福建省厦门市思明区2022-2023学年八年级上学期期末适应性练习数学试卷(解析版)

2022-2023学年第一学期八年级适应性练习
数学学科
本试卷共6页．满分150分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，【详解】解：A ，C ，D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2. 淋巴细胞是机体免疫应答功能的重要细胞成分，是对抗外界感染和监控体内细胞变异的一线“士兵”，最小的淋巴细胞直径仅4μm ．则下列用科学记数法表示4μm 正确的是（ ）
A. 50.410m
-´ B. 6410m -´ C. 74010m -´ D. 6410m ´
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -´，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：64μm 410m -=´．
故选：B ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．
3. 如图，四边形ABCD 是轴对称图形，BD 所在的直线是它的对称轴，下列说法错误的是（ ）
A. AB BC
= B. ADB CDB ÐÐ=C. AC 垂直平分BD
D. BD 垂直平分AC
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD 是轴对称图形，BD 所在的直线是它的对称轴，
∴AB BC =，ADB CDB ÐÐ=，BD 垂直平分AC ，
∴选项A 、B 、D 不符合题意，
选项C 中AC 不能垂直平分BD ，符合题意；
故选：C ．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
4. 用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为4cm ，则三角形的底边长为（ ）
A. 4cm
B. 7cm
C. 10cm
D. 4cm 或10cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解．
【详解】解：依题意，若4cm长的边为腰，则三角形的底边长为182410
-´=，三边分别为4,4,10，而44810
+=<，不能构成直角三角形，
若4cm
长的边为底，则三角形的腰长为()
1
1847
2
-=，三边分别为
7,7,4
，而
747
+>
，能构成直角三
角形，
∴三角形的底边长为4cm
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．
5. 一个n边形的内角和是外角和的3倍，则n为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和公式为180(2)
n
°-，n边形的外角和为360°，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，180(2)3603
n
°-=°´，
∴8
n=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，外角和定理，掌握内角和的计算公式，外角和等于360°是解题的关键．
6. 若9
9x
-V
是一个最简分式，则△可以是（ ）
A. x
B. 13
C. 3
D. 3x
【答案】A
【解析】【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A. 99x x
-，是最简分式，故该选项符合题意； B. 92712693
x x =-，不是最简分式，故该选项不符合题意； C.93 932
x x =-，不是最简分式，故该选项不符合题意； D. 93933x
x x x
=--，不是最简分式，故该选项不符合题意；故选：A ．
【点睛】本题考查了最简分式，理简分式的定义是解题的关键．
7. 代数式12-可以表示的是（ ）
A. 2的相反数
B. 2的绝对值
C. 2的倒数
D. 2与1的差【答案】C
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，然后根据倒数的定义即可得出结果．【详解】解：11
22
-=∴12-可以表示的是2的倒数，
故选：C ．
【点睛】题目主要考查负整数指数幂的运算及倒数的定义，熟练掌握运算法则是解题关键．
8. 在下列图形中，正确画出△ABC 的边BC 上的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．
【详解】A、画出的是△ABC的边AB上的高，故不合题意；
B、画出的
不是△ABC任一边上的高，故不合题意；
C、画出的△ABC的边BC上的高，故符合题意；
D、画出的是△ABC的边AC上的高，故不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．
9. 如图，在ABC
V中，90
ACB
Ð=°，60
ABC
Ð=°，2cm
BC=， D为BC的中点，若动点E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，BDE
△是直角三角形，则t的值为（）
A. 2
B. 0.5
C. 2或3.5
D. 2或0.5
【答案】C
【解析】【分析】分当90BDE Ð=°时，当90BED Ð=°时，再结合运动方向分两种情况求解即可．
【详解】解：∵90ACB Ð=°，60ABC Ð=°，2cm BC =，
∴30BAC Ð=°，()24cm AB BC ==，
当90BDE Ð=°时，DE CA ∥，
∴30DEB Ð=°，
∵D 为BC 的中点，∴112
BD BC ==，
∴()22cm BE BD ==，
∴()2cm AE AB BE =-=，
点E 从A B ®时，212t =¸=(秒)，
当90BED Ð=°时，如图所示：
∵60ABC Ð=°，2cm BC =，D 为BC 的中点，∴()11120.5cm 222
BE BD ==´´=，点E 从A B ®时，()40.51 3.5t =-¸=(秒)，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，动点问题，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
10. 在平面直角坐标系中，已知点(),A a a ，其中0a ＞，点B 在y 轴上运动．若OBA △是以OA 为腰的等腰三角形，则OBA Ð的度数是（ ）
A. 45°或67.5°
B. 22.5°或45°或90°
C. 22.5°或67.5°
D. 22.5°或45°或67.5°【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质分类计算即可．
【详解】∵(),A a a ，
∴OA 是第一象限的角平分线，
当1
OA AB =时，
则11
45OB A B OA Ð=Ð=°；
当2
OA OB =时，则221804567.52
OB A OAB °-°Ð=Ð==°；当3
OA OB =时，233B OA OB A OAB Ð=Ð+Ð，则334522.52
OB A OAB °Ð=Ð==；故选D ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，第11题6分，其余每小题4分，共26分．
11. 计算
(1)5·a ab = ______；
(2)222(2)a b -= ______；
(3)2()a a b -= ______；
(4)
52405x y x y ¸= ______；
(5)2(3)a +=
______； (6)2931´= ________．
【答案】 ①.
6a b . ②444a b . ③22a ab - . ④38x . ⑤269
a a ++ . ⑥899【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解；
（2）根据积的乘方运算法则进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（4）根据单项式除以单项式进行计算即可求解；
（5）根据完全平方公式进行计算即可求解；
（6）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）5·a ab =6a b ，
故答案为：6a b
． （2）222(2)a b -=444a b ，
故答案为：444a b ．
（3）2()a a b -=22a ab -；
故答案为：22a ab -．
（4）52405x y x y ¸=38x ；
故答案为：38x ．
（5）2(3)a +=269a a ++；
故答案为：269a a ++．
（6）2931´=()()2301301301899-+=-=；
故答案为：899．
【点睛】本题考查了整式混合运算，掌握整式的
乘法公式以及运算法则是解题的关键．
12. 已知图中的两个三角形全等，则a
Ð=______°
【答案】50°
【解析】
【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到a
Ð的对应角即可．
【详解】解：如图，a
Ð是边a和c的夹角，左图是50°，
故50
a
Ð=°
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．
13. 分解因式：2
28
ax a
-=___________________________．
【答案】2a（x+2）（x2
﹣）．
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：原式=2a（x2-4） =2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的
综合运用．
14. 将一张长方形纸张，按如图所示进行两次折纸操作，请仔细观察图形，则该长方形纸张的长边与短边的长度之比为________．
【解析】【分析】根据第一次折叠可知AB BE =，经过第二次折叠可得AE AD =，据此即可求解．
【详解】解：由第一次折叠可得ABE V 是等腰直角三角形，
则AB BE =，∴
AE =，
由第二次折叠可得
AE AD =，∴
AD =，
∴
AD AB AB =
=，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，掌握折叠的性质是解题的关键．
15. 点()
,12P b b -在第一象限内，且到x 轴与y 轴的距离相等，点B 在y 轴正半轴上，连接BP ，过点P 作BP AP ^交x 轴正半轴于点A ，则OA OB +=__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意确定()6,6P ，过P 作PM y ^轴于M ，PN x ^轴于N ，根据正方形的判定和性质得出6OM ON PN PM ====，再由全等三角形的判定和性质得出AN BM =结合图形求解即可．
【详解】解：∵(),12P b b -在第一象限内，且到x 轴与y 轴的距离相等，
解得：6
b=，
∴()
P，
6,6
过P作PM y
^轴于N，如图所示：^轴于M，PN x
∵()
6,6
P，
∴6
==，
PN PM
∵MON PNO PMO
Ð=Ð=Ð=°，
∴36090909090
Ð=°-°-°-°=°，
MPN
则四边形MONP是正方形，
∴6
==== ，
OM ON PN PM
∵90
Ð=°，
APB
∴APB MON
ÐÐ
=，
∴9090
， ，Ð=°-ÐÐ=°-Ð
MPB BPN BPN APN
∴APN BPM
ÐÐ
=，
在APN V 和BPM V 中，
APN BPM PN PM
PNA PMB ÐÐìïíïÐÐî
＝＝＝ ，∴APN V ≌BPM V ，
∴AN BM =，
∴OA OB
+ON AN OB
=++ON OB BM
=++ON OM
=+12=，
故答案为：12．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点11022A a b æö--ç÷èø
，和()0B a ，，其中0b a >>．点C 在x 轴上且在点B 右侧，()2214ABC S b a =-V ．点D 为第四象限内一点，若12
OAB CAD Ð=Ð，90OAB ACD ÐÐ+=°，则BD =_______．（用含a ，b
的代数式表示）
【答案】a b +##b a
+【解析】
【分析】根据题意得出()0C b ，，过点A 作CAD Ð的角平分线，利用各角之间的等量代换及等腰三角形的判定得出ACD V 为等腰三角形，确定AC AD =，过点A 作AF AB =，交x 轴于点F ，根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出(SAS)AFC ABD ≌V V ，2BD FC a b ==+，即可求解．
【详解】解：∵11022A a b æö--ç÷èø
，和()0B a ，，0b a >>，∴1122
OA a b =+，
OB a =，∴()2222214AB OA OB a b a =+=
++，∵()
2214ABC S b a =-V ，∴()221
12
4OA BC b a ×=-，∴BC b a =-，
∵()0B a ，，
∴()0C b ，，
过点A 作CAD Ð的角平分线，
∴CAE EAD Ð=Ð，∵12
OAB CAD ÐÐ＝，
90OAB ACD ÐÐ+=°，∴90CAE ACD Ð+Ð=°，
∴
AE CD ^，∴ACD V 为等腰三角形，
∴AC AD =，
过点A 作AF AB =，交x 轴于点F ，
∴AO 平分FAB Ð，OB OF a ==，
∴2FAB OAB ÐÐ=，FC OF OC a b
=+=+∴
FAB CAD Ð=Ð，∴FAB BAC CAD BAC ÐÐÐÐ+=+，即FAC BAD Ð=Ð，
∵AF AB =，AC AD =，
∴(SAS)
AFC ABD ≌V V ∴BD FC a b ==+，
故答案为：a b +．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
三、解答题：本大题共9小题，共84分．
17. 先化简，再求值：22111 22a a a a
-æö-¸ç÷++èø，其中3a =．【答案】1
a a -；3
2
【解析】【分析】先根据分式的加减，先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：2211122a a a a
-æö-¸ç÷++èø()()()
221211a a a a a a ++-=´++-()()()
21211a a a a a a ++=´++-1a a =
-；当3a =时，原式331=-32
=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，在正方形网格中，直线l 与网格线重合，点A C A B ¢¢，，，均在网格点上．
（1）已知ABC V 和A B C ¢¢¢V 关于直线l 对称，请在图上把ABC V 和A B C ¢¢¢V 补充完整：
（2）在以直线l 为y 轴的坐标系中，若点A 的坐标为(,)a b ，则点A ¢的坐标为________；
（3）在直线l 上画出点P ，使得PA PC +最短．
【答案】（1）见解析 （2）(),a b -
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到C 的对称点，B 的对称点即可求解．
（2）根据关于y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解；
（3）连接AC ¢交l 于点P ，则点P 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，ABC V 、A B C ¢¢¢V 即为所求；
【小问2详解】
根据关于y
轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得点
A¢
的坐标为
(),a b
-，
故答案为：(),a b -．
【小问3详解】
解：如图所示，连接AC¢交l于点P，则点P即为所求，
如图所示，∵PC PC ¢=，AP PC AP PC AC ¢¢+=+=，
∴点P 使得AP PC +最短，则点P 即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称作图，关于y 轴对称的点的坐标特征，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
19. 卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条AB ，CD 的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得AC 的长度，就可知工件的内径BD 是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．
【详解】已知：如图，AB CD
=，O为,
AB CD的中点．
求证：AC BD
=
证明：如图，连接,
AC BD，
∵AB CD
=，O为,
AB CD的中点，
∴,
OA OB OC OD
==，
又∵AOC BOD
Ð=Ð，
∴
()
SAS AOC BOD
V V
≌．
∴AC BD
=．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 王老师计划在劳动课上教同学们学习水仙花雕刻，上课前王老师到市场选购水仙花．商家正在进行促销活动，每粒水仙花按原价的8折出售．请根据王老师的描述，求出每粒水仙花的原价．
【答案】水仙花的原价是3元
【解析】
【分析】题目中未知的量有原价，原价方式购买的水仙花数量，由此设水仙花的原价为x元，按原价方式购买了a粒水仙花，由此列方程组即可求解．
【详解】解：设水仙花的原价为x元，按原价方式购买了a粒水仙花，
∴
120
0.8(10)120
ax
x a
=
ì
í
+=
î
，解方程组得，
40
3
a
x
=
ì
í
=
î
，
∴水仙花的原价是3元．
【点睛】本题主要考查方程组的运用，理解题目中的数量关系，设未知量，根据等量关系列方程组是解题的关键．
21. 如图，AD为线段BC的垂直平分线，在线段AD上取一点E，使得20
ACE
Ð=°，在线段CE上取一点F，使得10
FBC
Ð=°，连接BE，AF．若50
ABC
Ð=°，求证：BE AF
^．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出ACE ABE Ð=Ð，进而证明()AAS ABE FBE V V ≌，得出BE 是等腰BAF △的顶角的角平分线，即可得证．
【详解】证明：∵AD 为线段BC 的垂直平分线，
∴,AB AC EB EC ==，90ADB Ð=°
∴50ABC ACB Ð=Ð=°，EBC ECB Ð=Ð，
∴ACE ABE Ð=Ð,
∵20ACE Ð=°，10FBC Ð=°，
∴20ABE Ð=°，
∴50201020FBE ABC ABE FBC Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°,
∴201030EBC FBE FBC Ð=Ð+Ð=°+°=°
∴40,ABF ABE FBE ABE FBE Ð=Ð+Ð=°Ð=Ð，
∵9040BAE ABD Ð=°-Ð=°，103040BFE FBC FCB FBC ECB Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴BAE BFE Ð=Ð，
在,ABE FBE V V 中，
ABE FBE BAE BFE
BE BE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î
∴()
AAS ABE FBE V V ≌∴BA BF =，
∴BAF △是等腰三角形，且ABE FBE
Ð=Ð∴BE 是BAF △的顶角的角平分线，
∴BE AF
^【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，证明BAF △是等腰三角形是解题的关键．
22. 已知a ，b ，c 是三个连续的正整数，2a t =，2648
c t =+，求b 的值．【答案】162
b =【解析】
【分析】根据题意得出22648c a -=，然后得出1c b =+，1a b =-，代入求解即可．
【详解】解：∵2a t =，2648c t =+，
∴22648
c a -=∴()()648
c a c a +-=∵a ，b ，c 是三个连续的正整数，
∴1c b =+，1a b =-，
∴()()1111648
b b b b ++-+-+=解得：162b =．
【点睛】题目主要考查数的计算，理解题意，列式计算是解题关键．
23. 如图，某小区规划了一块边长为m a 的正方形区域进行绿化建设，在四周m b 宽的区域栽种两种绿色植物(30)a b >>，其中角落的四个小正方形区域种植桂花树，其余区域铺设草坪．设桂花树种植区域面积和为1S ，草坪铺设区域面积和为2
S ．
（1）比较1
S 与2S 的大小，并说明理由：（2）该小区参与“最美小区”评选活动，其中一项评比指标是小区规划绿化区域的绿化覆盖率不低于50%，若6a b =，该区域能否通过该项指标的评比？（绿化覆盖率100%´绿地面积＝规划绿化区域面积
）
【答案】（1）12
S S <，理由见解析
（2）该区域能通过该项指标的评比
【解析】
【分析】（1）先根据正方形和长方形的面积公式求出1
S 与2S ，再作差比较大小即可；（2）根据所提供的的公式求解即可．
【小问1详解】
()2214m S b =，()()2224248m S b a b ab b =-=-，
()()()222212448124=4b 3m S S b ab b b ab b a -=--=--，
∵30a b >>，
∴30b a -<，
∴12
0-<S S ，∴12
S S <；【小问2详解】
∵()
2214m S b =，()22248m S ab b =-，∴()()22221244844m S S b ab b ab b +=+-=-，
∵6a b =，∴2222244244555.56%50%369
ab b b b a b --==»>，
∴该区域能通过该项指标的评比．
【点睛】本题考查了整式的加减，以及分式的约分，正确列出算式是解答本题的关键．
24. 探究活动
（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应
携带的玻璃碎片编号是（ ）
A ． ①
B ． ②
C ．
③（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（ ）
A ． ①②
B ． ①③
C ．
①④D ． ②③E ． ②④F ．
③④（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．
①已知：如图，在四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢中，AB A B ¢¢=，BC B C ¢¢=，CD C D ¢¢=，DA D A ¢¢=，ABC A B C ¢¢¢Ð=Ð．
求证：四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是全等四边形．
②请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第 ①题的题设与结论：
③请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）
【答案】（1）C ；（2）E （3）①见解析；②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；结论：这两个
四边形全等；③在四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢中，AB A B ¢¢=，BC B C ¢¢=，BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð，BCD B C D ¢¢¢Ð=Ð，ABC A B C ¢¢¢Ð=Ð．
则四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是全等四边形；
【解析】
【分析】（1）根据SAS 分析即可求解；
（2）根据（1）的结论，找到能确定一条边2个角的三角形，即可求解；
（3）①连接,AC A C ¢¢，证明()SAS ¢¢¢≌ABC A B C △△，得出AC AC
¢¢=，证明ADC A D C ¢¢¢≌△△()SSS ，即可求解．
②根据①的命题，写出题设与结论即可求解．
③ 根据①结论写出真命题，进而根据全等三角形的方法进行证明即可求解．
【详解】（1）解：依题意，③玻璃碎片，含有1条边，2个角，依据SAS 可得两个三角形全等，故选：C ；
（2）解：带②④，理由如下，
如图，
∵根据碎片的形状，可以确定
AB 长度的长度，且碎片②④保留了2个角，以AB 为边的左右两边的两个
三角形的两个角确定了，根据（1）的结论可得出2对全等三角形，
∴带②④，
故选：E ．
（3）①证明：如图，连接,AC A C ¢¢
∵在四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢中，AB A B ¢¢=，BC B C ¢¢=， ABC A B C ¢¢¢
Ð=Ð．∴()SAS ¢¢¢≌
ABC A B C △△，
∴AC AC ¢¢=又CD C D ¢¢=，DA D A ¢¢=，
∴ADC A D C ¢¢¢≌△△()
SSS ∴四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是全等四边形；
②题设：四条边都相等，且结论：这两个四边形全等；
③如图，在四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢中，AB A B ¢¢=，BC B C ¢¢=，BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð，BCD B C D ¢¢¢Ð=Ð，ABC A B C ¢¢¢Ð=Ð．
则四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是全等四边形；
证明：如图，
∵AB A B ¢¢=，ABC A B C ¢¢¢Ð=Ð，BC B C ¢¢
=，∴()SAS ¢¢¢≌ABC A B C △△，
∴AC AC ¢¢=，BAC B A C ¢¢¢Ð=Ð，BCA B C A ¢¢¢Ð=Ð，
∵BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð，BCD B C D ¢¢¢Ð=Ð，
∴DAC D A C ¢¢¢Ð=Ð，DCA D C A ¢¢¢
Ð=Ð∴ADC A D C ¢¢¢≌△△()
ASA ∴四边形ABCD 与四边形A B C D ¢¢¢¢是全等四边形；
判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25. 定义：若()
22,2A a a ma m -+，则称A 为“m 阶完全平方点”；若ABC V 的三个顶点均为“m 阶完全平方点”，则称ABC V 为“m 阶完全平方三角形”．
（1）已知A ，B 均为“2阶完全平方点”，且()0,4A ，()4,4B ，
AC BC =，AB 边上的高为4，判断
ABC V 是否为“2阶完全平方三角形”，并说明理由：
（2）如图所示，若ABC V 为“m 阶完全平方三角形”，其中()3,3A m n n -， ()
,3B m n +，点C 在x 轴上且60CAB Ð=°．在射线AC 上取点()2,D m t ，在x 轴上取点()3,0E m ，连接BD ，AE 相交于点F ，BD 交x 轴于点H ．判断DHE AEH ÐÐ-是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）()2,4C 时，ABC V 是为“2阶完全平方三角形”，(
) 2,8C 时，ABC V 不是为“2阶完全
平方三角形”，理由见解析
（2）60DHE AEH ÐÐ-=°，理由见解析
【解析】【分析】（1）根据题意作出图形，然后再由等腰三角形的性质及坐标与图形确定点()2,4C 或()12,8C ，再由题意求解即可；
（2）过点C 作CG AB ^，过点D 作DM x ^轴，根据题意及含30度角的直角三角形的性质得出2AC AG =，再由勾股定理得出
AG =，确定点C 的坐标为(),0m ，理由等边三角形的判定和性质
得出ABC V 为等腰三角形，CDE V 为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出AEC CDB ÐÐ=，利用三角形外角的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
∵()0,4A ，()4,4B ，AC BC =，AB 边上的高为4，
∴CD 垂直平分线段AB ，
∴点()2,4C 或()1
2,8C ，其中2a =，2m =，
∴2224a ma m -+=，
∴()2,4C 是“2阶完全平方点”，()1
2,8C 不是“2阶完全平方点”，∴()2,4C 时，ABC V 是为“2阶完全平方三角形”，()2,8C 时，ABC V 不是为“2阶完全平方三角形”；
【小问2详解】
过点C 作CG AB ^，过点D 作DM x ^轴，如图所示：
∵()
3,3A m n n -， ()
,3B m n +，点C 在x 轴上且60CAB Ð=°．
∴()
3AB m n m =+--=，3CG n =，30ACG Ð=°，AB x ∥轴，∴2AC AG =，
∴222AC CG AG =+即22249AG n AG =+，
解得：
AG =，
∴点G 为AB 中点，点C 的坐标为()
,0m -+即(),0m ，且点C 为“m 阶完全平方点”，∴ABC V 为等腰三角形，
∵60CAB Ð=°，
∴ABC V 为等边三角形，
∴60ABC ACB ÐÐ==°，AC BC =，
∴60BCE DCE ÐÐ==°，
∵点C 的坐标为(),0m ，()2,D m t ，()3,0E m ，
∴DM 垂直平分线段CE ，
∴DC DE =，
∵60DCE Ð=°，
∴CDE V 为等边三角形，
∴CD CE =，
∵60ACB BCE DCE ÐÐÐ===°，
∴120ACE BCD ÐÐ==°，
∴(SAS)ACE BCD ≌V V ，
∴AEC CDB ÐÐ=，
∴60DHE AEH DHE CDB DCE ÐÐÐÐÐ-=-==°．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
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