(精校版)2019年全国卷Ⅲ文数高考试题(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷III ）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1． 已知集合{|1012}A x =-，，，，2
{|1}B x x =≤，则A ∩B ＝
A ．{－1，0，1}
B ．{0，1}
C ．{－1，1}
D ．{0，1，2}
2． 若(1i)2i z +=，则z =
A ．－1－i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．1＋i
3． 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A ．
1
6
B ．
14
C ．13
D ．
12
4． 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典
小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5
B ．0.6
C ．0.7
D ．0.8
5． 函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6． 已知各项为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
7．已知曲线e ln x y a x x =+在点(1e)a ，处的切线方程为2y x b =+，则
A ．e 1a b ==-，
B ．e 1a b ==，
C ．-1e 1a b ==，
D ．-1e 1a b ==-，
8． 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M
是线段ED 的中点，则
A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线
D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线
9．执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值为
A ．41
22-
B ．51
22-
C ．61
22-
D ．71
22
-
10．已知F 是双曲线C ：22
145
x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为
坐标原点．若||||OP OF =，则△OPF 的面积为
A ．32
B ．52
C ．72
D ．92
11．记不等式组62x y x y +⎧⎨-⎩，
≥≥0表示的平面区域为D ．命题p ：(,)29x y D x y ∃∈+，≥；命题q ：
(,)212x y D x y ∀∈+，≤．下面给出了四个命题
①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝
④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①② C ．②③
D ．③④
12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0+)∞，单调递减，则
A ．23
32
31(log )(2)(2)4
f f f -->>
B ．23
3
231(log )(2)(2)4f f f -->>
C ．23
32
31(2)(2)(log )4
f f f -->>
D ．233
231(2)(2)(log )4
f f f -->>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，a b ，(2,2)=a ，(8,6)=-b ，则cos =，a b __________.
14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35a =，713a =，则10S =___________． 15．设12F F ，为椭圆C ：22
13620
x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2
为等腰三角形，则M 的坐标为___________．
16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，6AB BC ==cm ，14AA =cm ．3D 打印所用的原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ g ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）．
18．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围．
19．（12分）
图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的A ，C ，D ，G 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的四边形ACGD 的面积．
20．（12分）
已知32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 21．（12分）
已知曲线C ：2
2x y =，D 为直线12
y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为
A ，
B ．
（1）证明：直线AB 过定点；
（2）若以5
(0,)2
E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方
程．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4
C 3π，(2,)
D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π
，(1,)π，曲线1M 是弧
»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3
M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程； （2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设x y z ∈R ，，，且1x y z ++=．
（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若2221
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一、选择题 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D
8．B
9．C
10．B
11．A
12．C
二、填空题
13． 14．100 15． 16．118.8
三、解答题 17．（12分）
由已知得0.700.200.15a =++，故 0.35a =．
10.050.150.700.10b =---=．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．（12分）
（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2
A C
A B A +=．
因为sin 0A ≠，所以sin sin 2
A C
B +=．
由180A B C ++=︒，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222
B B B
=．
因为cos 02
B ≠，故1
sin =22B ，因此60B =︒．
（2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ∆=．
由正弦定理得sin sin(120)1
sin sin 2
c A c C a C C ︒-=
==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒．
由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122
a <<ABC S ∆<<
因此，△ABC 面积的取值范围是．
19．（12分）
（1）由已知AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ，
故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，D ，G 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM ．
因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG ． 由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM ⊥CG .
在Rt △DEM 中，DE =1，EM
DM =2． 所以四边形ACGD 的面积为4.． 20．（12分）
（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．
令()0f x '=，得0x =或3a
x =．
若0a >，则当(,0)(,)3a x ∈-∞+∞U 时，()0f x '>；当(0,)3
a
x ∈时，()0f x '<．
故()f x 在(,0)-∞，(,)3a +∞单调递增，在(0,)3
a
单调递减；
若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；
若0a <，则当(,)(0,)3a x ∈-∞+∞U 时，()0f x '>；当(0)3
a
x ∈，时，()0f x '<．
故()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞单调递增，在(,0)3
a
单调递减．
（2）满足题设条件的a ，b 存在．
当03a <<时，由（1）知，()f x 在(0,)3
a 单调递减，在(,1)3a
单调递增．
所以()f x 在[0,1]的最小值为3
()2327
a a
f =-+，最大值为(0)2f =或(1)4f a =-．于是
3
227a
m =-+，40222 3.a a M a -<<⎧=⎨
<⎩，，，≤ 所以3
320227
2 3.27
a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪<⎪⎩，，，≤
当02a <<时，可知3
227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8(,2)27
．
当23a <≤时，3
27a
单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27
．
综上，M m -的取值范围是8
[,2)27
21．（12分）
（1）设1
(,)2
D t -，11(,)A x y ，则2112x y =．
由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t
+
=-． 整理得112210tx y -+=．
设22(,)B x y ，同理可得222210tx y -+=． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=．
所以直线AB 过定点1
(0,)2
．
（2）由（1）得直线AB 的方程为1
2
y tx =+．
由2
122
y tx x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，
设M 为线段AB 的中点，则21
(,)2
M t t +．
由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而2
(,2)EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±．
当0t =时，||2EM =u u u u r ，所求圆的方程为225
()42
x y +-=．
当1t =±
时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为225
()22
x y +-=．
22．（10分）
（1）由题设可得，弧»AB ，»BC
，»CD 所在圆的极坐标方程为 2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．
所以1M 的极坐标方程为2cos ρθ=（04
θπ
≤≤
），2M 的极坐标方程为2sin ρθ=（44θπ3π≤≤），3M 极坐标方程为2cos ρθ=-（4θ3ππ≤≤）． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知
若04θπ≤≤
，则2cos θ=6
θπ
=；
若44θπ3π≤≤
，则2sin θ3θπ=或3θ2π=； 若4θ3ππ≤≤
，则2cos θ-6
θ5π=．
综上，P
的极坐标为)6π
或)3
π
或)32π
或)65π
．
23．（10分）
（1）由于
2[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)x y z x y x z y z =-+++++-++-++++ 2223[(1)(1)(1)]x y z -++++≤，
故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511
333x y z ===-，，时等号成立．
所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为4
3
．
（2）由于
2[(2)(1)()]x y z a -+-+-
222(2)(1)()2(2)(1)2(2)()2(1)()x y z a x y x z a y z a =-+-+-+--+--+-- 2223[(2)(1)()]x y z a -+-+-≤，
由已知得22
2
2
(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当4122
333
a a a x y z ---===
，，时等号成立．
因此222
(2)(1)()x y z a -+-+-最小值为2(2)3
a +．
由题设知2(2)1
33
a ≥，解得3a ≤-或1a ≥．。