数学高二下期末测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
2．设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan2α的值是( ) A ．3
B ．3-
C ．
3
3
D ．33
-
3．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
4．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．12
π
D ．
24
π
5．已知sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则cos2α的值为（ ）
A ．45
-
B ．
35 C ．35
D ．4
5 6．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）
A ．52,125πωϕ==
B ．5,126πωϕ==
C ．122,55
πωϕ== D ．12,56
πωϕ=
= 7．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤
⎪⎝
⎭，若ππ,612x ⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，()f x 的图象恒在
直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫
⎪⎝
⎭ B ．ππ,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
D ．ππ,63⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 8．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若
3,4
4ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且3sin 45
πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，则0x 的值为( )
A ．
310
B ．
210
C ．210
-
D ．310
-
9．已知角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<,则2sin cos αα+的值是 A ．1 B ．
25
C ．2
5
-
D ．-1
10．已知P （
14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪
⎝
⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54
π-
B ．54
π
C ．－
34
π D ．
34
π 11．在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用
,a b 表示为（ ）
A ．2CP a b =+
B ．CP a b =-
C ．1
2
CP a b =
- D ．1233
CP a b =
+ 12．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
13．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．sin 22y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．sin2cos2y x x =+
D ．sin cos y x x =+
14．如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
15．已知tan 3a =，则2
1
cos sin 22
a a +=（） A ．25
-
B ．3
C ．3-
D ．
25
二、填空题
16．已知(
,)2π
θπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4
π
θ+=_________________. 17．已知12,e e 是夹角为
3
π
的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___． 18．已知向量()()()1
2311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.
19．已知函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2
A π
ωϕ>><
图象上一个最高点P 的横坐标为
1
3
，与P 相邻的两个最低点分别为Q ，R .若PQR ∆是面积为解析式为y =__________.
20．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量
OB ，点C 在线段AB 上，若1
2
AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________．
21．空间四点,,,A B C D 满足3AB =，=7BC ，||=11CD ，||=9DA ，则
·AC BD =_______．
22．已知4tan()5
αβ+=
，1
tan 4β=，那么tan α=____．
23．若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________．
24．已知(,)P x y 是椭圆22
143
x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．
25．已知()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-，则sin 2sin 2αβ的值为__________．
三、解答题
26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 27．已知函数()()2
sin 22cos 106x x x f πωωω⎛
⎫
=-
+-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间.
（Ⅱ）若函数()y f x a =-在70,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零点，求实数a 的取值范围. 28．已知函数()2
sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭.
（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）求函数()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域. 29．已知()1,2a =，()3,2b =-.
（1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？ （2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？ 30．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；
（2）对向量()11,a x y =，()22,b x y =，定义一种运算：()
1221,f a b x y x y =-，试计算
()
,f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意
义.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．C 7．C
8．C
9．C
10．B
11．D
12．B
13．A
14．B
15．D
二、填空题
16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件
17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力
18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量
19．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案
20．【解析】【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面
21．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型22．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果
23．【解析】依题设由∥得解得
24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
25．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简
要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由AB DC
=可得四边形为平行四边形，由AC·BD＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵AB DC
=，
∴AB与DC平行且相等，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又0
⋅=，
AC BD
⊥，
∴AC BD
即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD 为菱形． 故选A ． 【点睛】
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
2．A
解析：A 【解析】
2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，
tan 2tan
3
π
α== A.
3．D
解析：D 【解析】
()()
1tan171tan28++0000000000
1tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+
000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡
⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化
5．A
解析：A 【解析】 ∵
sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11
tan α3tan α12
-==+，.
∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5
αααααα--==-
++ 故选A
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】
由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒=
1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25π
ϕ⇒=选择C. 【点睛】
由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定
ω，最后通过带值定ϕ. 7．C
解析：C 【解析】
分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤
⎪⎝
⎭，ππ,612x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，324
x π
π
ϕϕϕ+∈-
++（，），
又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，
22
2333304
2cos x cos x π
πϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，
解得04
π
ϕ≤≤
；
∴ϕ的取值范围是π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】
3,44ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
， ,42π
παπ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛
⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫==+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
4355=-=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
9．C
解析：C 【解析】
因为角α的终边过点()4,3(0)P m m m -<，所以sin α=3
5-，4
cos 5
α=
，所以2sin cos αα+=642
555
-+=-，故选C.
10．B
解析：B
【解析】 【分析】
由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】
因为512244πω⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得 ()24
k k Z ϕππ
=-
+∈，因为2
π
ϕ<
，所以5,4
4
π
π
ϕωϕ=-
-=
，故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用向量三角形法则得到：1212
++3333
CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】
利用向量三角形法则得到：
221212
++()++333333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.
α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，
α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，
所以“cos 02πα⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的必要非充分条件.
故答案为：B. 【点睛】
(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2
π
+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2
π
+
）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π
+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y ＝sin x +cos x =（x 4
π
+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；
故选A ．
考点：三角函数的性质. 14．B 解析：B 【解析】
∵21,33AD AC BP BD =∴=121
()393
AD AB AC AB -=-
∴22
39
AP AB BP AB AC =+=+
又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λ
λμμ
===
故选B.
15．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可得22
2
22
1cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a
++=+=+
221tan 132
1tan 135a a ++=
==++，故选D ．
【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
16．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件
解析：3
4
-
【解析】
试题分析：因为(
,)2
π
θπ∈，所以3(,)424π
ππθ-
∈，所以4
sin()45
πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即
tan tan
4431tan tan 4π
θπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan
71341741tan tan 4
π
θπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．
【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．
17．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】 先计算得到1212
e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2
(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】
12,e e 是夹角为3
π的两个单位向量1212
e e ⇒⋅=
12121222()3a b e e e e e e +=-++=-
22
22121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=
【点睛】
本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.
18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量
解析：【解析】 【分析】
利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】
∵()()1
23a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()1
3a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c
⋅=.
【点睛】
本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．
19．【解析】【分析】作出三角函数的图象结合三角形的面积求出三角函数的周期和即可得到结论【详解】不妨设是距离原点最近的最高点由题意知是面积为4的等边三角形即则周期即则三角形的高则则由题得所以又所以即故答案
解析：2
3y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和A ，即可得到结论． 【详解】
不妨设P 是距离原点最近的最高点， 由题意知||T RQ =，
PQR ∆是面积为
∴2
13
4322
T =216T =， 则周期4T =，即
24π
ω
=，则2
π
ω=
，
三角形的高2h A ==A =
则()3sin()2
f x x π
ϕ=+，
由题得3sin()=36πϕ+，所以()2,62k k Z ππ
ϕπ+=+∈
又2
π
ϕ<
所以2
6
3
π
π
π
ϕ=
-
=
，
即()3sin()23
f x x ππ
=+， 故答案为3sin 2
3y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．
20．【解析】【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面 解析：11
6
-
【解析】 【分析】
由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1
(2)3
OC OA AC OA OB =+=+，则1
(2)()3
OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】
单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为1
2
AC CB =
，所以
111
()(2)333
OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，
所以()
2211
(2)()233
OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=
+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤
⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
116=-
，故答案为11
6-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．
21．0【解析】【分析】由代入再由代入进一步化简整理即可【详解】因为故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算灵活运用数量积的运算公式即可属于常考题型
解析：0 【解析】 【分析】
由BD AD AB =-代入·AC BD ，再由AC AD DC AC AB BC ，=+=+代入进一步化简整理即可. 【详解】
因为()()()
······AC BD AC AD AB AC AD AC AB AD DC AD AB BC =-=-=+-+ ()
()
22
2
2
22211
··22
AB AD DC AD AB BC AB AD DC AD DC AD AB =+--=+
+-+--
()
()()
22222222211111
22222
BC AB BC AB AD AC DC AD AB AC +++=+-+--+ ()()
()222222111
811219490222BC AB AD DC AB BC +
+=--+=--+=. 故答案为0 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.
22．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果
解析：1124
【解析】
【分析】
根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果. 【详解】 已知()4tan 5αβ+=
,1 tan 4
β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24
αββαββ
+-=
=
++． 故答案为
1124
. 【点睛】
这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.
23．【解析】依题设由∥得解得
解析：3
4
-
. 【解析】
依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，
由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34
λ=-
. 24．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
【解析】
P x y （，）是椭圆22
143
x y +=＝1上的一个动点，
设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），
25．【解析】∵(α+β)+(α−β)=2α(α+β)−(α−β)=2β∴====故答案为：点睛：三角函数式的化简要遵循三看原则:一看角这是重要一环通过看角之间的差别与联系把角进行合理的拆分从而正确使用公
解析：1
3
-
【解析】 ∵()1
tan 2
αβ+=
，()tan 1αβ-=-， (α+β)+(α−β)=2α,(α+β)−(α−β)=2β，
∴
sin2sin2αβ=()()()()sin αβαβsin αβαβ⎡⎤++-⎣⎦
⎡⎤+--⎣⎦
=()()()()()()()()sin αβcos αβcos αβsin αβsin cos cos sin αβαβαβαβ+-++-+--+- =
()()()()
tan αβtan αβtan tan αβαβ++-+-- =13
-.
故答案为：1
3
-.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
三、解答题 26． （1）34-
（2
）16
【解析】
试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得2
2
2
3
2
a c
b a
c +-=-
， 根据余弦定理得
2
2
2
332cos 224
ac
a c
b B a
c ac -+-===-
； （2）由3cos 4B =-
，得sin 4
B =，
∴sin22sin cos B B B ==2
1cos22cos 18B B =-=，
∴1sin 2sin2cos cos2sin 4442816
B B B πππ⎫⎛
⎫+=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．
（Ⅰ）1ω=，()k k ,36k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦，
（Ⅱ）1a ≤≤
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据函数()()2
sin 22cos 106x x x f πωωω⎛⎫
=-
+-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，求
ω，得到()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪
⎭
，令2k 22k 262x πππ
ππ-+≤+≤+，求其单调增区间. （Ⅱ）将函数()y f x a =-在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，转化为()a f x =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有零点，再函数()f x 在70,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域即可.
【详解】
（Ⅰ）已知函数()()2
sin 22cos 106x x x f πωωω⎛
⎫
=-+-> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π， 所以2221π
ωωπ
=
=∴=，，
所以()2
1sin 22cos 12cos 2sin 2626x x x x f x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 令2k 22k 2
6
2
x π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，
解得k k 3
6
x π
π
ππ-
+≤≤
+.
所以函数()f x 的单调递增区间. ()k k ,36k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，.
（Ⅱ）因为74x 0,
,2x+,12663ππππ⎡⎤
⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
所以()sin 2x+6f x π⎡⎤⎛
⎫=∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦， 因为函数()y f x a =-在70,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零点， 所以()a f x =在70,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零点， 如图所示：
所以3
12
a -
≤≤. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图解和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
28．
（1）()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；（2）5312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】 化简()f x 解析式.
（1）根据三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调增区间； （2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域. 【详解】 依题意
()()ππsin 2cos cos 2sin 1cos 266f x x x x =--+33
2cos 21
22x x =--π3213x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
（1）由πππ2π22π232k x k -
+≤-≤+，解得π5π
ππ1212
k x k -≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）由于π02x ≤≤
，所以ππ2π2333x -≤-≤π53213132x ⎛⎫⎡⎤
--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为512⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
29．
（1）19k =（2）1
3
k =- 【解析】 【分析】
（1）由向量垂直的坐标公式得k 的方程，求解即可； （2）由向量平行的坐标公式得k 的方程，求解即可； 【详解】
（1）()13221a b ⋅=⋅-+⋅=，()()
3ka b a b +⋅-()22
133238=0ka k a b b k =+-⋅-=-, 故19k =
（2）因为()=3,22ka b k k +-+，()3=104a b --，
若ka b +与3a b -平行，则
()()1
4310222483
k k k k --=+⇒=-∴=-
【点睛】
本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题
30．
（1）证明见解析，ABC ∆的面积为5（2）()
,102f AB AC S ==， ()
,f a b 表示以a ，
b 为邻边的平面四边形的面积
【解析】 【分析】
（1）利用向量的减法，求出,AB AC 的坐标，然后计算出0AB AC ⋅=，从而证明出
AB AC ⊥，再根据直角三角形的面积公式，求出ABC ∆的面积；（2）根据新定义的运
算，计算出()
,f AB AC 的值，然后找到与ABC ∆的面积的关系，得到答案. 【详解】
（1）因为()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =， 所以()2,1AB OB OA =-=-，()2,4AC OC OA =-=， 所以0AB AC ⋅=， 所以AB AC ⊥.
22AC ==，22AB ==11
522S AB AC === （2）因为()
1221,f a b x y x y =- 而()2,1AB =-，()2,4AC =， 所以()
(),221410f AB AC =⨯--⨯=，
所以(),2f AB AC S =
所以(),f a b 表示以a ，b 为邻边的平面四边形的面积. 【点睛】
本题考查向量的减法的坐标表示，向量数量积的坐标表示，属于简单题.。