人教版八年级下册专项训练专题07 菱形的性质

专题07 菱形的性质
一、知识点
菱形的特性：
边：邻边相等；对角线：互相垂直
二、标准例题
例1：菱形具有而矩形不具有的性质是（）
A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等
2．菱形和矩形一定都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．每条对角线平分一组对角
例2：菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）
A．8cm和4√3cm B．4cm和8√3cm C．8cm和8√3cm D．4cm和4√3cm
例3：如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
(1)求证：BE=CF；
(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
三、练习题
1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两邻角的度数分别为（）
A．45∘，135∘B．60∘，120∘C．90∘，90∘D．30∘，150∘
2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A．75∘B．45∘C．60∘D．30∘
3．如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2√2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）A．3B．6C．2√5D．3√2
4．已知菱形一条对角线为长8√2cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是______
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为_________；6．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为_____．
7．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形较短的一条对角线长为________．
8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为________cm，面积为________cm2．
9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____.
2题3题5题9题
10．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．
11．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，
垂足为E．
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
12．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形．
（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四边形AODE的周长．
14．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点(不与A，C重合)，连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF.
(1)求证：△ABP≌△ADP；
(2)若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．
15．如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．
一、知识点
菱形的特性：
边：邻边相等；对角线：互相垂直
二、标准例题
例1：菱形具有而矩形不具有的性质是（）
A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等
【答案】B
【解析】
A. 四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故A正确；
B. 对边相等，矩形、菱形都有的性质，故B错误
C. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故C错误；
D. 对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；
故选：A.
点睛：菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直
2．菱形和矩形一定都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．每条对角线平分一组对角
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线的性质（对角线互相平分且相等），菱形的对角线性质（对角线互相垂直平分）可解．
【详解】
因为矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分.故选:B.
【点睛】
考查矩形，菱形的性质，熟记菱形和矩形的性质是解题的关键.
例2：菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）
A．8cm和4√3cm B．4cm和8√3cm C．8cm和8√3cm D．4cm和4√3cm
【答案】C
【解析】
【分析】
先连接AC、BD，AC、BD交于点O，由于四边形ABCD是菱形，那么AB=BC=CD=AD，从而易求菱形的边长，再根据∠ABC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证△ABC是等边三角形，利用勾股定理可得出对角线的长度．
【详解】
如右图所示，∠ABC=60°，连接AC、BD，AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵菱形的周长为32，
∴AB=BC=CD=AD=8，
又∵∠ABC=60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC=AB=8，
AC=4,
∴AO=1
2
∴BO=√AB2−AO2=√82−42=4√3，
∴BD=2BO=8√3，
即两条对角线分别为：8cm、8√3cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图，求出菱形边长，另外要掌握菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理进行解答，难度一般．
例3：如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45∘，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
(1)求证：BE=CF；
(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）2√2−2
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≅△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF//AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=√2AF=2√2，然后计算CF−DF即可.
【详解】
(1)证明：
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45∘，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
{
AB=AC
∠BAE=∠CAF
AE=AF
，
∴△ABE≅△ACF，
∴BE=CF；
(2)解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF=AF=2，DF // AB，
∴∠1=∠BAC=45∘，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=√2AF=2√2，
∴CD=CF−DF=2√2−2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了菱形的性质.
三、练习题
1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两邻角的度数分别为（）
A．45∘，135∘B．60∘，120∘C．90∘，90∘D．30∘，150∘
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质可以判定一个内角为60°，根据平行四边形邻角之和为180°可以求得邻角为180°-60°=120°．
【详解】
如图，由题意知AB=BC=AC，
∵AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
即∠B=60°，
根据平行四边形的性质，
∠BAD=180°-60°=120°，
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形邻角之和为180°的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求∠B=60°是解题的关键．
2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）
A．75∘
B．45∘
C．60∘
D．30∘
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得
△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B=∠D=60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF 的度数．
【详解】
连接AC．
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=AC，AC=CD=AD，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴∠B=∠D=60°，∴∠BAE=∠DAF=30°，∠BAD=180°﹣∠B=120°，∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=60°．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．如图，菱形ABCD中，∠D=135°，AD=6，CE=2√2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（）
A．3B．6C．2√5D．3√2
【答案】C
【解析】分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
详解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2√2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
=3√2，
∴Rt△BHC中，BH=CH=
√2
∴HG=3√2-2√2=√2，
∴Rt△BHG中，BG=√(3√2)2+(√2)2=√20=2√5，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是2√5．
故选：C．
点睛：本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
4．已知菱形一条对角线为长8√2cm，周长是24 cm，则这个菱形的面积是______
【答案】16√2
【解析】
【分析】
画出草图分析，因为周长是24，所以边长是6，根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【详解】
因为周长是24cm，所以边长是6cm，如图所示：
AB=10cm，AC=8√2cm，
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=4√2cm，AB=6cm，
在Rt△AOB中，BO=2−AO2=2cm，
∴BD=2BO=4cm，
×4×8√2=16√2（cm2）．
∴面积S=1
2
故答案为16√2．
【点睛】
本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，还考查了菱形面积的计算，对角线乘积的一半．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为__________________；
【答案】70°
【解析】分析：
根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可.
详解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC平分∠DAB，
∠DAB，
∴∠DAB+∠ADC=180°，∠OAB=1
2
∵∠ADC=140°，
∴∠DAB=40°，∠OAB=20°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOE=180°-90°-20°=70°.
故答案为：70°.
点睛：熟记“菱形的相关性质并能由此解得∠OAB=20°”是解答本题的关键.
6．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题.【详解】
解：如下图,
∵菱形的周长为20，
∴边长A B=5,
∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8，
∴BO=4,AO=3（勾股定理）,
∴AC=6,
×8×6=24.
∴S菱形=1
2
【点睛】
本题考查了菱形的面积,属于简单题,熟悉菱形的对角线性质是解题关键.
7．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形较短的一条对角线长为________．
【答案】6cm
【解析】
【分析】
根据菱形的性质即四边相等解答此题.
【详解】
已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60∘，则这个菱形的边长为6cm，连接菱形较短的一条对角线，则菱形分为两个等边三角形，所以这个菱形较短的一条对角线长为6cm.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，掌握菱形四边相等是解决此题的关键.
8．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为________cm，面积为________cm2．
【答案】524
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．
【详解】
∵菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴对角线的一半分别为3cm，4cm，
∴根据勾股定理可得菱形的边长为：√32+42=5cm，
∴面积S=1
×6×8=24cm2．
2
故答案为：5；24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．
9．如图，在菱形ABCD中，AB=4，AE⊥BC于点E，点F，G分别是AB，AD的中点，连接EF，FG，若∠EFG=90°，则FG的长为_____.
【答案】2√3
【解析】
【分析】
BD，如图，连接BD交AC于点O．根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据中位线的判定与性质得到FG∥BD，FG=1
2
易证EF∥AC，因为AF=BF，所以BE=CE，根据等边三角形的判定得到△ABC是等边三角形，然后根据题意求得个线段长即可.
【详解】
如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=FB，AG=GD，
∴FG∥BD，
∵∠EFG=90°，
∴GF⊥EF，
∴BD⊥EF，
∵AC⊥BD，
∴EF∥AC，
∵AF=BF，
∴BE=EC，
∵AE⊥BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=4，
∴OB=2√3，
∴BD=2OB=4√3，
BD，
∵FG=1
2
∴FG=2√3，
故答案为2√3．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC和DC边上的点，且EC＝FC．求证：∠AEF＝∠AFE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据菱形性质证明△ABE≌△ADF（SAS）,从而得AE＝AF，利用等腰三角形性质即可得∠AEF＝∠AFE．【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中
{AB=AD ∠B=∠D BE=DF
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点睛】
本题考查了菱形性质的应用,全等三角形的判定,等腰三角形的性质,属于简单题,证明三角形全等是解题关键.
11．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）∠ABD=60∘；（2）BE=1；（3）S
菱形ABCD
=8√3．
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质可得AB=AD，然后根据∠A=60°，即可得出△ABD为等边三角形，即可得出∠ABD的度数；
（2）根据O为BD中点，∠ABD=60°，容易求出BE的长度；
（3）过D作DF⊥AB于点F，可得DF=2OE，然后根据底×高即可求出菱形的面积．
【详解】
（1）在菱形ABCD中，
∵AB=AD，∠A=60∘，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60∘；
（2）∵O是对角线BD的中点，
BD=2，
∴OB=1
2
∵∠ABD=60∘，
=1；
∴BE=OBcos60∘=2×1
2
（3）过D作DF⊥AB于点F，
由(2)可得：OE=OBsin60∘=√3，
∵OE⊥AB，点O为BD中点，
∴DF=2OE=2√3，
=AB⋅DF=4×2√3=8√3．
则S
菱形ABCD
【点睛】
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，得出△ABD为等边三角形．
12．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）2√3．
【解析】
【分析】
（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90∘，AB=CD，AB // CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠的性质可得：∠ABE=∠EBD=1
2∠ABD，∠CDF=1
2
∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中
{
∠A=∠C
AB=CD
∠ABE=∠CDF
，
∴△ABE≅△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD // BC，
∴DE=BF，DE // BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
解法二：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90∘，AB=CD，AB // CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB // DF，
∵ED // BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
(2)解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABE=30∘，
∵∠A=90∘，AB=2，
∴AE=
√3=2√3
3
，BE=2AE=4
3
√3，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=2√3
3+4
3
√3=2√3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形．
（2）若AB=8，∠BCD=120°，求四边形AODE的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）8+8√3
【解析】试题分析: （1）首先根据菱形的性质，可得AC⊥BD，然后判断出四边形AODE是平行四边形，即可推得四边形AODE是矩形．
（2）根据AB=8，∠BCD=120°，求出AO、BO的大小，即可求出四边形AOD E的面积是多少．
（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形．
（2）解：在菱形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ADC，AD=AB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ADB=1
2
∠ADC=30°，
∵AB=8，
∴AD=8，
∵∠AOD=90°，
∴在Rt△AOD中，AO=4，OD=4√3，
∴C
矩形AODE
=2(AO+OD)=2(4+4√3)=8+8√3．
点睛：本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形，平行四边形的关系是解答本题的关键.
14．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点(不与A，C重合)，连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF.
(1)求证：△ABP≌△ADP；
(2)若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；（2）先证明四边形EPFD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出BP=DP，由已知证出DP=EF，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中，
{AD＝AB
∠PAB＝∠PAD
AP＝AP
，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）证明：∵PE∥CD，PF∥AD，
∴四边形EPFD是平行四边形，
由（1）得：△ABP≌△ADP，
∴BP=DP，
又∵BP=EF，
∴DP=EF，
∴四边形EPFD是矩形．
15．如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）√7．
【解析】
【分析】
（1）利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而利用菱形的性质得出AD=AB，即可得出△ABD是等边三角形；（2）利用旋转的性质以及平行线的性质得出∠FDB=90°，再结合勾股定理得出得出BF的长．
【详解】
解：(1)证明：如图一，
∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD是等边三角形；
(2)解：如图二，
由(1)得：△ABD是等边三角形，
则∠ADE=∠BDE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB // DC，
∵DE⊥AB，
∴∠EDC=90∘，
∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90∘，
∵△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，
∴DF=ED=√3，BD=2，
∴BF=√7．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及旋转的性质和等边三角形的判定、菱形的性质等知识，熟练利用已知得出AD=BD是
解题关键．。