故选B。

【点睛】
考查了必要不充分条件的判定，关键看两个关系式能否相互推导，即可，难度较容易。

6．在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】结合题意，计算满足条件的x的范围，结合几何概型计算公式，计算，即可。

【详解】
在区间内满足关系的x的范围为，故概率为
，故选A。

考查了三角函数的基本性质，考查了几何概型计算公式，关键计算出满足条件的x的范围，计算概率，即可，难度中等。

7．如图，为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】展开圆锥侧面,得到扇形,结合扇形面积计算公式,计算,即可.
【详解】
结合题意可知,该几何体为一个圆锥挖去了一个小圆锥,大圆锥的表面积为
挖去的圆锥表面积为,故总体面积为
,故选B.
【点睛】
考查了扇形面积计算方法,考查了三视图还原直观图,难度中等.
8．已知单调递增的等比数列其前项和，若，，则（）A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【解析】结合等比数列的性质，计算公比，计算结果，即可。

【详解】
,解得,设公比为q，则
，解得
，结合该数列为递增数列，解得，所以
，故选D。

【点睛】
考查了等比数列的性质，关键计算公比，利用公式，计算结果，即可，
9．已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的值为（）
A．-1 B．C．1 D．2
【答案】C
【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】
由约束条件作出可行域如图所示，其中，，，目标函数
可化为，当直线过点时最大，所以，解得，
故选:C
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10．已知点是直线上的动点，过点引圆的
两条切线为切点，当的最大值为时，则的值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。

【详解】
结合题意，绘制图像，可知
当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC 取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，
故，故，解得，故选D。

【点睛】
考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。

11．已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】结合三角形相似的原理，结合三角函数的关系，利用椭圆的性质，建立方程，计算离心率，即可。

【详解】
结合题意，绘制图形，可知
故，设，所以，，所以，故选D。

【点睛】
考查了三角函数关系式，考查了椭圆的性质，难度偏难。

12．已知圆锥的母线长为，底面圆半径长为，圆心为，点是母线的中点，
是底面圆的直径，若点是底面圆周上一点，且与母线所成角等于，则与底面所成角的正弦值为（）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】结合题意,构造出MC与底面所成角,然后结合三角值计算公式,即可.
【详解】
结合题意,过M点作,绘制图形,
结合题意可知,,结合余弦定理可知
而MQ为三角形APO的中位线,所以,因为PO垂直底面,而MQ平行PO,可知
MQ垂直底面,故即为与底面所成角,所以,故选D. 【点睛】
考查了线面角的找法和计算公式,关键找出线面角,难度中等.
二、填空题
13．已知锐角满足，则__________．
【答案】
【解析】利用余弦的两角和公式，展开，结合，代入，计算，即可。

【详解】
，结合，代入，计算，得到。

【点睛】
考查了余弦的两角和公式，考查了三角函数角关系公式，难度中等。

14．二项式展开式中的常数项为__________．
【答案】
【解析】结合二项式系数公式，计算常数项对应的r的值，代入，计算系数，即可。

【详解】
该二项式的一般项为，要使得该项为常数
项，则要求，解得，所以系数为
【点睛】
考查了二项式系数公式，关键表示出通项，计算r的值，即可，难度中等。

15．已知等差数列的公差为，前项和为，且数列也为公差为的等差数列，则_______．
【答案】
【解析】表示出，再表示出，整理并观察等式，列方程组即可求解。

【详解】
等差数列的公差为，前项和为，设其首项为，
则=，
又数列也为公差为的等差数列，首项为，
所以=，即：
整理得：
上式对任意正整数n成立，
则，解得：，
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题。

16．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】结合题意，关键得出要使得对，，使
成立，则要去的值域在内，建立不等式，即可。

【详解】
结合题意可得，要使得对，，使成立，则要去的值域在内，对求导得到
，当，得到，结合该函数的定义域为
，可知在单调递增，在单调递减，所以需要满足
，解得。

【点睛】
考查了导函数计算原函数最值问题，考查了函数值域问题，难度偏难。

三、解答题
17．已知锐角的内角的对边分别为，且，，
.
（1）求角的大小；
（2）求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）结合正弦定理，处理题目所给信息，结合A角的范围，计算，即可。

（2）
结合余弦定理，得到的值，计算周长，即可。

【详解】
（1）因为，显然，
所以，
由正弦定理，得，
又因为，，所以，解得
又，所以
（2）由（1）知，即，
由余弦定理，得
所以，所以，解得：
所以的周长.
【点睛】
考查了正弦定理，考查了余弦定理，关键结合题意，利用正余弦定理，计算相关量，即可，难度中等。

18．在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，
，，，，，设为棱上一点，.
（1）求证：当时，；
（2）试确定的值使得二面角为.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）结合题意，根据直线与平面垂直的判定，证明得到AD垂直平面PDC，进而证明得到PC垂直平面ADQ，结合直线与平面垂直的性质，即可。

（2）建立坐标系，计算平面PBD和平面QBD的法向量，结合二面角计算方法，代入，计算参数，即可。

【详解】
（1）证明：因为，，过作于，则为中点，所以
，又，所以.
所以，因为平面，所以，，
在中，由勾股定理，得
当时，，则，
因为，所以
又，
所以∽，所以，即，
因为，又，，所以平面，所以
又，所以平面，所以，命题得证.
（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）
由（1）得：，，则点，，，，，令，则，，，，
，
因为，所以，所以点，
由题目条件易证平面，所以平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，即
令，得
因为二面角为，
所以，解得，，
因为在棱上，则，所以为所求.
【点睛】
考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了二面角计算方法，难度偏难。

19．从1000名310岁儿童中随机抽取100名，他们的身高都在90150之间，将他们的身高（单位：）分成六组，，，后得到如下部分频率分布直方图，已知第二组与第三组的频数之和等于第四组
的频数，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；
（2）估计身高处于之间与之间的频率之差；
（3）用分层抽样的方法从这100人中身高不小于130的儿童中抽取一个容量为12
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，记这3人身高小于140的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）0.45；（2）0.15；（3）详见解析.
【解析】（1）结合频率之和为1，计算，即可。

（2）结合题意，建立方程，计算参数，即可。

（3）结合分层抽样原理，计算每个层次应该抽取的人数，计算x=1,2,3对应的概率，列出分布列，计算期望，即可。

【详解】
（1）因为身高在内的频率为
，
且矩形的面积等于组距=频率，
所以所给频率分布直方图中未画出部分矩形的面积之和为0.45.
（2）设第三组与第四组的频率分别为.
第二组与第三组的频率之和等于第四组的频数，
所以第二组与第三组的频率之和等于第四组的频率.
所以，
化简得：，解得：
所以成绩处于第三组之间的频率为0.15，处于第四组之间的频率为0.3
所以可估计身高处于之间与之间的频率之差为
（3）由题意，得身高段的人数为人，身高段的人数为人
因为用分层抽样的方法在身高不小于130的儿童中抽取一个容量为12的样本，所以需在身高段内抽取10人；在身高段内抽取2人.
设“从样本中任取3人，3人中身高小于140”的人数为，则的所有可能取值是1,2,3
表示在身高段内抽取1人，在身高段内抽取2人，
所以
表示在身高段内抽取2人，在身高段内抽取1人，所以
表示在身高段内抽取3人，所以
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
【点睛】
考查了频率直方图的运用，考查了分布列和数学期望计算方法，难度偏难。

20．抛物线的焦点为F，圆，点为抛物线上一动点.已知当的面积为.
（I）求抛物线方程；
（II）若，过P做圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时P点坐标.
【答案】（Ⅰ）（II）的最小值为2，
【解析】（Ⅰ）根据题意可得x02+（y0）2，|1|•|x0|，x02＝2py0，即可解得p＝1；
（II）设P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PM的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得
（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，进而可知b，c为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得
【详解】
（Ⅰ）由题意知：
，
，
,
，
抛物线方程为.
(Ⅱ)设过点P且与圆C相切的直线的方程为
令x=0，得
切线与x轴的交点为
而，
整理得
，
设两切线斜率为，
则
，
，
，
，
则，
令，则
，
而
当且仅当，即t=1时，“=”成立.
此时，
的最小值为2，
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题．与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向．
21．已知函数，.
（1）求证：函数与在处的切线关于轴对称；
（2）若
（ⅰ）试讨论函数的单调性；
（ⅱ）求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）（ⅰ）在上单调递增，在单调递减；（ⅱ）详见解析.
【解析】（1）计算这两个函数在x=1处的切线斜率之和，即可。

（2）（i）计算函数，计算导函数，构造函数，判断该函数与0的关系，结合导函数与原函数的单调性，判断，即可。

（ii）建立不等式,然后相加,证明题目所求不等式,即可.
【详解】
（1）证明：，，
则函数与在处的切线的斜率之和为
又因为
所以函数与在处的切线关于轴对称
（2）（ⅰ）函数的定义域是
令
则
所以在上单调递减，
又，所以当时，；
当时，，
所以在上，在上，
所以在上单调递增，在单调递减.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，函数的定义域是，在处取得极大值，也是最大值，
所以对，，则，则
因为，则不等式两边同除以，可得（当且仅当时等号成立）
令，则（且）
所以，，，，，
以上个式子相加得：
得
得
得
所以（，且），命题得证.
【点睛】
考查了不等式的证明,考查了利用导函数研究原函数的单调性,考查了利用导数计算切线斜率,难度偏难.
22．已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，以
轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为，求曲线上的点到直线的最大距离.
【答案】（1）曲线：表示以为圆心，2为半径的圆. （2）
【解析】（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.
【详解】
（1）由，得，
两式两边平方并相加，得，
所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.
将代入得，化简得
所以曲线的极坐标方程为
（2）由，得，即，得
所以直线的直角坐标方程为
因为圆心到直线的距离，
所以曲线上的点到直线的最大距离为.
【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
23．已知函数.
（1）求的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据绝对值定义去掉绝对值符号,即可得到不等式得解集；（2）不等式恒成
立，等价于，根据绝对值定义去掉绝对值即可求得最大值，从而可得t的范围.
【详解】
（1），即，所以
所以，所以，
所以的解集为.
（2）“”等价于“”，
，成立，等价于
令，
则
所以，即，解得
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的处理方法，属于基础题.。