四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析

2023－2024学年度高一上学期半期监测试题
数学（答案在最后）
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回．
2．选择题部分用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合{}{}
13,1M x x N x x =-<<=≥，则集合M N ⋃=（
）
A.{}1x x >-
B.
{}
13x x -<<C.
{}
13x x ≤< D.R
【答案】A 【解析】
【分析】由并集运算的定义可得.
【详解】{}
13M x x =-<< ，{}
1N x x =≥，根据并集运算的定义可得，
{}1M N x x ⋃=>-.
故选：A.
2.已知{}12A x x =≤≤，{}
14B y y =≤≤，下列对应法则不可以作为从A 到B 的函数的是（）
A.:2f x y x →=
B.2:f x y x →=
C.1:f x y x
→= D.:4
f x y x →=-【答案】C
【解析】
【分析】求出每个选项中对应法则中y 的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，当12x ≤≤时，[]22,4y x =∈，且[]2,4B ⊆，A 中的对应法则可以作为从A 到B 的函数；
对于B 选项，当12x ≤≤时，[]2
1,4y x =∈，且[]
1,4B =，B 中的对应法则可以作为从A 到B 的函数；
对于C 选项，当12x ≤≤时，11,12y x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦，且1,12B ⎡⎤
⊄⎢⎥⎣⎦
，C 中的对应法则不能作为从A 到B 的函数；对于D 选项，当12x ≤≤时，342x -≤-≤-，则[]42,3y x =-∈，且[]2,3B ⊆，D 中的对应法则可以作为从A 到B 的函数.故选：C.
3.下列结论正确的是（）
A.若a b >，则
11
a b
> B.若a b >，c 0>，则ac bc
>C.若a b >，0c ≠，则a b c c
> D.若a b >，则22
a b >【答案】B 【解析】
【分析】取特殊值可判断ACD ，利用不等式的性质判断B.【详解】对A ，取0,1a b ==-，显然
11
a b
>不成立，故A 错误；对B ，由不等式性质知a b >，c 0>，则ac bc >正确，故B 正确；对C ，取1c =-时，由a b >可得
a b
c c
<，故C 错误；对D ，0,1a b ==-时，显然220(1)<-，故D 错误.故选：B.
4.设x ∈R ，则“(4)0x x -<”是“11x -<”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】解不等式求出不等式的解集，根据02x <<为04x <<的真子集，得到答案.
【详解】解不等式(4)0x x -<得04x <<，
不等式11x -<化为111x -<-<，所以02x <<，因为{02}x x <<为{04}x x <<的真子集，所以“(4)0x x -<”是“11x -<”的必要不充分条件.故选：B 5.函数2
1
()1
f x x x =++的最大值为（）
A.
53
B.
43
C.1
D.
23
【答案】B 【解析】
【分析】利用配方法整理分母，结合不等式的性质，可得答案.
【详解】由2
2
1331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝
⎭，则2
14013x x <≤++.故选：B
.
6.若1
03x <<，则32213y x x
=
+-的最小值为（）
A.12
B.6+
C.9
D.
25
2
【答案】D 【解析】
【分析】由题意确定130x ->，且(13)31x x -+=，将32
213y x x
=
+-变形为]2
()[123133)9(3x x x
x --++⨯，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】因为1
03
x <<，故130x ->，则(13)31x x -+=，
故1(]322()[)2132339313y x x x x x x +-+=-+=
⨯-139(61325
222
13)2313x x x x =
-+≥⨯+=
-+，当且仅当39613)213(x x x
x -=⨯-，即1
5x =时等号成立，
即32
213y x x =+-的最小值为252
，故选：D
7.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a 元/斤､b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（）
A.12m m =
B.12
m m >C.21m m > D.12,m m 的大小无法确定
【答案】C 【解析】
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：
122022202011ab
m a b a b a b
⨯=
==
+++，乙购买猪肉的平均单价为：266122
a b a b
m ++==，显然120,0m m >>，
且()1222
2244412222
ab
m ab ab ab a b a b m a ab b ab ab a b +===≤=+++++，当且仅当a b =时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即a b ¹，所以12m m <，
即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.
8.函数()f x 满足()()f x f x -=，当[)12,0,x x ∈+∞时都有
()()1212
0f x f x x x ->-，且对任意的1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
不等式()()12f ax f x +≤-恒成立．则实数a 的取值范围是（）
A.
[]
5,1- B.
[]
5,0- C.[]
2,0- D.
[]
2,1-【答案】C 【解析】
【分析】分析得到函数为偶函数，在[0,)+∞单调递增，则对任意的1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()()
12f ax f x +≤-
恒成立，转化为|1||2|ax x +≤-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，再转化为22(1)(2)0ax x +--≤，得
13()0x x a a x x ---
-≤，1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，再分两种情况，得到a 的范围.【详解】由题得函数()f x 为偶函数，在[0,)+∞单调递增，
则对任意的1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()()12f ax f x +≤-恒成立，则不等式()()|1||2|f ax f x +≤-，1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
则|1||2|ax x +≤-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
得22(1)(2)0ax x +--≤，得13()0x x a a x x ---
-≤，1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则a ≤
1x x -且3x a x -≥，或a ≥1x x -且3x a x -≤，1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，a ≤min 1x x -⎛⎫
⎪⎝⎭且max 3x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，或a ≥max 1x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭且min
3x a x -⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，
又当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，有101x x -≤≤，352x x
--≤≤-，得20a -≤≤.故选：C.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列各组中M ，P 表示相同集合的是（
）
A.M ={x ∣x =2n ，n ∈Z }，P ={x ∣x =2（n +1），n ∈Z }
B.M ={y ∣y =x 2+1，x ∈R }，P ={x ∣x =t 2+1，t ∈R }
C.M ={x ∣
3
5x
-∈Z ，x ∈N }，P ={x ∣x =2k ，1≤k ≤4，k ∈N }D.M ={y ∣y =x 2－1，x ∈R }，P ={（x ，y ）∣y =x 2－1，x ∈R }
【答案】ABC 【解析】
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A ，因为n ∈Z ，则n+1∈Z ，因此集合M ，P 都表示所以偶数组成的集合，A 正确，对于B ，M ={y ∣y =x 2+1，x ∈R }[)1,=+∞，P ={x ∣x =t 2+1，t ∈R }[)1,=+∞，即B 正确，对于C ，M {}2468,,,=，P {}2468,,,=因此C 正确，
对于D ，集合M 的元素是实数，集合P 的元素是有序实数对，因此D 不正确.故选：ABC 10.关于函数21
()1
x f x x +=
-，正确的说法是（）
A.()f x 与x 轴仅有一个交点
B.()f x 的值域为{}
2
y y ≠C.()f x 在()1,+∞单调递增
D.()f x 的图象关于点()1,2中心对称【答案】ABD 【解析】
【分析】根据函数求值、值域的定义、函数单调性、对称性，可得答案.【详解】对于A ，令()0f x =，则
21
01x x +=-，由10x -≠，则210x +=，解得12x =-，所以函数()f x 图象与x 轴交唯一一点1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，故A 正确；对于B ，由函数()213211
x f x x x +=
=+--，显然
3
01x ≠-，则()2f x ≠，所以函数()f x 的值域{}
2y y ≠，故B 正确；对于C ，由函数()3
21
f x x =+
-，根据反比例函数的单调性，可得()f x 在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，故C 错误；对于D ，()()33
42422211
f x f x x x ⎛⎫--=-+=+= ⎪
---⎝
⎭，故D 正确.故选：ABD.
11.若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（
）
A.1ab ≤
B.2≤
C.222a b +≥
D.
112a b
+≤【答案】ABC 【解析】
【分析】根据基本不等式可判断A 正确，B 正确，C 正确；取特值可判断D 错误.【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，
对于A ，2a b =+≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以1ab ≤，故A 正确；
对于B ，2a b +=++2()4a b a b a b ≤+++=+=，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以
2≤
，故B 正确；
对于C ，22222222
2
2()4
22222
a b a b a b ab a b a b +++++++=≥===，故C 正确；
对于D ，取12a =，32b =，得112
223
a b +=+>，故D 错误.故选：ABC 12.设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中的最小者．下列说法正确的
有（
）
A.函数()f x 为偶函数
B.当(1,)x ∈+∞时，(2)()f x f x -≤
C.当[4,4]x ∈-时，(2)()f x f x -≥
D.当x ∈R 时，(())()f f x f x ≤【答案】ABD 【解析】
【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数()f x 解析式，再逐项分析判断即得.【详解】画出函数()f x 的图象，如图所示：
对于A ，观察图象得()2
2,1,11|2,1x x f x x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪-⎩
，当11x -≤≤时，2()()f x x f x -==，
当1x <-时，1x ->，()|2||2|()f x x x f x -=--=+=，当1x >时，1x -<-，
()|2||2|()f x x x f x -=-+=-=，因此R x ∀∈，()()f x f x -=，()f x 为偶函数，A 正确；
对于B ，当1x >时，()|2|f x x =-，(2)y f x =-的图象可看做是()y f x =的图象向右平移两个单位而得，经过平移后，(2)y f x =-的图象总是在()y f x =图象的下方，即(2)()f x f x -≤恒成立，B
正确；
对于C ，当[4,4]x ∈-时，(2)y f x =-的图象可看做是()y f x =的图象向右平移两个单位而得，而经过平移后，函数(2)y f x =-的图象有部分在函数()y f x =的图象下方，C 错误；
对于D ，R x ∀∈，()0f x ≥，令()0t f x =≥，2,01()2,122,2t t f t t t t t ⎧≤≤⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
，
则当01t ≤≤时，2()(1)0t f t t t t t -=-=-≥，当12t <≤时，()220t f t t -=->，
当2t >时，()20t f t -=>，因此0t ∀≥，()f t t ≤成立，即当x ∈R 时，(())()f f x f x ≤，D 正确．故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.幂函数2
3y x =在(0,)+∞上的单调性是_________．（填“单调递增”或“单调递减”）【答案】单调递增
【解析】
【分析】根据幂函数的性质求解.
【详解】因为203>，所以幂函数2
3y x =在(0,)+∞上单调递增，
故答案为:单调递增.
14.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()2
1f x x =-，则
()2f -=_________．
【答案】－3【解析】
【分析】由奇函数的性质求解即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()()
2
22213f f -=-=--=-.
故答案为：3
-15.已知集合{}|14A x x =-≤≤，集合{}|21B x m x m =<<+，且,x A x B ∀∈∉为真命题，则实数m 的取值范围为_________．【答案】(2][1),,-∞-+∞U 【解析】
【分析】利用集合交集的结果求参数的取值范围.【详解】因为,x A x B ∀∈∉为真命题，所以A B ⋂=∅,
又因为{}|14A x x =-≤≤，{}|21B x m x m =<<+，（i ）当B =∅，即21m m ≥+，m 1≥时，满足题意；（ii ）当B ≠
∅，即21m m <+，1m <时，
要使A B ⋂=∅，则2111m m m <+⎧⎨
+≤-⎩或21
24
m m m <+⎧⎨≥⎩，解得2m ≤-，
综上所述，2m ≤-或m 1≥，故答案为:(2][1),,-∞-+∞U .16.已知函数()2
31,1
1,1
x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的最大值为___________.
【答案】1712
【解析】
【分析】作出函数()f x 的图象，由此可得1,1m n ≤<≤2
1(2)3m n =-，进而得t =21233
n n -++，根据二次函数的性质即可求出t 的最大值.【详解】解：作出函数()f x 的图象如图所示：
由题意可得1,1m n ≤<≤且有2311m n +=-，即2
1(2)3
m n =-，
所以t n m =-=22112(2)333
n n n n -
-=-++，
因为1n <≤，对称轴为3
2
n =，所以当32n =
时，t 的最大值为1712.故答案为：
1712
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知集合{}14M x x =<<，集合{}
35N x x =<<．（1）求M N ⋂和()
R M N ⋃ð；
（2）设{}
3A x a x a =≤≤+，若()
R R A N ⋃=ð，求实数a 的取值范围．【答案】17.{}
34M N x x ⋂=<<；(
){}
R 45M N x x x ⋃=<≥或ð18.
[]
2,3【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；
（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】由题意，可得{}R 35N x x x =≤≥或ð，所以{}34M N x x ⋂=<<，(){}R 45M N x x x ⋃=<≥或ð．
【小问2详解】因为{}3A x a x a =≤≤+，若()R R A N ⋃=ð，
所以335a a ≤⎧⎨+≥⎩
解得23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3．18.已知函数()21x f x x =
+，()0,x ∈+∞．（1）判断函数()f x 的单调性，并利用定义证明；
（2）若()()211f m f m ->-，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递增；证明见解析
（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
．【解析】
【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；
（2）结合单调性构造关于m 的不等式求解．
【小问1详解】
证明：()22211
x f x x x ==-++，()0,x ∈+∞，任取120x x <<，可知()()()()()
121221122221111x x f x f x x x x x --=-=++++，因为120x x <<，所以120x x -<，110x +>，210x +>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
故()f x 在()0,∞+上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知：()f x 在()0,∞+上单调递增，
所以()()211f m f m ->-，可得21010211m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213m <<故实数m 的范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
．19.已知实数0,0x y >>，且()222xy x y a x y =+++，R a ∈.
（1）当0a =时，求24x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值；
（2）当12
a =时，求x y +的取值范围．【答案】（1
）12x +=
，24y +=
，最小值3+（2）[)
4,+∞【解析】
【分析】(1)当0a =时，由已知可得112x y
+=，然后利用乘1法，结合基本不等式可求.(2)当12a =时，()22122
xy x y x y =+++变成()()262xy x y x y =+++，结合基本不等式可求.【小问1详解】
因为0a =时，已知等式即为2xy x y =+，结合0,0x y >>,所以112x y
+=，故(
)1112242412332x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭
，当且仅当2x y y x
=时等号成立，并结合2xy x y =+,
解得12
x +=
，24y +=时，等号成立．【小问2详解】当12a =时，已知等式即为()22122
xy x y x y =+++⇔()()2242xy x y x y =+++⇔()()262xy x y x y =+++注意到22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，
所以()()()()2
2226442x y x y x y x y x y x y +⎛⎫+++≤⇔+≤+⇔+≥ ⎪⎝⎭等号取得的条件是2x y ==.
所以x y +的取值范围是[)4,+∞.
20.目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD 传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为2E kv t =，其中v 为传感器在静水中行进的速度（单位：km∕h ），t 为行进的时间（单位：h ），k 为常数，
如果待测量的河道的水流速度为3km∕h ．设该传感器在水中逆流行进10km 消耗的能量为E ．
（1）求E 关于v 的函数关系式；
（2）当v 为多少时传感器消耗的能量E 最小？并求出E 的最小值．
【答案】（1）2103
E kv v =⋅-（v ＞3）（2）v =6km∕h ，最小值120k ．
【解析】
【分析】（1）求出传感器在水中逆流行进10km 所用的时间，表达出所消耗的能量；
（2）变形后，利用基本不等式求出最小值，得到答案.
【小问1详解】
由题意，该传感器在水中逆流行进10km 所用的时间103t v =
-（3>v ），则所消耗的能量2103
E kv v =⋅-（3>v ）．【小问2详解】有22
210[(3)3]9101010(3)63333v v E kv k k k v v v v v -+⎡⎤=⋅=⋅=⋅=-++⎢⎥----⎣⎦
106120k k ⎡⎤≥=⎢⎥⎣
⎦当且仅当933v v -=
-，即v =6km∕h 时等号成立，此时2103
E kv v =⋅-取得最小值120k ．21.已知命题:p x 满足2010
ax ax -≤⎧⎨+>⎩，命题:q x 满足220x x --<．
（1）若存在1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()
2,4-（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】（1）根据题意，解不等式，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，将题意写成集合，利用分类讨论思想，可得答案.
【小问1详解】当1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由2010
ax ax -≤⎧⎨+>⎩，得12ax -<≤，所以12a x x -<≤．而1123x -<-
<-，2243x <<，∴24a -<<，故实数a 的取值范围是()2,4-．
【小问2详解】设集合{}201210ax A x x ax ax ⎧⎫-≤⎧⎪⎪==-<≤⎨⎨⎬+>⎩⎪⎪⎩⎭，{}()(){}{}22021012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<．
若p 是q 的必要不充分条件，则B 真包含于A ．
当0a =时，R A =，满足题意；
当0a >时，12A x x a a ⎧
⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，11a
∴-≤-且22a ≥，解得01a <≤；当a<0时，21A x x a
a ⎧⎫=≤<-⎨⎬⎩⎭，21a ∴≤-且12a -≥，解得102a -≤<．综上所述，实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦．22.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}
|A x f x x ==，
(){}
|B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦，那么，
（1）求函数()38g x x =-的“稳定点”；
（2）求证：A B ⊆；
（3）若()()21,f x ax a x R =-∈，且A B φ=≠，求实数a 的取值范围.【答案】（1）“稳定点”为4x =；（2）见解析；（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数()38g x x =-的“稳定点”只需求方程()g g x x ⎡⎤=⎣⎦中x 的值，即为“稳定点”
若x A ∈，有()f x x =这是不动点的定义，此时得出()()f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，A B ⇒⊆，如果A φ=，则直接满足.
先求出A φ≠即()f x 存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦有()3388x x --=，
得：4x =，所以函数()38g x x =-的“稳定点”为4x =；（2）证明：若A φ=，则A B ⊆，显然成立；
若A φ≠，设t A ∈，有()f t t =，则有()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，
所以t B ∈，故A B
⊆（3）因为A φ≠，所以方程21ax x -=有实根，即210ax x --=有实根，
所以0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+≥⎩，解得14a ≥-又由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦得：()
2211a ax x --=即()3422210*a x a x x a --+-=由（1）知A B ⊆，故方程()*左边含有因式21
ax x --所以()()
222110ax x a x ax a --+-+=，又A B =，
所以方程2210a x ax a +-+=要么无实根，要么根是方程210ax x --=的解，当方程22
10a x ax a +-+=无实根时，0a =或()220410a a a a ≠⎧⎨∆=--+<⎩，即34a <，当方程2210a x ax a +-+=有实根时，则方程2210a x ax a +-+=的根是方程210ax x --=的解，
则有22a x ax a =+，代入方程2210a x ax a +-+=得210ax +=，故12x a =-
，将12x a
=-代入方程210ax x --=，得111042a a +-=，所以34a =.综上：a 的取值范围是13,44⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦.【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求()f x x =；求稳定点，就去求()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，完全根据定义去处理问题.
需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.。