非相对论性量子论学中的路径积分 Part Three
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x f , t f xi , ti
J
lim dxk
n k 1 l 0
n
n
dpl 2
i n p j x j 1 x j H p j , x j J i x j exp j 0
现在来看泛函微分的定义:
F f x F f x x y F f x lim f y 0
J
dx ' dx x f , t f x ', T x ', T x, T
J
x, T xi , ti
可见,现在传播子分为三部分:第一段和最后一段 都是无源的自由传播子,而中间一段是含源的传播 子.故由传播子定义,我们有:
x f , t f x ', T x f e x, T xi , ti x e
J
J
0, T 0, T
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
这里,最后一行中的 0, T 0, T 的基态到基态的跃迁振幅. 我们可以将其写为:
0, T 0, T
J
就是在含场源情况下
J
e i x f , t f xi , ti E0 t f ti * e 0 x f 0 xi
i E0 2T
i En i En E0 T ti
i 1 En T ti En E0 T ti
e
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
2,生成泛函
从前面知道,基态到基态的跃迁可以视为源函数J的 泛函: i
0, T 0, T
J
e
S J 2 E0T
当 T ,我们把此时的泛函记为:
W J lim 0, T 0, T
T J
lim
ti t f T
x f , t f xi , ti x f , t f xi , ti
J J 0
e
i E0 2T
W被称为"生成泛函". 进而,我们可以定义"归一化"生成泛函:
x f , t f xi , ti 0, 0, J W J Z J lim W 0 0, 0, J 0 ti x f , t f xi , ti
0, T 0, T
J
e
i S J 2 E0T
将源的作用与系统自身演化部分分开.
1,基态到基态的跃迁
除了使用Wick转动的方法,我们也可以用别的方法 来获得基态到基态的跃迁振幅. 比如,可以在能量本征值上加 i En E0 从而保证 积分收敛,这里ε为一个小量:
x f , t f x ', T n x f x ' e
T H J t x dt 0 0e
i
T
其中,在无外场源时候,态 0 是唯一的,无简并, 且归一化为1,是系统在与源作用前和后的基态.
1,基态到基态的跃迁——跃迁振幅
i T exp H J t x dt 0 因而, T
是在+T时刻基态进过源作
用所得到的态.
从而,前面给出的基态到基态的跃迁几率就可以理 解为演化后的态依旧处于原来的基态的几率. 对比之前的式子,我们这里形式地将基态到基态的 跃迁振幅写为:
从而谐振势Hamilton量可以写成上述含场源的形式.
1,基态到基态的跃迁
现在,延续上一章的假定,我们认为在初态 t 系统是自由的,同时我们认为外场只作用有限的时 间段.
从而,我们可以和上一章一样计算系统从给定初态 跃迁到给定末态( t )的跃迁几率(上一章中计算 的散射矩阵也是一种跃迁几率).
在前面的传播子表述中,我们可以看到,初末态时 间已经从场源作用中独立了出来,但是我们还不能 t 直接取 ti ,f 的极限来进行计算,因为现 在函数是e指数.系统能量越高,函数震荡得越快. 因而,我们预期系统跃迁的主要贡献来自最低能态 0
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
上面所说的震荡函数可以利用Wick转动来进行计算. 我们将ti和tf解析延拓到整个复平面上,从而可以写 i t 为: re .其中转动角度要满足下述条件: 在积分路径旋转所扫过的区间内没有发散奇点,而 且转动角度在 0, 范围内. 显然,当转动角度过大时,初态或者末态时间会出 现无穷大发散.
* n n
i En i En E0 t f T
n x f x ' e
* n n
i En t f T
e
1 En E0 t f T
0 x f x ' e
* 0
i E0 t f T
* x, T xi , ti n x n xi e n * n x n xi e n
1,基态到基态的跃迁——跃迁振幅
上面的结果显示,含源时的基态到基态的跃迁振幅 可以由从任意初态位置到任意末态位置的路径积分 来获得(差一个因子 ei E 2T )而不依赖距离的位置 数据,只要初态和末态是在无穷远的过去与未来.
0
对于基态到基态的跃迁,我们可以按照定义将其写 为:
0, T 0, T
J
x ', T x, T
J
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
0 x f xi e 0 x f xi e
* 0 x f 0 xi e
* dx ' dx0 x ' x ', T x, T
J
0 x
x0
dx ' dx
0 x ' x ', T x, T
J
现在我们来看无源的情况:
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
对无源情况,用类似的方法可得:
* n i En t f ti
x f , t f xi , ti n x xi e
nLeabharlann e ei En t f ti
x x e
n * n i n n
i En E0 f i cos i sin
Dxe
i
L x , x dt
从形式上说,就是含源传播子与不含源传播子的比.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
在这里,我们会看到如何由相互作用算符编时乘积 的期望值是如何由生成泛函W[J]对源函数J的泛函微 分来获得的.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
先用第一章中插入中间态的方法来表述含源时的路 径积分:
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
经过Wick转动后,现在我们来看一下传播子:
x, T xi , ti e e
i E0ti i E0ti * n x n xi e n i EnT i E0ti
e
i En T ti
x x e
n * n i n
e
i En E0 ti
J J 0
J
e
i E0 2T
当没有外场源时为:
0, T 0, T
J 0 i i E0T E0 T 0 e 0 e
0e
i E0 2T
0 e
i E0 2T
i x f , t f xi , ti E0 2T J e x f , t f xi , ti J 0 J 0
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
我们可以看出,在我们现在所选择的旋转方式下, 积分路径是做顺时针转动. 一般,我们也称 2 这个特殊的角度的旋转为 "Wick转动",这里就等于是将实轴正无穷转到虚 轴的负无穷,而将实轴负无穷转到虚轴的正无穷.
物理结果在旋转前后是存在对应关系的,因而我们 可以利用Wick转动来得到正确的物理.
i E0 t f T
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
从而,整个传播子就可以写为:
e
i E0 t f ti
x f , t f xi , ti
0
J * 0 i E0 t f T
e
i E0 t f ti
dx ' dx x x ' e
f * 0 * 0 i E0 2T i E0 2T i E0 2T
最后,我们将看到跃迁几率是由相互作用算符的编 时乘积构成的矩阵元来决定的.
1,基态到基态的跃迁
现在,我们假定任意物理系统在初态都是静态的, 随后被外场源J作用有限时间.当J消失后,系统基 态保持不变,但是系统状态发生改变,系统可能处 于激发态. 因而,现在系统的传播子可以写为(Heisenberg绘景下):
i H t f T
x ' n x f x ' e
* n n * n
i En t f T
i H T ti
xi n x xi e
n
i En T ti
E 其中, n 是无源Hamilton量的本征态, n是其本征值.
1,基态到基态的跃迁
假定Hamilton量本征值有下界 E0 ,从而 En En 将本征值是 E0 的态设为系统基态,在坐标表示下为 0 x
i
J
px H x , p J t x dt
N Dxe
i
L x , x J t x dt
2,生成泛函
从而,归一化的生成泛函Z可以写为:
0, 0, J W J Z J W 0 0, 0, J 0
Dxe
i
L x , x J t x dt
x f , t f xi , ti
J
Dx Dpe
i
tf
px H x , p J t x dt
ti
显然,传播子是函数J的泛函,故加上下标J.
这里初态 ti ,末态 t f ,而场源只在有限时 间段[-T,T]内有作用.
1,基态到基态的跃迁
现在传播子可以写为:
x f , t f xi , ti
t f
J J 0
2,生成泛函
泛函Z[J]描述了含源跃迁与不含源跃迁的关联程度. 现在,我们认为Hamilton量是对动量二次依赖的, 从而可以写为:
p2 H x, p V x 2m
由第一章的结果,并且注意到 x f , xi , J 和传播 子的关系,我们可以将其写为:
x f , xi , Dx Dpe
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
进一步:
x, T xi , ti e e
i E0ti i E0ti * n x n xi e lim i EnT
e
i En E0 cos i sin
n
* n x n xi e lim
i EnT
e
i En E0 cos
i En t f ti
* n x n xi e i En t f ti
i En E0 f i cos
e
1 En E0 f i sin
0 x xi e
* 0
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
从而我们可以把基态到基态的跃迁振幅写为:
0, T 0, T x f , t f xi , ti x f , t f xi , ti
非相对论性量子论学中的路径积分
Part Three 生成泛函
1,基态到基态的跃迁
在这一章中,我们要来考虑含场源J的跃迁振幅,因 而现在Hamilton量可以写为:
H J x, p H x, p J t x
比如,在经典谐振势的情况中,Hamilton为:
2 p2 1 H x, p k x x0 t 2m 2 k 2 H kx0 t x x0 t 2 2 H J t x O x0
e
1 En E0 sin
n
注意到这里 ,因而可以发现,除了基态外, 别的所有态的贡献都为零,从而传播子可以写为:
* x, T xi , ti 0 x 0 xi e i E0T
e
i E0ti
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
* 同理可得: x f , t f x ', T 0 x f 0 x ' e
i cos i sin
lim
e
i E0ti
x x e
n * n i n
i EnT
e
i En E0 i
这里插入一个基态能量,是为了保证e指数上系数是 正的,从而能保证在转动后的无穷远处不会出现发 散.而不对基态能量进行计算,因为基态能量可能 是负的.
t 这里及以后我们都默认是取极限 ti ,f 的.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
从而,我们可以得到生成泛函对源的泛函微分:
x f , t f xi , ti J t1
J n n dp 1 lim lim dxk l 0 n k 1 l 0 2
J
lim dxk
n k 1 l 0
n
n
dpl 2
i n p j x j 1 x j H p j , x j J i x j exp j 0
现在来看泛函微分的定义:
F f x F f x x y F f x lim f y 0
J
dx ' dx x f , t f x ', T x ', T x, T
J
x, T xi , ti
可见,现在传播子分为三部分:第一段和最后一段 都是无源的自由传播子,而中间一段是含源的传播 子.故由传播子定义,我们有:
x f , t f x ', T x f e x, T xi , ti x e
J
J
0, T 0, T
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
这里,最后一行中的 0, T 0, T 的基态到基态的跃迁振幅. 我们可以将其写为:
0, T 0, T
J
就是在含场源情况下
J
e i x f , t f xi , ti E0 t f ti * e 0 x f 0 xi
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i En i En E0 T ti
i 1 En T ti En E0 T ti
e
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
2,生成泛函
从前面知道,基态到基态的跃迁可以视为源函数J的 泛函: i
0, T 0, T
J
e
S J 2 E0T
当 T ,我们把此时的泛函记为:
W J lim 0, T 0, T
T J
lim
ti t f T
x f , t f xi , ti x f , t f xi , ti
J J 0
e
i E0 2T
W被称为"生成泛函". 进而,我们可以定义"归一化"生成泛函:
x f , t f xi , ti 0, 0, J W J Z J lim W 0 0, 0, J 0 ti x f , t f xi , ti
0, T 0, T
J
e
i S J 2 E0T
将源的作用与系统自身演化部分分开.
1,基态到基态的跃迁
除了使用Wick转动的方法,我们也可以用别的方法 来获得基态到基态的跃迁振幅. 比如,可以在能量本征值上加 i En E0 从而保证 积分收敛,这里ε为一个小量:
x f , t f x ', T n x f x ' e
T H J t x dt 0 0e
i
T
其中,在无外场源时候,态 0 是唯一的,无简并, 且归一化为1,是系统在与源作用前和后的基态.
1,基态到基态的跃迁——跃迁振幅
i T exp H J t x dt 0 因而, T
是在+T时刻基态进过源作
用所得到的态.
从而,前面给出的基态到基态的跃迁几率就可以理 解为演化后的态依旧处于原来的基态的几率. 对比之前的式子,我们这里形式地将基态到基态的 跃迁振幅写为:
从而谐振势Hamilton量可以写成上述含场源的形式.
1,基态到基态的跃迁
现在,延续上一章的假定,我们认为在初态 t 系统是自由的,同时我们认为外场只作用有限的时 间段.
从而,我们可以和上一章一样计算系统从给定初态 跃迁到给定末态( t )的跃迁几率(上一章中计算 的散射矩阵也是一种跃迁几率).
在前面的传播子表述中,我们可以看到,初末态时 间已经从场源作用中独立了出来,但是我们还不能 t 直接取 ti ,f 的极限来进行计算,因为现 在函数是e指数.系统能量越高,函数震荡得越快. 因而,我们预期系统跃迁的主要贡献来自最低能态 0
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
上面所说的震荡函数可以利用Wick转动来进行计算. 我们将ti和tf解析延拓到整个复平面上,从而可以写 i t 为: re .其中转动角度要满足下述条件: 在积分路径旋转所扫过的区间内没有发散奇点,而 且转动角度在 0, 范围内. 显然,当转动角度过大时,初态或者末态时间会出 现无穷大发散.
* n n
i En i En E0 t f T
n x f x ' e
* n n
i En t f T
e
1 En E0 t f T
0 x f x ' e
* 0
i E0 t f T
* x, T xi , ti n x n xi e n * n x n xi e n
1,基态到基态的跃迁——跃迁振幅
上面的结果显示,含源时的基态到基态的跃迁振幅 可以由从任意初态位置到任意末态位置的路径积分 来获得(差一个因子 ei E 2T )而不依赖距离的位置 数据,只要初态和末态是在无穷远的过去与未来.
0
对于基态到基态的跃迁,我们可以按照定义将其写 为:
0, T 0, T
J
x ', T x, T
J
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
0 x f xi e 0 x f xi e
* 0 x f 0 xi e
* dx ' dx0 x ' x ', T x, T
J
0 x
x0
dx ' dx
0 x ' x ', T x, T
J
现在我们来看无源的情况:
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
对无源情况,用类似的方法可得:
* n i En t f ti
x f , t f xi , ti n x xi e
nLeabharlann e ei En t f ti
x x e
n * n i n n
i En E0 f i cos i sin
Dxe
i
L x , x dt
从形式上说,就是含源传播子与不含源传播子的比.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
在这里,我们会看到如何由相互作用算符编时乘积 的期望值是如何由生成泛函W[J]对源函数J的泛函微 分来获得的.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
先用第一章中插入中间态的方法来表述含源时的路 径积分:
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
经过Wick转动后,现在我们来看一下传播子:
x, T xi , ti e e
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1,基态到基态的跃迁——WICK转动
我们可以看出,在我们现在所选择的旋转方式下, 积分路径是做顺时针转动. 一般,我们也称 2 这个特殊的角度的旋转为 "Wick转动",这里就等于是将实轴正无穷转到虚 轴的负无穷,而将实轴负无穷转到虚轴的正无穷.
物理结果在旋转前后是存在对应关系的,因而我们 可以利用Wick转动来得到正确的物理.
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1,基态到基态的跃迁——WICK转动
从而,整个传播子就可以写为:
e
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x f , t f xi , ti
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最后,我们将看到跃迁几率是由相互作用算符的编 时乘积构成的矩阵元来决定的.
1,基态到基态的跃迁
现在,我们假定任意物理系统在初态都是静态的, 随后被外场源J作用有限时间.当J消失后,系统基 态保持不变,但是系统状态发生改变,系统可能处 于激发态. 因而,现在系统的传播子可以写为(Heisenberg绘景下):
i H t f T
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E 其中, n 是无源Hamilton量的本征态, n是其本征值.
1,基态到基态的跃迁
假定Hamilton量本征值有下界 E0 ,从而 En En 将本征值是 E0 的态设为系统基态,在坐标表示下为 0 x
i
J
px H x , p J t x dt
N Dxe
i
L x , x J t x dt
2,生成泛函
从而,归一化的生成泛函Z可以写为:
0, 0, J W J Z J W 0 0, 0, J 0
Dxe
i
L x , x J t x dt
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显然,传播子是函数J的泛函,故加上下标J.
这里初态 ti ,末态 t f ,而场源只在有限时 间段[-T,T]内有作用.
1,基态到基态的跃迁
现在传播子可以写为:
x f , t f xi , ti
t f
J J 0
2,生成泛函
泛函Z[J]描述了含源跃迁与不含源跃迁的关联程度. 现在,我们认为Hamilton量是对动量二次依赖的, 从而可以写为:
p2 H x, p V x 2m
由第一章的结果,并且注意到 x f , xi , J 和传播 子的关系,我们可以将其写为:
x f , xi , Dx Dpe
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
进一步:
x, T xi , ti e e
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1,基态到基态的跃迁——WICK转动
从而我们可以把基态到基态的跃迁振幅写为:
0, T 0, T x f , t f xi , ti x f , t f xi , ti
非相对论性量子论学中的路径积分
Part Three 生成泛函
1,基态到基态的跃迁
在这一章中,我们要来考虑含场源J的跃迁振幅,因 而现在Hamilton量可以写为:
H J x, p H x, p J t x
比如,在经典谐振势的情况中,Hamilton为:
2 p2 1 H x, p k x x0 t 2m 2 k 2 H kx0 t x x0 t 2 2 H J t x O x0
e
1 En E0 sin
n
注意到这里 ,因而可以发现,除了基态外, 别的所有态的贡献都为零,从而传播子可以写为:
* x, T xi , ti 0 x 0 xi e i E0T
e
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* 同理可得: x f , t f x ', T 0 x f 0 x ' e
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这里插入一个基态能量,是为了保证e指数上系数是 正的,从而能保证在转动后的无穷远处不会出现发 散.而不对基态能量进行计算,因为基态能量可能 是负的.
t 这里及以后我们都默认是取极限 ti ,f 的.
3,GS-GS跃迁振幅的泛函微分
从而,我们可以得到生成泛函对源的泛函微分:
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