高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第25练

∴EF∥PD.
又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴直线EF∥平面PCD.
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证明
(2)平面BEF⊥平面PAD. 证明 如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ADB为正三角形.
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解答
4.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD， 且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若 存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.
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解答
考点二 空间中的垂直关系
方法技巧 判定直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直定义. (2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直， 则这条直线与平面垂直. (3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂 直于这个平面. (4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的 直线必垂直于另一个平面.
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证明
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点， 且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
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8பைடு நூலகம்
解答
7.(2017· 南京一模 ) 如图，在六面体 ABCDE 中，
平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.
(1)求证：AE∥平面DBC； 证明 过点D作DO⊥BC，O为垂足.
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证明
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积. 解 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l， ∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ 2r.
1 2 由 S△PAB＝2×2r×h＝r ＝9，得 r＝3，
∴S 表＝πrl＋πr2＝πr× 2r＋πr2＝9(1＋ 2)π.
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证明
8.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为正方形， 顶点S 在底面ABCD上的射影为其中心O， 高为 3， 设E， F分
别为AB， SC的中点， 且SE＝2， M为CD边上的点.
(1)求证：EF∥平面SAD； 证明 取SB的中点P，连接PF，PE.
∵F为SC的中点，
∴PF∥BC，又底面ABCD为正方形， ∴BC∥AD，即PF∥AD，又PE∥SA， ∴平面PFE∥平面SAD. ∵EF⊂平面PFE， ∴EF∥平面SAD.
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证明
(2)试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD.
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解答
考点三 平行和垂直的综合应用
方法技巧 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、
性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD ＝60°，E，F分别是AP，AD的中点. 求证：(1)直线EF∥平面PCD； 证明 在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，
∵平面DBC⊥平面ABC，
平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，
∴DO⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC，则AE∥DO.
又AE⊄平面DBC， DO⊂平面DBC， 故AE∥平面DBC.
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证明
(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC. 证明 由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴DO⊥AB. 又AB⊥BC， 且DO∩BC＝O， DO， BC⊂平面DBC， ∴AB⊥平面DBC. ∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC. 又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD， 则DC⊥平面ABD. 又AD⊂平面ABD，故可得AD⊥DC.
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证明
8 (2)若PA＝ PD＝ AB＝DC， ∠APD＝ 90°，且四棱锥 P－ABCD的体积为 ， 3
求该四棱锥的侧面积.
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解答
3.(2017· 龙岩市新罗区校级模拟)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴 截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；
第二篇 熟练规范 中档大题保高分
第25练 空间中的平行与垂直
明考情
高考中对直线和平面的平行、垂直关系交汇综合命题，多以棱柱、棱
锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中档偏下.
知考向
1.空间中的平行关系.
2.空间中的垂直关系.
3.平行和垂直的综合应用.
栏目 索引
研透考点
规范解答
核心考点突破练
模板答题规范练
5.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形， AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.
求证：(1)AF∥平面BCE；
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证明
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 ∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF.
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证明
2.(2017· 全 国 Ⅰ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， AB∥CD ， 且 ∠BAP ＝
∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD； 证明 由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥PA，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD.
又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
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证明
6.(2017· 全国Ⅲ)如图，在四面体ABCD中，△ABC
是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC⊥BD；
证明 如图，取AC的中点O，连接DO，BO. 因为AD＝CD，所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形， 所以AC⊥BO. 又DO∩OB＝O， 所以AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
研透考点
核心考点突破练
考点一 空间中的平行关系
方法技巧 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中 位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系. (2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.
1. 如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.