1等腰三角形的性质课件(1)
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14.5 等腰三角形的性质（1）
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
∵△ABD≌△ACD（已求）.
A
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
_B_D_=_C_D____ （等腰三角形底边上的高是底边上的中线）
性质辨析
如图，在△ABC中，AB=AC. 若BD是∠ABC的平分 线，那么BD一定是AC边上的中线或者高吗？A
D
等腰三角形的性质一：
B
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
本课小结
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换） B
D
C
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
等腰三角形ABC的顶角∠A的平分线AD同时也是底边 上的中线、底边上的高.
性质探究
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠B=70°（已知）
∴ ∠C=70°（等量代换）
B
C
性质探究
思考1：通过全等，你还能得到哪些等量关系？
解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
A
….
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等） B
A
思考并讨论：上述性质可以如何分解？ 如何用符号语言来表达？
B
D
C
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言1
在△ABC中，
∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD （已知）
B
D
C
∴_B_D_=_C_D_（__等__腰__三__角__形的顶角平分线是底边上的中线）
重合. 因此∠B=∠C.
通过叠合我们还发现等腰三角形是轴对称图形.
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
B
D
C
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的意义）.
在△ABD与△ACD中，
AB=AC(已知)
B
D
C
∠BAD=∠CAD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.A.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
性质应用
• 古代的水准仪由一个等腰三角形 及悬挂在顶点处的铅垂线组成， 如右图所示。测量时，调整底边 的位置，如果铅垂线经过底边中 点，就表明底边垂直于铅垂线， 即底边是水平的。
埃及古墓中出土的水准仪
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形的顶角平分线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言2
在△ABC中，
∵AB=AC, BD=CD （已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_A_D（__等__腰__三角形的底边上的中线是顶角平分线）
• 等腰三角形与不等边三角形相比有何特殊之处？
等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等。 （简称“等边对等角” ）
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
等腰三角形是轴对称图形
神秘符号
在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何 图形，往往成了神圣的符号而被人们用作护身符. 下图是埃及古墓中出土的形如测量工具的护身符， 也是一个测水准的工具.
腰 底角 C
性质探究
思考：借助你手中的等腰三角形，猜想等腰三角形的 两个底角有什么关系？为什么？
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
猜想：∠B=∠C
B
C
性质探究
思考：如何将刚才的操作加以说理，得到∠B=∠C ？ 叠合法
找到等腰三角形ABC顶角∠A的平分线AD，
将△ABD沿AD所在的直线AD翻折后，射线 AB与射 线 AC叠合. 由于AB=AC，因此线段 AB与线段 AC重合. 又因为点D与点D重合，所以线段 BD与线段 CD也
性质探究
等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等。 （简称“等边对等角” ）
思考：该结论如何用符号语言表述？
符号语言：在△ABC中， ∵ AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（__等_边__对__等_角__）
A
B
C
性质应用
例题 如图，已知AB=AC，∠B=70°，求∠C的度数；
解：在△ABC中，
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
∵△ABD≌△ACD（已求）.
A
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
_B_D_=_C_D____ （等腰三角形底边上的高是底边上的中线）
性质辨析
如图，在△ABC中，AB=AC. 若BD是∠ABC的平分 线，那么BD一定是AC边上的中线或者高吗？A
D
等腰三角形的性质一：
B
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
本课小结
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换） B
D
C
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
等腰三角形ABC的顶角∠A的平分线AD同时也是底边 上的中线、底边上的高.
性质探究
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠B=70°（已知）
∴ ∠C=70°（等量代换）
B
C
性质探究
思考1：通过全等，你还能得到哪些等量关系？
解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
A
….
∴BD=CD（全等三角形的对应边相等） B
A
思考并讨论：上述性质可以如何分解？ 如何用符号语言来表达？
B
D
C
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言1
在△ABC中，
∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD （已知）
B
D
C
∴_B_D_=_C_D_（__等__腰__三__角__形的顶角平分线是底边上的中线）
重合. 因此∠B=∠C.
通过叠合我们还发现等腰三角形是轴对称图形.
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
B
D
C
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的意义）.
在△ABD与△ACD中，
AB=AC(已知)
B
D
C
∠BAD=∠CAD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.A.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质探究
如何用符号语言对上述结论加以说理？
性质应用
• 古代的水准仪由一个等腰三角形 及悬挂在顶点处的铅垂线组成， 如右图所示。测量时，调整底边 的位置，如果铅垂线经过底边中 点，就表明底边垂直于铅垂线， 即底边是水平的。
埃及古墓中出土的水准仪
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形的顶角平分线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言2
在△ABC中，
∵AB=AC, BD=CD （已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_A_D（__等__腰__三角形的底边上的中线是顶角平分线）
• 等腰三角形与不等边三角形相比有何特殊之处？
等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等。 （简称“等边对等角” ）
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
等腰三角形是轴对称图形
神秘符号
在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何 图形，往往成了神圣的符号而被人们用作护身符. 下图是埃及古墓中出土的形如测量工具的护身符， 也是一个测水准的工具.
腰 底角 C
性质探究
思考：借助你手中的等腰三角形，猜想等腰三角形的 两个底角有什么关系？为什么？
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
猜想：∠B=∠C
B
C
性质探究
思考：如何将刚才的操作加以说理，得到∠B=∠C ？ 叠合法
找到等腰三角形ABC顶角∠A的平分线AD，
将△ABD沿AD所在的直线AD翻折后，射线 AB与射 线 AC叠合. 由于AB=AC，因此线段 AB与线段 AC重合. 又因为点D与点D重合，所以线段 BD与线段 CD也
性质探究
等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等。 （简称“等边对等角” ）
思考：该结论如何用符号语言表述？
符号语言：在△ABC中， ∵ AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（__等_边__对__等_角__）
A
B
C
性质应用
例题 如图，已知AB=AC，∠B=70°，求∠C的度数；
解：在△ABC中，