【典型题】高中必修三数学上期末一模试题及答案(1)

【典型题】高中必修三数学上期末一模试题及答案(1)
一、选择题
1．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A ．
2
3
e - B ．
1
3
e - C ．
43
e
- D ．
53
e
- 2．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）
A ．
35
B ．
45
C ．1
D ．
65
3．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．-2
5．从区间[]
0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对
()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机
模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．
4n m
B ．
2n m
C ．
4m
n
D ．
2m
n
6．设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 2倍的概率（ ） A ．
34
B ．
35
C ．
13
D ．
12
7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中0.78b ∧
=，a y b x ∧
∧
=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元
B ．13.88万元
C ．12.78万元
D ．14.28万元
8．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
9．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ） A ．5个
B ．10个
C ．20个
D ．45个
10．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*
(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数
据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）
A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
11．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a 的值是( )
A ．0.020
B ．0.018
C ．0.025
D ．0.03
12．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形
OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．2
1π
-
B ．
122π
- C ．
2π
D ．
1π
二、填空题
13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()
6
g π__________.
14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正
BCD ∆边长的概率是__________．
15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．
16．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．
17．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________ 18．把十进制数23化为二进制数是______．
19．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．
数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a = 20．如图，曲线sin
32
x
y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正
方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．
三、解答题
21．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：
(1)试估计B 班的学生人数；
(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.
(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）
22．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]
185,195（单位:cm ）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]
185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．
23．某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了
统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：
年龄（岁）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数m n141286
知道的人数348732
（1）求上表中的,m n的值，并补全右图所示的的频率直方图；
（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20),[20,30)的居民中各随机选取1人参加垃圾
分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
24．某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如
下的表格：
车辆数x1018263640
用次卡消费的车
辆数y
710171823
(Ⅰ)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(b∧的结果保留两位小
数)
(Ⅱ)试根据()I求出的线性回归方程，预测50
x=时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆ
ˆˆ
y bx a
=+；其中，
()
11
222
11
()
)
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
==
==
---
==
--
∑∑
∑∑
$
，a y bx
=-
$
．
25．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古
寨的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料
显示y对x呈线性相关关系.
（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？
参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜
率和截距的最小二乘估计分别为$1
2
21,n
i i
i x y
nx b a
y bx x y
nx
=--=
=--∑∑$$. 26．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；
（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】
由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()1
1001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，
故所求概率为25133
e e
---=，故选D. 【点睛】
本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】
由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,
向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为
150=4500S S P S =
=正,解得65
S =. 故选:D 【点睛】
本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案. 【详解】
∵101101（2）=1×25
+0+1×23
+1×22
+0+1×20
=45（10）． 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．
【点睛】
本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】
结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：11
1,122
S i i S =-
==+=；
此时不满足5i >，执行循环：1
11,13S i i S
=-=-
=+=； 此时不满足5i >，执行循环：1
12,14S i i S
=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：11
1,152
S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：1
11,16S i i S
=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.
5．C
解析：C 【解析】
此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为
41
m P n π
==，所以4m
n
π=．故选C ． 6．D
解析：D 【解析】 【分析】
先找出满足条件弦的长度超过2R 的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案． 【详解】
根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过2R 对应的弧”，
其构成的区域为半圆»NP
, 则弦长超过半径2倍的概率»1
2
NP P ==圆的周长，
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”
有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
由已知求得 x ， y ，进一步求得$ a
，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】
8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=
， 5.97.88.18.49.85
8y ++++==．
又 0.78b
=$，∴$ 80.78100.2a y bx --⨯===$． ∴$ 0.780.2y x =+．
取16x =，得$ 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
8．B
解析：B 【解析】
第一次输出1,A =第二次输出123A =+=，第三次输出325A =+= ，选B.
9．A
解析：A 【解析】
应抽取红球的个数为50
10051000
⨯
= ，选A. 点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .
10．B
解析：B 【解析】
∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由频率分布直方图的性质列方程，能求出a ． 【详解】
由频率分布直方图的性质得：
()100.0050.0150.0350.0150.0101a +++++=，
解得0.020a =． 故选A ． 【点睛】
本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：设扇形OAB 半径为，此点取自阴影部分的概率是
11
2π
-，故选B. 考点：几何概型.
【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以
为直径的圆的面积，
再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.
二、填空题
13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的 解析：3【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数sin 232y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56
g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值． 【详解】
sin 23cos 22sin 23y x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭Q ，
由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=+-
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 366333g π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯
==-=-=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 故答案为3-． 【点睛】
本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或
()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行
加减，考查计算能力，属于中等题．
14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为
解析：1
3
【解析】 【分析】
取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD 上时，
BE BC >，求出劣弧CD 的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.
【详解】
记事件A ={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，
如图，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点， 当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >， 设圆的半径为r ，劣弧CD 的长度是23
r
π， 圆的周长为2r π，
所以()21323
r
P A r ππ==，故答案为1
3. 【点睛】
本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
15．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【
解析：3 【解析】 【分析】
分析出算法的功能是求分段函数2
2,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩
的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可.
【详解】
由程序语句知：算法的功能是求2
2,3
1,3x x y x x <⎧=⎨
+≥⎩
的值， 当3x ≥时，2
110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)； 当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去， 综上，x 的值为3，故答案为3 . 【点睛】
本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件输出令即可得结果【详解】第一次输入执行循环体执行循环体执行循环体输出的值为0解得：故答案为【点睛】本题主要考查程 解析：
7
8
【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件输出
87x -，令870x -=即可得结果. 【详解】
第一次输入x x =，1i =
执行循环体，21x x =-，2i =，
执行循环体，()221143x x x =--=-，3i =， 执行循环体，()243187x x x =--=-，43i =>， 输出87x -的值为0，解得：78
x =， 故答案为78
． 【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
17．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考
解析：18 【解析】 【分析】
由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为
1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】
因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为
1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】
本题主要考查了系统抽样，属于中档题.
18．【解析】【分析】利用除取余法将十进制数除以然后将商继续除以直到商为然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案【详解】故【点睛】本题主要考查的是十进制与其他进制之间的转化其中熟练掌握除取余法的方法步骤是 解析：210111()
【解析】 【分析】
利用“除k 取余法”将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案 【详解】
232111÷=⋯
11251÷=⋯
5221÷=⋯ 2210÷=⋯
1201÷=⋯
故()()1022310111= 【点睛】
本题主要考查的是十进制与其他进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键。

19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M 的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据 解析：9.7,8
【解析】 【分析】
分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果. 【详解】
仔细分析程序框图的作用和功能， 所解决的问题是找出一组数据的最大值，
并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7， 所以答案是9.7,8. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.
20．【解析】分析：首先求得黑色部分的面积然后利用几何概型整理计算即可求得最终结果详解：由题意可知阴影部分的面积为：正方形的面积：由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：点睛：(1)一定要注意重视定 解析：
14
【解析】
分析：首先求得黑色部分的面积，然后利用几何概型整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，阴影部分的面积为：
4
4
10024sin 3cos
|422x S dx x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦⎰， 正方形的面积：24416S =⨯=，
由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：1241164
S p S ===. 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；
(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.
三、解答题
21．（1）35，（2）随机变量X 的分布列：
()3
E X =
（3）10μμ> 【解析】 【分析】
(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数
(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望
(3)利用数学期望的性质能得出10μμ> 【详解】
（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7
653513
⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-
()1221677P X =-=
=⨯，()42
06721
P X ===⨯， ()()()13
111021
P X P X P X ==-=--==
则随机变量X 的分布列：
101721213
EX =-⨯+⨯+⨯=
(3) 10μμ> 【点睛】
本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确.
22．（1）4（2）171.5?cm （3）2
5
【解析】
试题分析：（1）根据频率直方图的总面积为1，可求得a 0.010=,n=N*高*组距
400.01104⨯⨯=．（2）平均数为，每个区间的中点值与频率乘积和．
（3）学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[
)145,155和[]
185,195内的男生共6人．采用枚举可得总共15个基本事件，满足的有6个．()62P M 155
=
=． 试题解析：（Ⅰ）根据题意， ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=. 解得 a 0.010=．
所以样本中学生身高在[]
185,195内（单位:cm ）的人数为
400.01104⨯⨯=． （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则
x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 7.532684519171.5=++++= ．
所以，该校男生的平均身高为171.5cm ．
（Ⅲ）样本中男生身高在[
)145,155内的人有
400.005102⨯⨯=（个），记这两人为A,B ．
由（Ⅰ）可知，学生身高在[]
185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ． 所以，身高在[)145,155和[]
185,195内的男生共6人．
从这6人中任意选取2人，有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB ， 共15种情况．
设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ，事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共6种情况．
所以，所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155
==． 23．（1）m =4，n =6，图见解析 （2）512
【解析】 【分析】
（1）首先分别求出[10,20)和[20,30)的频率，再计算,m n 即可，根据,m n 的值即可补全频率分布直方图.
（2）首先列出年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件，再找到其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件个数，由古典概型公式即可求出概率. 【详解】
（1）年龄在[10,20)的频数500.084m =⨯=， 年龄在[20,30)的频数为500.126n =⨯=. 频率直方图如图所示：
（2）记年龄在区间[10,20)的居民为1234,,,a A A A （其中居民1a 不知道垃圾分类方法）； 年龄在区间[20,30)的居民为123456,,,,,b b B B B B （其中居民12,b b 不知道垃圾分类方法）. 从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件有：
()11,a b ，()12,a b ，()13,a B ，()14,a B ，()15,a B ，()16,a B ，()21,A b ，()22,A b ，()23,A B ，()24,A B ，()25,A B ，()26,A B ，()31,A b ，()32,A b ，()33,A B ，()34,A B ，()35,A B ，()36,A B ，()41,A b ，()42,A b ，()43,A B ，()44,A B ，()45,A B ，()46,A B ，
共24个基本事件，
其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件共有10个， 所以，选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率105
2412
P ==. 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的性质，同时考查了列举法求基本事件个数和古典概型，属于中档题.
24．(Ⅰ) 0.502y x $
=+；(Ⅱ)27. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由已知图表结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的线性
回归方程中，取50x =求得y 值，则答案可求． 【详解】
(Ⅰ1018263640)265x ++++=
=，710171823
155
y ++++==．
5
15107181026173618402352615310i i
i x y xy =-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=∑，
5
2
22222221
51018263640526616i
i x
x =-=++++-⨯=∑．
310
0.50616
b ∴=
≈$
． 150.50262a y b x $
$
∴=-=-⨯=．
则y 关于x 的线性回归方程为0.502y x =+$
；
(Ⅱ)由(Ⅰ)的线性回归方程可得，当50x =时，用次卡洗车的车辆数估计是
0.5050227⨯+=． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
25．（1）ˆ0.70.35y
x =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】 【分析】
（1）由已知图形中的数据求得ˆb
与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510y
x =+>求得x 的范围得答案． 【详解】 （1）3456
4.54
x +++=
=， 2.534 4.5 3.54y +++=
=， 22222
3 2.543546 4.5
4 4.
5 3.5ˆ0.73456445b
⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a
=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35y
x =+； （2）由ˆ0.70.3510y
x =+>，解得11
1314
x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 26．（1）15种；（2）3
5；（3）415
P = 【解析】 【分析】
（1）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，利用列举法即可得到所有可能的结果. （2利用列举法得到“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解；
（3）由两名运动员来自同一协会有{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，
56{,}A A ，共4种，
利用古典概型，即可求解．
【详解】
（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为 {}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，15{,}A A ，16{,}A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，25{,}A A ，26{,}A A ，
34{,}A A ，35{,}A A ，36{,}A A ，45{,}A A ，46{,}A A ，56{,}A A ，共15种.
（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为5A ，6A 的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件A ， 15{,}A A ，16{,}A A ，25{,}A A ，26{,}A A ，35{,}A A ，36{,}A A ，45{,}A A ，46{,}A A ，56{,}A A ，共9种，所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率93()155
P A ==. （3）两名运动员来自同一协会有{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，
56{,}A A ，共4种， 参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率为415P =
. 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中准确利用列举法的基本事件的总数，找出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．。