matheamatica在物理中的应用

教学工作者通过Mathematica的互动型教学模式激发学生的兴趣，加深他们的理解，使学生拥有丰富的技能面向自己的未来。

科研工作者可以应用Mathematica快速准确地分析科研数据、验证理论假设、整理研究结果。

因为Mathematica提供越来越多的功能，可替代多种专门软件，院校单位能够以低廉的价格在全校园范围内使用
教学应用
集强大的计算能力、动态可视化引擎、专业水准的文件处理与演示工具为一体，Mathematica为组织教学材料提供了一个完整划一的工作环境。

您再也不必在不同的软件间跳来跳去就可完成您要做的一切。

从理念到教学计划
不管您是在做课程设计还是对其进行修改，Mathematica将帮您组织、测试你的构想，使之迅速形成一个现实的教学计划。

主要性能:
在课堂上求解问题
用二维或三维图形演示数据或函数
用随时可用的数据集来分析真正的数据
在同一文档中对讲义、方程、例题计算、图形、参考资料及超链接进行编译函数参考:
数学函数»
公式推演»
方程求解»
矩阵与线性代数»
微积分»
最优化»
统计»
多项式代数»
离散数学»
数论»
逻辑与布尔代数»
数据可视化»
函数可视化»
符号化图语言»
计算几何学»
可计算数据»
设计与演示演讲内容
Mathematica让您把所有您制作的演讲材料，包括讲义、方程、示例、图形、演示等等，融入一个动态演示中。

而且你还可以随意对其进行修改。

主要性能:
以标题、章节、列表等方式为您的文档设计格式
即时撰写讲义或提纲
将文档转换成互动型幻灯片，具有完全可编辑的互动型内容
通过一个电子白板，用工具栏与您的文档互动，可以不用键盘函数参考:
用Mathematica演示»笔记本基础»
笔记本格式与风格设计»
文档生成»
生成专业化格式文档(新功能)
无论是制定教学大纲、授课安排，抑或是给学生布置作业、设计试卷，Mathematica让您自如地在您的文档中引入技术元素而根本不影响其美观。

主要性能:
制作课堂教学讲义、作业、试卷、答案要点
轻松设计文件的风格和格式
文档中可以包含完全可计算的，具出版质量的排版式数学公式与符号
以跨平台笔记本、专业质量的打印件、PDF文件、网页等形式分发文件函数参考:
笔记本基础»
笔记本格式与风格设计»
笔记本与界面的用户化设计»
笔记本中的导入与导出»
文档生成»
为学生设计互动型实验室活动/课题
用Mathematica制作互动模型能够帮助学生理清疑难概念，检验理论结果，从而快速而深入理解所讲授的内容。

主要性能:
用一条命令构建互动式模型和演示
查看文本、函数、公式、矩阵、图形、表格、甚至数据的变更
让学生在不依赖平台的文件内完成作业函数参考:互动式操作»动态可视化»可视化与图»符号化图语言»计算几何学»
Mathematica 学生版具有与Mathematica完全相同的功能及多用途属性，但价格只是它的几分之一。

它是一款在您完成学业及开创事业中带来显著优势的最佳软件。

Mathematica优势
Mathematica 学生版是一项极佳的投资，因为它随同您一道升值。

您可以从学生阶段一直使用到您事业有成。

使用Mathematica 学生版，您可以...
∙取得更高的学习成绩
Mathematica能助您掌握各种概念，让您在在校期间乃至毕业后都取得更好的成绩。

∙节省开支
您可将Mathematica用于各种课程，作业及课题，而无需为每一项工作购买专门的软件。

∙节省时间
Mathematica无需投入任何时间去学习就可以立即使用。

∙应对您的未来
使用Mathematica意味着您在学习使用一款为世界范围内的财富500强公司、政府机构、实验室及高校所使用的软件。

微积分与分析
Mathematica 学生版覆盖许多应用领域，非常适合各种不同的课堂应用以及处理任何类型的问题，包括数值式的或符号式的、理论的或实验的、大型的或小型的等问题。

自由格式语言输入方式让您能够立即使用，无需句法知识。

(优点)
∙推导公式、求解方程、证明定理
∙分析数学函数及复数
∙解决线性与非线性最优化问题
∙求解积分与微分方程
∙导入您自己的数据或者根据需要加载我们为您准备的专业数据
∙用各种统计手段及概率分布来分析大小几乎不限的数据集
∙对矩阵、字符串和数组进行操作
∙对图像和信号数据进行预处理和后处理
学习与探索
应用Mathematica 学生版，一切都可以成为互动型。

您可以建立自己的模型，完全采用直观的控制方式，通过一个命令，瞬间改变参数值。

无论你需要理解课堂上讲授的概念，还是为您的研究课题建立模型，Mathematica总能成为您的好帮手。

∙传统方法无法完全做到的现象分析与调研
∙查找文本、函数、公式、矩阵、图形、表格或数据的变化
∙阐明数学、科学、技术、艺术、金融及其它领域的各种概念
∙创建数值模拟来验证理论假设
∙从Wolfram 演示项目下载代码开放的互动型模型并根据用户需要进行调整图示与可视化
从简单的曲线图到优美的三维模型，Mathematica强大的绘图功能让您对数学函数和曲面、科学数据及特定物体进行可视化。

而自动化的外观调整更确保您获得准确满意的结果。

(优点)
∙将数据可视化以发现潜在的结构
∙创建任意大小的结构化和非结构化数据集的静态或动态表示
∙将大型、复杂和不规则采样的数据可视化
∙生成二维或三维的直方图和统计图表、散布图和线状图、等值线图和密度图、流与向量场、图和网络图
∙分析和呈现几何结构
∙实时旋转与缩放三维图像以细查感兴趣的区域
撰文与发表
Mathematica的用户化文本，笔记本，让您将文字、排版式公式、图形、计算及动态模型融为一体。

您再也不需要在不同的程序间跳来跳去就可以完成您的作业和课题。

∙轻松设计文件的风格和格式
∙笔记本中可以包含完全可计算的、具出版质量的排版式数学公式与符号
∙添加引文、标题、章节、列表等等
∙将文本转换成具有完全可编辑和互动型内容的互动型透明片形式
∙以跨平台笔记本、专业质量打印件、PDF、网页等形式将您的作业上交给您的老师
∙以TeX 和LaTeX 格式导出文件以便发表
图像处理
Mathematica对编程式的和交互式图像处理都提供内置的支持，和Mathematica强大的数学和算法功能完全地结合在一起. 你能创建和导入图像，用内置函数对它们进行操作，应用线性的和非线性的滤波器，以及用几种不同的方式来显现它们.
图像创建和表示
图像可以通过数值数组，通过对Mathematica图形剪贴的方法，以及通过用Import从外部来源来创建.
Image
Image[data]
一个光栅图像，其像素值由数组data给出.
Image[graphics]
从一个图形对象创建一个光栅图像.
Image
给出使用指定选项的图像.
从一个3×3 数组创建一个图像对象
Import
Import
从文件中导入数据，将返回相应的Mathematica 格式.
Import
从文件中导入指定元素.
Import和Import
从任何可访问网址导入.
基本图像操作
考虑通过剪切或填充来改变图像尺寸的图像操作. 这些操作有各种不同的用处. 剪切允许你从一个大的图像中选择一部分来创建出一个新的图像，而在图像处理中，填充通常是用来在边沿上延伸图像以确保边沿像素的均匀处理.
ImageTake[image,n]给出一个由image的前n行组成的图像
ImageCrop[image]通过去除颜色均匀的边沿来剪切image
ImagePad[image,m]用m个背景像素来填充image的所有边沿
In[21]:=
Out[21]=
ImageRotate是另一个常用的空间操作. 它产生的图像，其所有像素都相对于图像中心的支点有一个逆时针旋转.
这里将例图旋转了30度.
In[22]:=
Out[22]=
用点操作来处理图像
点操作构成一个简单但重要的一类图像处理操作. 这些操作改变一个图像的明视度的数值因而改变一个图像的显示外观. 这个术语起源于这样一个事实，那就是点操作取单个的像素作为输入. 可以这样表达
这里是一个灰度变换，它指定了一个在输入图像和结果之间的映射，和表示像素的行和列的指标. 点操作是一个根据某个定义T 变换的函数在原始的（输入）和修改了的（输出）图像之间的一对一的映射.
对比度修改
在图像处理中经常遇到的对比度修改的点操作包括求反（灰度的或彩色的），gamma（伽玛）校正（一个幂律变换），以及线性和非线性的对比度伸展.
Lighter[image,]给出image的一个亮一点版本
Darker[image,]给出image的一个暗一点版本
ColorNegate[image]给出image的负本，在其中所有的颜色都被求反了
ImageAdjust[image]调整image中的级别，使它们按比例调节到0到1的范围里ImageApply[f,image]把f应用于image中每一像素的通道值列表
最简单的点变换的例子之一是求反. 对一个灰度图像f，这个变换被定义为
.
它被用于源图像的每一个像素. 在多通道图像的情况下，同样的变换被用于每一像素的每一颜色值.
正文
第一部分Mathematica数学软件中的绘图功能
在物理课堂教学中，为了使一些很抽象、难理解的概念及物理现象便于学生理解或者提高学生学习物理的兴趣，我们利用Mathematica数学软件中的绘图功能，将这些比较难理解的概念、规律、曲线进行可视化，使学生们在轻松愉快的环境中学习物理。

1、绘制题目图像（静态图像）
例题1：单摆
Graphics[{{Dashed,Line[{{0,0},{0,-1}}]},{Thickness[0.01],Line[{{0,0},{0.2,-0.98}}]}, {Circle[{0,0},1,{-Pi/2-5 Pi/50, -Pi/2+ 5 Pi/50 }]},
{Green,Thickness[0.05],Line[{{-0.05,0},{0.05,0}}]}, Pink,Disk[{0.2,-0.98},0.05]},
{Circle[{0,0},0.2,{-Pi/2,-Pi/2+3 Pi/50}]}, {Text[Style[" ",Bold,18],{0.04,-0.3}]}}]
图1
解析：
Graphics[primitives,选项]表示按选项画二维图元素primitives
Graphics[{Dashed,Red,Line[{{0,0},{0,-1}}]}] 表示从坐标{0,0}到坐标{0,-1}的红色虚线, Dashed表示所画线是虚线。

Graphics[{Thickness[0.01],Line[{{0,0},{0.2,-0.98}}]}]表示从坐标{0,0}到坐标{0.2,-0.98}的厚度为0,01的线，Thickness表示所画图像的曲线厚度。

Graphics[{Blue,Circle[{0,0},1,{-Pi/2-5 Pi/50,-Pi/2+5 Pi/50}]}]表示圆心在{0,0}，半径为1，从弧度-Pi/2-5 Pi/50到弧度-Pi/2+5 Pi/50的蓝色圆弧线
Graphics[{Green,Thickness[0.05],Line[{{-0.05,0},{0.05,0}}]}]表示从坐标{-0.05,0}到坐标{0.05,0}的厚度为0.05的绿线
Graphics[{Pink,Disk[{0.2,-0.98},0.05]}]表示圆心在{0.2,-0.98}半径为0.05的粉色填充圆
Graphics[{Orange,Circle[{0,0},0.2,{-Pi/2,-Pi/2+3 Pi/50}]}]表示圆心在{0,0}，半径为0.2，从弧度-Pi/2到弧度-Pi/2+3 Pi/50的橘色圆弧线
Graphics[Text[Style[" ",Bold,18],{0.04,-0.3}]]表示在坐标{0.04,-0.3}上标记大小为18，粗体的
Line[{{x1,y1},{x2,y2}…}]表示连接从坐标{x1,y1},{x2,y2}到…的线段 Circle[{x,y},{rx,ry}]表示半轴分别为rx,ry 的椭圆 Circle[{x,y},r,{theta1，theta2}]表示圆弧
Circle[{x,y},{rx,ry},{theta1，theta2}]表示椭圆弧 Text[expr,{x,y}]表示在{x,y}开始书写文本。

f [x ]方括号用于表示函数
{ }花括号用于表示列表
通过Mathematica 数学软件的Graphics[primitives,选项]函数使得教师在物理课堂中讲解物理习题时，不必将题目中的图像用粉笔在黑板上绘制出来，运用Mathematica 将图像色彩的呈现给学生，然后让学生通过看图思考。

如题目要求画出单摆在某一时刻的受力分析图，我们可以让学生在下面先自己思考，然后使用Mathematica 将受力分析图画出来，如图2。

G
T
图2
要想绘制出图2，只需要在原编码里再加一些函数就可以得出上面的图示。

2、 制作动态图形
可视化是指将科学计算中产生的大量非直观的、抽象的、静态的或者不可见的数据和信息，借助计算机图形学和图像处理等技术，用几何图形、色彩、纹理、透明度、对比度即动画技术等手段，以图形图形处理的形式，直形象的表达出来，这些表达是可控制和可交互的。

（基于Mathematica 的交互式动态可视化设计及其应用）
Mathematica 不但能产生静态图形，而且也能够产生动态图形。

有两种形式，一种形式是制作动画，制作原理很简单，就是把Mathematica 绘制的图一张张快速的显示出来，从而形成动画。

图画越多，每帧图片的显示时间就越短，效果就越好；另一种形式就是随时间变化的动态演示。

例题1：模拟地、月、日三球运行模型（203页例题7）
根据天文数据：太阳半径696000公里，地球半径6378.14公里，月球半径1738公里；地球绕日轨道半径149597870公里，公转半径365.25日；月球绕地轨道半径363300—405500公里，公转周期29.53059日，对地球轨道倾角4°57′—5°19′。

a=4.055;b=3.633;c=Sqrt[a^2-b^2];
d=14.959787;
r0=1;r1=0.7;r2=0.5;
s=(77/15) Degree;
w1=2 Pi/29.53059;w2=2 Pi/365.25;
cost=Cos[theta];sint=Sin[theta];
Manipulate[Show[Graphics3D[{Yellow,Sphere[{0,0,0},r0],t}],Graphics3D[{Blue,Sphere[{d* Cos[w2*t],d*Sin[w2*t],0},r1]}],ParametricPlot3D[{d*cost,d*sint,0},{theta,0,2 Pi} ，
PlotStyle {Red}],ParametricPlot3D[{(a*cost-c)*Cos[s]+d*Cos[w2*t],b*sint+d*Sin[w2*t],-(a*cost
-c)*Sin[s]},{theta,0,2
Pi},PlotStyle {Black}],Graphics3D[{Orange,Sphere[{(a*Cos[w1*t]-c)*Cos[s]+d*Cos[w2*t],b*Si
n[w1*t]+d*Sin[w2*t],-(a*Cos[w1*t]-c)*Sin[s]},r2]}],Boxed False],{t,0,36525,1}]
图3
解析：
a=4.055;b=3.633;c=Sqrt[a^2-b^2] 表示月球绕地轨道长短半轴
d=14.959787 表示地球绕日轨道半径
r0=1;r1=0.7;r2=0.5; 表示太阳、地球、月球半径
s=(77/15) Degree; 表示月球轨道地球轨道夹角
Degree 表示Pi/180角度弧度换算
w1=2 Pi/29.53059; 表示月球绕地球公转角速度
w2=2 Pi/365.25; 表示地球绕太阳公转角速度
theta在Mathematica软件中表示
cost=Cos[theta];sint=Sin[theta]; 表示cost被赋予为Cos[theta]函数，sint被赋予Sin[theta]函数Manipulate[expr,{u,ua,ub}]表示给出的表达式expr控制量u在区间{ua,ub}上的所有值
Show[pic1,pic2,…]表示将图pic1,pic2,…放在一幅图中显示
Graphics3D[图元素，选项]表示图元素三维呈现出来
Graphics3D[{Yellow,Sphere[{0,0,0},r0],t}]表示圆心在坐标{0,0,0}，半径为r0的黄色球
体（即表示太阳）
Graphics3D[{Blue,Sphere[{d*Cos[w2*t],d*Sin[w2*t],0},r1]}]表示圆心在以太阳半径围
城的圆上动态变化，半径为r1的蓝色球体（即表示地球）
ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,t0,t1},选项]表示在三维空间中按选项绘制空间曲线{x,y,z},t 在{t0,t1}范围内变化
Manipulate[ParametricPlot3D[{d*cost,d*sint,0},{theta,0,2 Pi} ，PlotStyle {Red}]]表示在三维空间以{0,0,0}为圆心，以d为半径的红色圆弧（即地球绕太阳公转时路径）ParametricPlot3D[{(a*cost-c)*Cos[s]+d*Cos[w2*t],b*sint+d*Sin[w2*t],-(a*cost-c)*Sin[s]}，{theta,0,2 Pi},PlotStyle {Black}]表示月球绕地球转时的黑色椭圆弧
Graphics3D[{Orange,Sphere[{(a*Cos[w1*t]-c)*Cos[s]+d*Cos[w2*t],b*Sin[w1*t]+d*Sin[w2* t],-(a*Cos[w1*t]-c)*Sin[s]},r2]}]表示圆心在函数{(a*Cos[w1*t]-c)*Cos[s]+d*Cos[w2*t]，
b*Sin[w1*t]+d*Sin[w2*t]，-(a*Cos[w1*t]-c)*Sin[s]}变化动态运动，半径为r2（即月球圆心轨道）
{t,0,36525,1}表示模拟三球运行十年
通过Mathematica绘制出太阳、地球、月球三球运行模型，使得我们在讲解日食月食时，除了给同学们观看视频之外，还可以用Mathematica软件将三者转动时的运动轨道呈现给同学，当三者在一条直线时，按下暂停，让学生可以形象的观察到三者的联系，与此同时，还可以让学生在课间休息时自己动手操作一番。

例题2：月球绕地球运动
a=4.055;b=3.633;c=Sqrt[a^2-b^2];
r1=0.7;r2=0.5;
s=(77/15) Degree;
w1=2 Pi/29.53059;
Manipulate[Show[Graphics3D[{Blue,Sphere[{0,0,0},r1] ,t}],ParametricPlot3D[{(a*Cos [ ]-c)*Cos[s],b*Sin [ ],-(a*Cos [ ]-c)*Sin[s]},{ ,0,2
Pi},PlotStyle {Black}],Graphics3D[{Orange,Sphere[{(a*Cos[w1*t]-c)*Cos[s],b*Sin[w1*t],-(a*C os[w1*t]-c)*Sin[s]},r2]}],Boxed False],{t,0,370,1}]
图4
解析：
a=4.055;b=3.633;c=Sqrt[a^2-b^2] 表示月球绕地轨道半长短轴
r1=0.7;r2=0.5; 表示地球、月球半径
s=(77/15) Degree; 表示月球轨道地球轨道夹角
Degree 表示Pi/180角度弧度换算
w1=2 Pi/29.53059; 表示月球绕地球公转角速度
Manipulate[expr,{u,ua,ub}]表示给出的表达式expr控制量u在区间{ua,ub}上的所有值
Show[pic1,pic2,…]表示将图pic1,pic2,…放在一幅图中显示
Graphics3D[图元素，选项]表示图元素三维呈现出来
Graphics3D[{Blue,Sphere[{0,0,0},r1] ,t}]表示圆心在{0,0,0}，半径为r1的蓝色球体（即
表示地球）
ParametricPlot3D[{x,y,z},{t,t0,t1},选项]表示在三维空间中按选项绘制空间曲线{x,y,z},t
在{t0,t1}范围内变化
ParametricPlot3D[{(a*Cos [ ]-c)*Cos[s],b*Sin [ ],-(a*Cos [ ]-c)*Sin[s]},{ ,0,2
Pi},PlotStyle {Black}]表示月球绕地球公转轨道黑色椭圆弧
Graphics3D[{Orange,Sphere[{(a*Cos[w1*t]-c)*Cos[s],b*Sin[w1*t],-(a*Cos[w1*t]-c)*Sin[s ]},r2]}],Boxed False]]表示月球绕地球运动时圆心轨道
{t,0,270,1}表示在{0,270}时间范围内模拟月球绕地球运动
图5
通过上图，我们就会发现在Mathematica数学软件播放动画时与其他动画制作软件不同的
是，在窗口上会显示出一个“+”，点击其会出现这些按钮，我们可以利用这些按钮实现动画的正向播放、循环播放、反向播放、暂停以及播放速度调节（慢放、快放）等操作。

Mathematica的这一优点使我们可以把自然界中无法操控的物理过程随意加快或者减慢，以帮助对物理现象和物理规律的理解力还十分有限的学生更好的感性认识。

（巧用Mathematica化解物理教学难题）
例题3：画个从不开心到开心的表情（动态）
Animate[Plot[t (x^2-1)+(1-t)
(-x^2),{x,-1,1},Epilog {Circle[{0,1},3],{Green,Disk[{1,1.8},0.3]},{Pink,Disk[{-1,1.8},0.3]},Cir cle[{1,1.8},.7,{Pi/4,3 Pi/4}],Circle[{-1,1.8},.7,{Pi/4,3
Pi/4}],Line[{{0,0.6},{-1,0.6},{0,1.6}}]},PlotRange {{-3,3},{-2,4}},AspectRatio 1],{t,0,1}]
图6
解析：
Animate[expr,{u,umin,umax}]表示在{u,umin,umax}区域内动态演示表达式expr
Circle[{0,1},3]表示圆心在(0,1),半径为3的圆
Disk[{1,1.8},0.3]表示圆心在(0,1),半径为0.3的填实圆
Circle[{1,1.8},.7,{Pi/4,3 Pi/4}]
表示圆心在(0,1),半径为0.7的从弧度Pi/4到3Pi/4的椭圆弧线
Line[{{0,0.6},{-1,0.6},{0,1.6}}] 依次连接相邻两点的线段
当在编码中打出Axes False表示无坐标。

3、声音播放
Mathematica除了能动画制作、超链接、程序设计以及与C语言和Fortran语言实现连接外，还可以在播放图片时播放声音。

例题1：演奏世上只有妈妈好。

f[m_,t_]:=Play[{Sin[512*2^(2/12)*2 Pi*x],Sin[509*2^(m/12)*2 Pi*x]},{x,0,t}];
Show[{f[9,0.927],f[7,0.309],f[4,0.618],f[7,0.618],
f[12,0.618],f[9,0.309],f[7,0.309],f[9,1.236],
f[4,0.618],f[7,0.309],f[9,0.309],f[7,0.618],
f[4,0.618],f[0,0.309],f[-3,0.309],f[7,0.309],
f[4,0.309],f[2,1.236],f[2,0.927],f[4,0.309],
f[7,0.618],f[7,0.309],f[9,0.309],f[4,0.927],
f[2,0.309],f[0,1.236],f[7,0.927],f[4,0.309],
f[2,0.309],f[0,0.309],f[-3,0.309],f[0,0.309],
f[-5,1.854]}]
图7
f[m_,t_]:=Play[{Sin[512*2^(2/12)*2Pi*x],Sin[509*2^(m/12)*2 Pi*x]},{x,0,t}]表示f[m_,t_]被动态赋予为Play[{Sin[512*2^(2/12)*2 Pi*x],Sin[509*2^(m/12)*2 Pi*x]},{x,0,t}]振幅函数 Play[f,{t,tmin,tmax}]表示在[tmin,tmax]秒之间播放的振幅函数f Show[f1,f2,…]表示将众多的振幅函数组合在一起播放
第二部分 Mathematica 数学软件中强大的计算功能
1、 数据处理
在普通物理实验中，数据处理是十分重要的。

由于Mathematica 具有丰富的数值计算功能，所以在物理实验教学中就可以利用Mathematica 强大的数值计算功能并结合绘图功能，高效地处理实验数据。

在高一物理实验：用打点计时器测速度（逐差法），这个实验的目的是将实验中所测得的数据通过描点法绘制v-t 图像，最后得出来的图像是一条倾斜的直线，从而得出小车在下落过程中速度均匀变化。

这样在下节课的课堂教学中，方便引出加速度。

但是学生在一开始绘制图像时，绘画出的通常是一条弯曲的曲线，这样就给下节课的教学带来了一定麻烦，所以教师可将自己所测得数据或在实验中操作性进行的比较好的学生所得的数据利用Mathematica 软件将其画出来，可视化给学生，使得学生在以后学习加速度时更加明白其表达式a=
t
v
∆∆的得出由来以及在v-t 图像中的物理意义。

例题1：将这些坐标{0,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10}在坐标轴上描绘出来，并连接起来。

ListLinePlot[{{0,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10}},Mesh →All,MeshStyle →Directive[Poi ntSize[Medium],Red]]
12345
6
7
8
9
10
图8
解析：
ListLinePlot[{x1,y1},{x2,y2}，...}]按选项连接数据点{x1,y1},{x2,y2},…… Mesh 表示网格间距，默认值是None 。

MeshStyle →Directive[PointSize[Medium],Red]表示网格样式，这些数据点红色表示且大小中等。

这样就可将学生实验所得测出的数据通过ListLinePlot 函数描绘出来，使得学生更加清晰直观了解学生操作实验的意义。

在Mathematica 中与普通物理实验数据处理相关函数还有：
（1） SampleRange[data]：表示表data 中数据的极差（最大数减最小数）
（2） Median[data]：表示求中值∑=n
i i
x n 1
1
（3） Variance[data]：表示求方差
2
1
)(11∑=--n
i i x x n
（4） StandardDeviation[data]：表示求标准偏差
∑=--n i i
x x n 1
2
)(11
在普通物理实验中每个实验都要涉及数据处理，如长度测量、密度测量、伸长法杨氏模量的测定、表面张力系数的测定等，运用Mathematica 的函数能有效的处理数据试验，减少计算量。

（普通物理实验中Mathematica 软件的应用）
2、数据拟合
物理学是一门定量化的实验科学，在物理理论的建立过程中，往往需要经历从实验数据到经验公式，再到理论模型的过程。

在这个过程中，经常出现一些半经验理论公式，这些半理论公式中存在若干个待定的参数，需要靠实验数据来确定，是一种半已知的函数，由于理论模型的近似性和实验数据的误差性，我们不能指望半理论公式与实验数据完全一致，只能要求两者之间的平均平方偏差尽可能小，这个过程数学上陈伟曲线拟合。

由此确定最佳参数的方法称为最小二乘法。

（mathematica 非线性拟合功能及其在物理学中应用）
例题2：
在物理学的科学探究过程中，经常需要对实验数据进行曲线拟合。

而作为拟合模型的半理论公式常常是非线性的，这样就出现了一些计算困难，利用Mathematica 数学软件，就可以方便的确定你和参数，为学生开展科学探究活动提供有力的工具。

（mathematica 非线性拟合功能及其在物理学中应用）
3、演示物理现象
物理中有许多复杂的数学计算往往使学生把精力放在解题上，忽视了物理图像、物理规律和物理思想方法，从而产生了物理枯燥、无趣、难学等错误思想，如何克服这个问题是物理老师在进行物理教学时必须解决的一个难题。

利用Mathematica 软件在数学计算方面强大的功能，可以化解这个难题，使学生学习的知识由难变易，把更多的问题放在分析物理问题、领会物理思想、培养学生科学思维方法等方面。

（运用Mathematica 软件辅助大学物理教学）并结合Mathematica 的绘图功能使一些难理解的物理现象或规律将其以简单的曲线图或优美的三维模型可视化的呈现给学生，使学生能够更加清楚明白。

例题1：一质点运动方程为x=t 2
,y=(t-1)2
,其中x,y 以m 为单位，t 以s 为单位。

试写轨迹方程，并在Oxy 平面内示意画出轨迹曲线。

（运用Mathematica 软件辅助大学物理教学 例题4）
解析：
教学实践过程中，本体轨迹方程很容易被学生求解出来y =x —1，但是学生忽略了
已知条件中间接限定的y 大于等于0的条件。

Plot[Sqrt[y]=Sqrt[x]-1,{x,0,5}]
12345
1.0
0.5
0.5
1.0
Plot[(y=Sqrt[x]-1)^2,{x,0,5}]
12345
0.2
0.40.60.81.01.21.4
图9
如果用Mathematica 把轨迹曲线画出来，就会发现两者的区别，就会马上发现第二个式子是正确的，用Mathematica 软件画图不仅直观而且提高效率，而且使学生一目了然知道自己错在哪里。

力学中的简谐运动的合成分析，用单纯的公式表达过于抽象，而且公式比较复杂，计算起来也十分困难。

因此，用Mathematica 软件运用于此，方便地解决了让我们头疼不已的简谐振动合成的规律，使我们更加清晰了解简谐振动合成变化规律。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
（1）同方向同频率的简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动为：
X 1=A 1cos(0ωt+1α) X 2=A 2cos(0ωt+2α)
式中X 1 ，X 2，A 1，A 2以及1α，2α分别表示两个振动的位移，振幅和初相位，0ω表示他们共同的圆频率，因为两个振动在同方向上进行，故质点的合位移等于分位移的代数和，X= X 1 +X 2= A 1cos(0ωt+1α)+ A 2cos(0ωt+2α)。

余函数展开再重新并项，得出X= (A 1cos 1α+ A 2cos 2α) cos 0ωt —（A 1sin 1α+ A 2sin 2α）sin 0ωt,式中cos 0ωt 和sin 0ωt 的系数为A 1、A 2、1α和2α决定的两个常数，将它们记作Acos α和Asin α，得
Acos α= A 1cos 1α+ A 2cos 2α Asin α= A 1sin 1α+ A 2sin 2α
于是有X= Acos α cos 0ωt —Asin α sin 0ωt= Acos （0ωt +α）。

由此可见，同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一个简谐振动，其频率与分振动频率相同，合振动的振幅与初相位A ，α由分振动的振幅和初相位A 1，A 2，1α，2α决定，
A=
)cos(212212
221αα-++A A A A
cos α= （A 1cos 1α+ A 2cos 2α）/A sin α= ( A 1sin 1α+ A 2sin 2α) /A
取A 1=1，A 2=2，1α=0，2α=π/4，0ω=1，用Mathematica 绘制它们单独作用的振动图像及合成图像。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
Plot[{Cos[t],2 Cos[t+Pi/4]}, {t,-2 Pi,2 Pi}, AxesLabel →{"t/s","x/mm"}]
642246
t
s
2
1
1
2
x
m m
图10
蓝色表示Cos[t]随时间的振动图像，暗红表示2 Cos[t+Pi/4]随时间的振动图像，AxesLabel 表示给坐标轴加上名字。

AxesLabel →{"t/s","x/mm"}表示在画出来的坐标上做"t/s","x/mm"标记。

Plot[Cos[t]+2Cos[t+Pi/4],{t,-2Pi,2Pi},AxesLabel →{"t/s","x/mm"}]
642
246
t
s
2
1
1
2
x
m m
图11
如图表示两个同方向同频率简谐振动的合成的振动图像 （2）同方向不同频率的简谐振动的合成
设质点参与同方向的两个简谐振动，他们的频率分别为1ω和2ω。

为了突出频率不同引起的效果，简化计算，设两个简谐振动的分振幅相同，且初位相都等于0，X 1=Acos 1ωt ，X 2=Acos 2ωt 。

合振动的位移为X= X 1+ X 2=Acos 1ωt ， +Acos 2ωt ，研究这种振动的合成最直接的方法就是画出各振动的位移时间图。

取A=1，1ω=1，2ω=2，用Mathematica 绘制它们单独作用的振动图像及合成图像。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
Plot[{Cos[t],Cos[2t]},{t,-2Pi,2Pi},AxesLabel →{"t","x"}]
642246
t
1.0
0.5
0.5
1.0
x
图12
Plot[{Cos[t]+Cos[2t]},{t,-2Pi,2Pi},AxesLabel →{"t","x"}]
642
246
t
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
图13
由图我们可知，他们的合振动显然不是简谐振动，但是ω有一定的周期性。

若两个不同频率的简谐振动可合成为一周期运动，则此合振动的周期称为“主周期”，通过上面的分析，我们可知主周期有两个特点：第一，主周期是分振动周期的整数倍；第二，主周期是分振动周期的最小公倍数。

其实只有满足上面两个条件，才有可能是合振动具有一定的周期性。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
（3）互相垂直同频率的简谐振动的合成
一般说来，二互相垂直同频率的简谐振动的振幅和初相位是不相同的，现将分振动的运动学方程表示如下：
X=A 1cos(0ωt+1α)
Y=A 2cos(0ωt+2α)
从上面方程中消去t ，得出)()(2122122
1222212αααα-=--+Sin Cos A A XY
A Y A X
此为一椭圆轨迹方程，椭圆的形状大小以及长短轴方位由振幅A 1，A 2以及相位差（2α—1α）决定。

下面取初始值A 1=1，A 2=2，,0ω=1，1α=0用Mathematica 绘制出在不同相位差时（每个图相差π/4）的两个分振动的合成振动图像。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
双击任意一副图像可观察到利萨如图形随时间和初相位不同而改变的动画。

For[A1=1;A2=2;
0ω=1; 1α=0; 2α=0, 2α<2Pi, 2α+=Pi/4];
ParametricPlot[{A1 Cos[0ωt+1α],A2Cos[0ωt+2α]},{t,-2 Pi,2 Pi}]
解析：For 的循环结构 For[init,cond,incr,expr]
即For[初始值，条件，修正循环变量，循环体] X+=y ，表示x=x+y
例题1：计算1+2+3+…+10
In[1]=For[s=0;n=1,n 10,n++,s+=n];s Out[1]=55 作图
（4）互相垂直不同频率的简谐振动的合成
一般说来，在互相垂直的分振动频率不相同条件下，合振动的轨迹不能形成稳定的图线，但如果分振动频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比，初相位有关，这些曲线叫做利萨如图形。

仿照上面做法：取初始值A 1=1；A 2=2；1ω=1；1α=0；2α=0；k=3/4；2ω=k 1ω，其
中k 可取任意有理分数，取
4
3
12=ωω，用Mathematica 绘制出互相垂直不同频率不同相位差时（每个图相差π/4）的两个分振动的合成振动图像。

（mathematica 在简谐振动合成分析中的应用）
作图
(5)一维阻尼运动
阻尼运动是指物体在震动过程中，振幅随时间减小的一种运动形式。

通常用阻尼系数来对阻尼运动进行分类，以弹簧振子为例。

假设在研究弹簧振子以不太大的速率在粘性介质中的振动实验时，弹簧所受的阻力与速
率成正比。

这时弹簧的振动就是阻尼振动，方程为022
022=++x dt dx dt
x d ωδ 上式中δ为阻尼系数，0ω为振动系数的固有角频率，。