六年级上册数学讲义-小升初培优：第02讲 复杂行程问题(二)火车过桥问题(解析版)全国通用

第二讲复杂行程问题（二）
火车过桥问题
1、理解火车过桥行程问题的概念，掌握火车过桥问题中的基本数量关系；
2、学会解答火车过桥问题以及相关问题的变形，提高学员分析、解决问题的能力；
3、通过不同类型的行程问题的学习，培养学员学习数学的兴趣。

火车在行驶中，经常发生过桥、通过隧道、两车对开、错车、快车超越慢车等情况，通常，在行程问题中所涉及的运动物体（人或者车）是不考虑它本身长度的，可是考虑火车的行程问题时，因为一列火车有百米以上的长度，所以在解答问题时，火车本身的长度是不能忽略不计的。

因此，火车过桥是指“全车通过”，即从车头上桥直到车尾离桥才算“全车过桥”。

列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。

过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：
1、过桥的路程＝桥长＋车长
2、车速＝（桥长＋车长）÷过桥时间
3、通过桥的时间＝（桥长＋车长）÷车速
4、桥长＝车速×过桥时间－车长
5、车长＝车速×过桥时间－桥长
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。

问：火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间？
【解析】火车穿越隧道经过的路程为300＋150＝450（米），
已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为450÷18＝25（秒）。

解答：火车穿过隧道要25秒。

一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米。

两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多少时间？
【解析】两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离走过的距离为两个车的车长，速度为两车的速度之和，它们从车头相遇到车尾相离要经过（200＋180）÷（20＋18）＝10秒。

解答：车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过10秒。

甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米。

两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？ 讲演者：
得分：
讲演者：
得分：
【解析】两车追及过程两车的路程差就等于两辆车的长度之和，即370＋350＝720米。

而甲、乙两车的速度分别是15米/秒和21米/秒，所以追及时间是720÷(21-15)＝120秒
解答：乙车从追上甲车到完全超过甲车需要120秒。

双轨铁路上，有两列对开的火车相遇。

第一列火车的速度是72千米/小时，第二列火车的速度是90千米/小时，第一列火车上有一位乘客，看到第二列火车在面前通过，通过时花了8秒钟，求第二列火车车身的长度。

【解析】第一列火车的速度＝72千米/小时＝20米/秒，第二列火车的速度＝90千米/小时＝25米/秒；
所以第二列火车车身的长度为（20＋25）×8＝360米。

解答：第二列火车车身长360米。

许三多所在的钢七连队伍长600米，以每秒2米的速度行进。

许三多以每秒4米的速度从队尾跑到队头需要多少时间？然后从队头返回队尾，又需要多少时间？
【解析】许三多从队尾跑到队头跑过的路程为一个队伍的长度，所用时间为600÷（4－2）＝300秒。

然后从队头返回队尾，与队尾是追及问题，需要600÷（4＋2）＝100秒。

解答：300秒；100秒。

沿铁路有一条小道，一列长120米的火车以每时32.4千米的速度向北行驶，14时10分列车追上向北走的
一个工人，在他身边过了15秒，14时16分列车遇到一个向南走的学生，在他身边走了12秒，问工人、学生何时相遇？他们步行的速度各是多少？
【解析】这是一道比较复杂的相遇、追及混合的行车问题。

要求出工人、学生相遇的时间，就必须要知道某一时刻工人、学生相隔的距离以及两人的速度，但这三个量都是未知的量，这给解题带来了困难。

为了解决这个问题，让我们共同来分析一下有关相向和同向运动的情况。

火车和工人属同向（追及）运动的情况，相隔距离是火车全长120米，所以工人的速度可求；火车和学生属相向（相遇）运动情况，相隔距离是火车全长120米，故学生的速度也可求。

又因为火车从遇到工人到遇到学生总共行驶的时间是6分，所以工人和学生相隔的距离可求，从而他们相遇的时间可求，问题得解。

解答：先转换火车的速度：32.4×1000÷3600＝9米/秒。

由追及问题可知，工人速度：9－120÷15＝1米/秒，
由相遇问题可知，学生速度：120÷12－9＝1米/秒。

工人和学生在14时16分时相隔的距离为：（9－1）×（6×60）＝2880米，
从14时16分到工人和学生相遇，需要时间是：2880÷（1＋1）＝1440秒＝24分。

从而可知，工人和学生的相遇时间是：14时16分＋24分＝14时40分。

一列客车和一列货车同向而行，已知客车的总长为200米，货车的总长为400米，客车从追上货车（即客车头追上货车尾）到离开货车的这段时间里，货车总共走了600米。

已知客车的速度为每小时72千米，求货车的速度。

如果两车相向而行，那么从相遇到错开需要多少时间？
【解析】与错车相反，这里是同向追上并超过，它的整个过程是：在这段时间里，客车车头追上货车车尾，直到客车车尾离开货车的车头。

因此，整个追及路程为两列火车的长度之和。

在整个追及过程中，火车行了600米，客车比火车多行了（追及路程）200＋400＝600米，那么，客车速度为货车速度的（600＋600）÷600＝2倍；所以，货车速度为72÷2＝36千米/小时。

解答：错车时间为：[（200＋400）÷1000]÷（72＋36）×3600＝20秒。

（1）一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间？
（2）一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒。

这个山洞长多少米？
【解析】（1）火车经过隧道时行驶的总路程是火车车长与隧道长之和，即400＋2800＝3200米. 由于火车的速度是每分钟800米，因此火车经过隧道的时间是3200÷800＝4分钟。

（2）根据“路程＝速度×时间”，得火车以15米/秒的速度行驶64秒。

所经过的路程是15×64＝960米，即火车与山洞的长度之和。

而火车的长度是720米，所以山洞的长度是960-720＝240米。

解答：（1）4分钟；（2）240米。

有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米。

试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间？如果两车同向而行，客车赶超货车（从追上到完全超过）需要多长时间？
【解析】两列火车所走的路程差为两列火车的长度之和。

因此，两车从相遇到错开共走了400＋800＝1200米。

所用时间为1200÷（10＋20）＝40秒。

客车从追上货车开始到完全超过货车两车的路程差为400＋800＝1200米，所用时间为1200÷（20-10）＝120秒。

解答：（1）40秒；（2）120秒。

两列火车同时同方向齐头并进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车。

如
果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车。

请问：快车和慢车的车长分别是
多少米？
【解析】解答：12×（18-10）＝96米，（18-10）×9＝72米。

中国古代数学著作—《四元玉鉴》
朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”。

朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。

《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展；《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。