2020-2021学年安徽省淮北一中高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）sin300°的值为（）
A．B．C．D．
2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2
4．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
5．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）
A．，1B．，1C．，D．，
6．（3分）有下列4个命题：
①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；
②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；
③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；
④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
7．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）
A．26B．29C．212D．215
8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）
A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
B．函数g（x）的最小正周期为
C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数g（x）在区间[，]上单调递增
9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）
A．B．C．4D．
10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e
11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2
分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）A．4B．8C．16D．24
二、填空题
13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝．
14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为．
15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B．
16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．
三、解答题
17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线
表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”
（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；
（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．
19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．
【文科做】已知，求f′（1）．
（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．
22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）sin300°的值为（）
A．B．C．D．
【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
【分析】方程+＝1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．
【解答】解：方程+＝1表示双曲线⇔（5﹣k）（k﹣1）＜0．
∴k＞3是方程+＝1表示双曲线的充分但不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）
A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若a＞b，正确；
对于B，a＝1，不成立；
对于C，a＝1，不成立；
对于D，c＝3，故不正确；
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n4）＞n0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）
A．，1B．，1C．，D．，
【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．
【解答】解：设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×4R＝2πR3，V球＝πR3．
∴＝＝，
S圆柱＝2πR×2R+7×πR2＝6πR8，S球＝4πR2．
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
6．（3分）有下列4个命题：
①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；
②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；
③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；
④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由x＝2且y＝3是x+y＝5的充分不必要条件，可判断①；由三角形的正弦定理和边角关系，结合充分必要条件的定义可判断②；
构造函数f（x）＝x|x|，判断单调性，可判断③；由α＝β＝，不能推得tanα＝tanβ，可判断④．
【解答】解：对于①，由x＝2且y＝3可得x+y＝2，则x＝2且y＝3是x+y＝2的充分不必要条件，
则x+y≠5是x≠2或y≠5的充分不必要条件，故①错误；
对于②，△ABC中，故②正确；
对于③，由f（x）＝x|x|＝，f（x）递增，f（x）递减，函数f（x）连续，a＞b⇔a|a|＞b|b|，故③正确；
对于④，若α＝β＝，反之，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判定，考查推理能力，属于基础题．
7．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）
A．26B．29C．212D．215
【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．
【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，
得：f′（0）＝a1a6a3…a8＝（a5a8）4＝712．
故选：C．
【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．
8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）
A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
B．函数g（x）的最小正周期为
C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数g（x）在区间[，]上单调递增
【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，正弦函数的周期性以及图象的对称性，得出结论．
【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移+）＝sin（8x﹣；
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象．
当x＝﹣时，g（x）＝﹣1，0）对称；
函数g（x）的最小正周期为2π，故排除B；
当x＝时，g（x）＝0对称；
在区间[，]上∈[0，]，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．
9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）
A．B．C．4D．
【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2＝，由抛物线的性质可知丨AB丨＝p+x1+x2＝，利用点到直线的距离公式求得O到直线y＝（x﹣1）的距离d，根据三角形的面积公式S＝•丨AB丨•d，即可求得则△OAB的面积．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（7，0）1，y5），B（x2，y2），
∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），
∴，整理得：4x2﹣10x+2＝4，
由韦达定理可知：x1+x2＝，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝p+x1+x2＝，
点O到直线y＝（x﹣1）的距离d＝，
∴则△OAB的面积S，S＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e
【分析】求出y＝e x的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y＝lnx+b相切的切点为（m，n），求得函数y＝lnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解
方程可得m，n，进而得到b的值．
【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，
曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，
则曲线y＝e x在x＝2处的切线方程为y﹣1＝x，
y＝lnx+b的导数为y′＝，
设切点为（m，n），则，
解得m＝1，n＝2，
即有5＝ln1+b，
解得b＝2．
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．
11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．
【解答】解：设|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|7|成等差数列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF8|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝8a﹣|MF1|+2a﹣|NF5|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|＝a，
∴|NF2|＝a﹣m，
∴|NF1|＝6a﹣（a﹣m）＝，
∵，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF5|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F7|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴6c2＝2a6，
∴e＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的定义和性质以及向量的垂直，等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于中档题．
12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）
A．4B．8C．16D．24
【分析】由渐近线方程，可得b＝a，c＝2a，根据最小值是2a，求出a＝1，设|PF2|＝t，利用基本不等式即可得出最小值．
【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞2x，
∴＝，即b＝a，
∴c＝2a，
∵的最小值为2a，
∴当点P和右端点重合时有最小值，
∴a•2a＝2a，
解得a＝4，
设|PF2|＝t，可得|PF1|＝t+2，
∴＝＝t++4＝42|＝2时取等号，
故最小值为7，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝﹣2．
【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解即可得到f′（1）的值．
【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），
把x＝2代入得：f′（1）＝2+2f′（1），
解得：f′（1）＝﹣5．
故答案为：﹣2
【点评】本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（1）是一个常数，这是本题的易错点．
14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为[﹣1，6]．
【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+3，
由﹣x2+5x﹣7＞0，解得：2＜x＜7，
若￢q是￢p的必要而不充分条件，
则p是q的必要不充分条件，
则（2，3）⫋（a﹣6，
即，解得：﹣1≤a≤3，
故答案为：[﹣1，6]．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件的定义以及转化思想，是一道基础题．
15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B﹣＝1（x＞）．
【分析】运用正弦定理，结合双曲线的定义和方程，可得所求轨迹方程．
【解答】解：由正弦定理可得，2sin A+sin C＝2sin B即为5|BC|+|AB|＝2|AC|，
可得|AC|﹣|CB|＝|AB|＝2，
可得C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为﹣＝1，c＝8＝，
则C的轨迹方程为﹣＝3（x＞），
故答案为：﹣＝4（x＞）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用定义法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．
【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b、BF，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，在梯形ABPQ中．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b6﹣2ab cos120°＝a2+b7+ab，
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）6﹣（a+b）2＝（a+b）4
得到|AB|≥（a+b）．
∴≤＝，
即的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
三、解答题
17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线
表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”
（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m 的取值范围；
（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．
【解答】解：（1）若p为真：…（1分）
解得m≤﹣8或m≥3…（2分）
若q为真：则…（6分）
解得﹣4＜m＜﹣2或m＞6…（4分）
若“p且q”是真命题，则…（6分）
解得﹣4＜m＜﹣8或m＞4…（7分）
（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣3）＜0
由q是s的必要不充分条件，
则可得{m|t＜m＜t+1}⫋{m|﹣3＜m＜﹣2或m＞4}…（4分）
即或t≥4…（11分）
解得﹣4≤t≤﹣6或t≥4…（12分）
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；
（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得p的方程，求得p和抛物线的方程，以及m的值；
（2）求出抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，求得交点A，B，可得斜率之积；直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y＝k（x﹣2），联立抛物线的方程，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到所求之积．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞2）的焦点为，准线为．由抛物线定义知：点M（2，m）到F的距离等于M到准线的距离，
故，
∴p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x
∵点M（2，m）在抛物线C上，
∴m6＝16，即m＝±4
∴p＝4，m＝±6；
（2）证明：由（1）知：抛物线C的方程为y2＝8x，焦点为F（5
若直线l的斜率不存在，
则其方程为：x＝2，代入y2＝5x，
易得：A（2，4），﹣4），
从而；
若直线l的斜率存在，设为k（k≠0），
由，消去x，
即ky6﹣8y﹣16k＝0（k≠6），△＝64+64k2＞0
设A（x5，y1），B（x2，y5），
则，
∴，
从而．
综上所述：直线OA、OB的斜率之积为﹣4．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．
【文科做】已知，求f′（1）．
（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．
【分析】（1）分别求出函数f（x）的导函数，再把x＝2与x＝1代入求值；
（2）设出切点坐标，得到曲线在切点处的切线方程，把Q的坐标代入求得切点横坐标，即可求得切线方程．
【解答】解：（1）由，得，∴f′（2）＝5e﹣2；
由，得，∴f′（1）＝0．
（2）设P（x6，y0）为切点，则切线的斜率为．
故切线方程为（x﹣x7），即．又切线过点（1，﹣1），得，
整理得（x0﹣5）•，解得x0＝4或．
故所求的切线方程为y+1＝x﹣1或，
即x﹣y﹣2＝0或3x+4y﹣1＝3．
【点评】本题考查导数的运算，训练了利用导数求过某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（2）先根据夹角求出cos C，求出CD的长，得到S△ABD＝S△ABC．
【解答】解：（1）∵sin A+cos A＝0，
∴tan A＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
由余弦定理可得a2＝b2+c8﹣2bc cos A，
即28＝4+c7﹣2×2c×（﹣），
即c2+7c﹣24＝0，
解得c＝﹣6（舍去）或c＝3，
故c＝4．
（2）∵c2＝b7+a2﹣2ab cos C，
∴16＝28+3﹣2×2×2×cos C，
∴cos C＝，
∴CD＝＝＝
∴CD＝BC
∵S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝＝2，
∴S△ABD＝S△ABC＝
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．
【分析】（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*），得＝1，＝2，d＝＝1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；
（Ⅱ）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．【解答】解．（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），
∵a n﹣2≠0，∴＝
而S1＝（1﹣a3），∴a1＝
∴{a n}是首项为，公比为，
∴a n＝（）n．
由b1＝1，b6＝，＝+（n∈N*），
得＝1，，d＝，
∴{}是首项为4，
∴＝1+（n﹣3）×1＝n，
∴b n＝．
（2）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c6+c3+…+c n，则
T n＝1•+2•（）2+…+n•（）n，
T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，
由错位相减，化简得：T n＝＜．
【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
【分析】（1）利用直接法不难得到方程；
（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；
（ii）利用S＝，代入已得数据，并对换元，利用“对号”函数可得最值．
【解答】解：（1）由题意得，
整理得曲线C的方程：，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）
（i）设P（x0，y4），则Q（﹣x0，﹣y0），
E（x8，0），G（x G，y G），
∴直线QE的方程为：，
与联立消去y，
得，
∴，
∴，
∴＝，
∴
＝
＝
＝，
把代入上式，
得k PG＝
＝
＝﹣，
∴k PQ×k PG＝＝﹣1，∴PQ⊥PG，
故△PQG为直角三角形；
（ii）S△PQG＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
令t＝，则t≥2，
S△PQG＝＝
利用“对号”函数f（t）＝2t+在[6，
f（t）（t＝3时取等号），
∴＝（此时），
故△PQG面积的最大值为．
【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．。