大学物理17振动学习题ppt课件

(a) 合振动的频率与分振动的频率相同
(b)合振动的振幅 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
(c)合振动的初相 tg A1 sin1 A2 sin2
2. 合振动加强、减弱的条件A1 cos1 A2 cos 2
(1) 2k (k 0,1,2,)
2
1
A A1 A2 合振动加强，并与分振动同相
相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在
最大正位移处．则第二个质点的振动方程为
(A)
x2
Acos(t
a
1 2
π)．
(B)
x2
Acos(t
a
1 2
π)
．
(C)
x2
Acos(t
a
3 2
π) ．
(D)
x2 Acos(t a π)
．
2
解：由图看出，振动2比振动1位相落后90度
a
1
2
B
2
19
16、如图所示的是两个简谐振动 的振动曲线，它们合成的余弦振 动的初相为 __________________． 解： 由图知二者同振动方向、
同频率，且位相相反。
x
A
O
1 2
A
2
x1 t (s) 4 x2
合振动位相与振幅大者相 同，由矢量图可知初相为
（或 3 ）
2
2
20
17、两个同方向同频率的简谐振动
o
t
6
6
6
6
解：
t
设x Acos(t
M sin(t )
0时 ， 0
1 2
M
) M
M
cos
cos
(t
( )
2
2
)
cos( ) 1
22
23
6 5
6
t 0时，a0 aM cos 0
5
6
C 10
7、一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向 x 轴正方向
运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时
① 已知状态求位相 ② 已知位相求状态 ③ 已知位相差求时间差 t
① 解析法（利用初始条件）
（2）求初 相方法
x cos 0
v sin 0
v tg 0
A
A
x 0
② 旋转矢量法
2
三、简谐振动的能量
动能
EK
1 mv 2 2
1 kA2 sin2 (t 2
)
能势
EP
1 2
kx 2
1 2
kA2 cos2(t
)
机械能 结论
E
Ek
Ep
1
kA2
1
mv
2 m
2
2
=常量
（1）动能和势能的幅值相等，等于
1
kA2或
1
mv
2 m
2
2
（2）动能和势能变化的周期相同（为振动周期的一半）
（3）动能和势能变化的步调相反
3
四、同方向、同频率简谐振动的合成
1. 合振动是简谐振动 x Acos(t )
(1) 解 析 法
(2) 旋转矢量法
解：受力如图所示，以重物的静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下 为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
mg
sin
T1
m
d2 x dt 2
T1R T2R I
d2 x dt 2
R
mg sin kx0 T2 k( x0 24 x)
联立以上各式，得
(mR
I) R
d2 x dt 2
kxR
即 d2 x dt 2
k1 m
2k m
2
B
8
5、质量为m 的物体，由倔强系数为k1 和k2 的两个轻弹簧连接到
固定端，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为：
( A) 2 k1 k2
m
(B) 1 k1 k2 2 m
(C ) 1 k1 k2 2 mk1k2
(D) 1
k1k2
2 m(k1 k2 )
解：
k2
A2
?
A(0)
2
y 0.02cos(2.5t ) ( SI ) 2
16
13、一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为x0，此 振子自由振动的周期T = ____________________________．
解： k mg x0
T 2 m 2 mx 0 2 x0
k
mg
g
17
2
18
15、一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率 为1000 Hz，振幅为0.5 cm，则其振动能量为______________．
解： 2 k k m 2 m(2f )2
m
E 1 kA2 1 m(2f )2 A2
2
2
1 2(2 1000)2 0.0052 9.9 102 J
(2) (2k 1) (k 0,1,2,)
2
1
A A1 A2 合振动减弱，初相与大振幅者相同
当 A1 = A2 A=0
4
单元检测题---选择题
1、一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光
滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复
摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯 量 J 1 ml2 ，此摆作微小振动的周期为
vm A 0.8 2.51m / s
am 2 A 63.2m / s2
22
(2) Fm mam 0.63N
E
1 2
m vm2
3.16102 J
E p E k 1 E 1.58102 J
2
当EK=EP时，有E=2EP 即 1 kx2 1 ( 1 kA2 )
2
22
x 2 A 2m
14、一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振 动方程为 _________________________．
解： A 0.04m
T 2s
2 (rad / s)
T
x (m) 0.04
t (s)
O -0.04
12
由矢量图知
2
x Acos(t ) 0.04con(t )
x 0.1cos(8t 2 ) (SI)
3
的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加 速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势 能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)t2=5s与t1=1s两个时刻的位 相差。
解： (1)由振动方程知
A 0.1m T 2 1 s 2 / 3 4
x=-A/ 2 处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方
程．
解：
x0 Acos0 v0 Asin0
2
T
1
2
3 2
x Acos(2 t )
T
x Acos(2 t 3 )
令： 2(t ) d 2dt dt d 2
t 0时， 2；
W 1 kA2
2 2
sind 0
4
2
t T 时, 2 2
2
D
13
10、一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小 为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的
(A) 7/16. (B) 9/16. (C) 11/16.
3
(A) 2
l g
(B) 2
l 2g
(C) 2
2l 3g
(D) l
3g
O l
mg
解：小角转动时 M 1 mglsin 1 mgl
2
2
转动定律
M
J
1 ml 2 3
d 2
dt 2
d 2
dt 2
3g
2l
0
T
2
2
2l 3g
C
5
2、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直
方向成一微小角度0 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始
T 2 m
k
kT 2 200 0.22 2
m 4 2
4 2
2kg
15
12、一质点作谐振动，速度最大值 m 5cm / s ，振幅 A=2cm， 若令速度具有正最大值的那一时刻为 t = 0，则振动表达式为
x=
解： x Acos(t )
m A
x
m 5 2.5rad / s
(D) 13/16. (E) 15/16.
解：Ek
E EP
1
EP
1
1 k( A)2 24
15
E
E
E
1 kA2 16
2
E
14
单元检测题---填空题
11、用40Ｎ的力拉一轻弹簧，可使其伸长20 cm．此弹簧下应 挂__________kg的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T = 0.2 s．
解： k F 40 200N / m x 0.2
kR2 mR 2
I
x
0
令 2
kR2 mR 2
I
则有
d2 x dt 2
2
x
0
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
T 2 2
R2 I kR2
( 2 m I / R2 )
K
25
3、一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时
作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2
二、描述简谐振动的物理量 x Acos(t )
1.振幅： （A） （1）已知初始位速
A
x02
( v0
)2
求振幅有 三种方法
（2）已知任意位速
A x2 ( v )2
（3）已知总机械能 A 2E / k
2.周期（T）： [ 频率（γ)、圆频率（ω）]
T 2
弹
簧 k
振
m
1 T 2
T 2 2 m
x1
3 102
cos(t
1 3
π)
,
x2
4102 cos(t 1 π)
6
(SI)
它们的合振幅是________________．
解：
1
3
2
6
A
A1 1 2
A2
由图中矩形知
A A12 A22 32 42 102 5102 m
21
1、质量为10*10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按
(2)速度方程为： v 5 2 102 sin( t 5)
4 44
v 5 2 102 sin( t 5) 3.93102 m / s
4 44 27
4、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振
动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(1)x0=-A； (2)过平衡位置向正向运动；(3)过x=A/2处向负向运动；(4)过
计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为
(A) ．
(B) /2．
(C) 0 ．
(D) ．
解：由题意知
g
l
0 cos(t )
当t 0时 0 ＝0
C
6
3、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相
同．第一个质点的振动方程为x1 = Acos(t + a)．当第一个质点从
2
20
(3) t2=5s与t1=1s两个时刻的位相差
(t2 t1 ) 8 (5 1) 32
23
2、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平 面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径 为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证 明物体作简谐振动，并求振动周期．
间为：
( A) T (B) T (C) T (D) T
4
6
8
12
解：如图：t
6
2
T 12
T
A
2 x
o
6A
D
11
8、一简谐振动曲线如图所示．则振动 周期是
(A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D) 2.00 s．
x (cm)
4
2
t (s)
解：如图
5
O1
6 5
秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的
速率，且 AB= 10 cm求：
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
解：A、B两点具有相同的速率 A、B两点中心为平衡位置
A
1s
1s B2s
由题意可知，T=8S
o 设振动方程为：x
A cos (
t )
2/T
(
/4)
s-1
4
当t = 0 时，xA Acos 5cm
当t = 2 时， xB
A cos (
2
)
Asin
5cm
联立二式得 或 5
4 ？4
26
A
1s
1s B2s
o
v0 A sin 0
sin 0
A x / cos 5 2cm
5
4
振动方程为： x 5 2 102 cos( t 5) 44
k
2
1 1 k T 2 m
子
1
求 圆
(1) 建立振动系统的微分方程
d2x Bx 0
dt 2
频 率 的 方
x前的系数的开方就是振动系统的固有圆频率
（2）利用公式求 2 2 T
vm A
法 （3）利用速度和加速度幅值求
am 2 A
3.位相和初相 （表示物体运动状态的物理量）
(1)位相
t 1 6
T 2 12 2.40 B 5
12
9、弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期 内所作的功为：
( A) kA2
(B) 1 kA2 2
(C ) 1 kA2 4
(D) 0
解： W kxdx kxdt
[kAcos(t )][Asin(t )]dt 1 kA2 sin2(t )dt 2
k1
经受力分析可得弹簧串联公式：
m
1 k
1 1 k k1k2
k1 k2
k1 k2
2
1
2
k1
m 2
k1k2 m(k1 k2 )
D
9
6、一质点作谐振动，其运动速度与时间
的曲线如图所示，若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初位相为：
1 2
m
5
5
( A) (B)
(C ) - (D) -
7
4、一质量为m 的物体挂在倔强系数为 k 的轻弹簧下面，振动圆
频率为ω，若把此弹簧分割成二等分，将物体m 挂在分割后
的一根弹簧上，则振动圆频率为：
(A) 2
(B) 2
(C ) 1
2
(D) 1
2
解：设分割后的一根弹簧的倔强系数为 k1，由弹簧串联公式：
1 1 1 k k1 k1
k1 2k 1