高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积训练案 北师大版必修2

1.7.3 球的表面积和体积
[A.基础达标]
1．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
解析：选C.由已知得球的半径为R ＝3，又πr 2＝π，所以r ＝1，所以d ＝R 2－r 2
＝ 2. 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．9π＋42
B ．36π＋18 C.9
2π＋12 D.9
2
π＋18 解析：选D.由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝
4
3
π·(32)3＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝9
2
π＋18.
3．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )
A ．12π
B ．24π
C ．32π
D ．48π
解析：选D.由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为3×4＝
43，即球的半径为23，所以该球的表面积是4π(23)2
＝48π.
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9πB．10π
C．11πD．12π
解析：选D.由三视图可知该几何体上面是个球，下面是个圆柱，由已知数据得表面积S ＝S球＋S圆柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE 与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P­DCE的外接球的体积为( )
A.
43π
27
B.
6π
2
C.
6π
8
D.
6π
24
解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P­CDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为
6
4
，
所以外接球的体积V＝
4
3
π
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫6
4
3
＝
6π
8
.
6．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球的表面积为________．
解析：如图所示为过长方体的一条体对角线AB的截面．
设长方体中有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知有
⎩
⎨
⎧xy＝3，
yz＝5，
zx＝15，
解得⎩
⎨
⎧x＝3，
y＝1，
z＝5，
所以球的半径R＝
1
2
AB＝
1
2
x2＋y2＋z2＝
3
2
.
所以S球＝4πR2＝9π.
答案：9π
7．一个圆柱的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、球的体积之比为________．
解析：设球的半径为R，
则由已知得
V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，
V 球＝43
π
R 3，
所以，V 圆柱∶V 球
＝2πR 3∶43
πR 3
＝3∶2. 答案：3∶2
8．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2
＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则
正方体的面对角线长2 2 等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43
π(2)3
＝
82
3
π. 答案：823
π
9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为
h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的1
6
.
(1)求r 和h ；
(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积．
解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的1
6，
所以半球部分与圆柱体部分容量比为1
5
，
即15＝43
πr 3×
12πr 2
×h
， 所以h ＝103r ，43πr 3
×12＝108π×16
，
所以r ＝3(cm)，h ＝10(cm)．
(2)V ＝43πr 3×12＋πr 2
×(h －4)
＝43π×33×12
＋π×32×6＝72π(cm 3
)． 10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
解：设正方体的棱长为a .如图所示．
图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a
2
，
所以S 1＝4πr 21＝πa 2
.
图(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，
过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r 2＝2a ，r 2＝2
2
a ，
所以S 2＝4πr 22＝2πa 2
.
图(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r 3＝3a ，r 3＝3
2
a ，
所以S 3＝4πr 23＝3πa 2
.
综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.
[B.能力提升]
1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π 解析：选A.如图，过正三棱锥P ­ABC 的顶点P 作PM ⊥平面ABC 于点M ，
则球心O 在PM 上，|PM |＝6，连接AM ，AO ，则|OP |＝|OA |＝R ，在Rt △OAM
中，|OM |＝6－R ，又|AB |＝6，且△ABC 为等边三角形，故|AM |＝23
62－3
2
＝23，则R 2
－(6－R )2
＝(23)2
，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2
＝64π.
2．三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( )
A.32π
B.32π C ．3π D ．12π
解析：选C.由题意可知SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，则SC 是球的直径． 因为SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得AC ＝2，SC ＝3，
所以R ＝3
2
，
所以S ＝4π×(
32
)2
＝3π，故选C. 3．若一个底面边长为3
2
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．
解析：如图，O 1O 2＝6，OO 1＝
62
， AO 1＝
32
， 所以AO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫622＝32， 即R ＝32
.
所以V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9
2π.
答案：92
π
4．三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π
3
的球的表面上，△ABC 所在的小圆面积为
16π，则该三棱锥的高的最大值为________．
解析：如图所示，因为△ABC 所在小圆面积为16π， 所以小圆半径r ＝O ′A ＝4.
又球的体积为500π3，所以4πR 3
3＝500π
3
，
所以球半径R ＝5，所以OO ′＝3.
当P 在OO ′上时取得最值，
所以三棱锥的高满足2≤PO ′≤8. 答案：8
5.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3
(结果精确到0.1)? (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
解：(1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ，
所以两个半球的体积之和为V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3
)．
又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3
)．
所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3
)．
(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2
)．
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2
)，
所以1个“浮球”的表面积为S ＝36π＋12π104
＝48π10
4(m 2
)． 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S ＝2 500×48π10
4＝12π(m 2
)．
因为每平方米需要涂胶100克，
所以共需要胶100×12π＝1 200π(克)．
6．(选做题)已知四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高．
(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径； (2)求四棱锥外接球的半径．
解：(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．
设球的半径为R ，球心为S ，如图，连接SA ，SB ，SC ，SD ，SP .
因为最大球与四棱锥各面都相切，
所以三棱锥S ­PAB ，S ­PBC ，S ­PCD ，S ­PAD 与四棱锥S ­ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P ­ABCD .
因为PD 为四棱锥P ­ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形， 又PA ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，
所以PB 2＝PA 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2
，
所以△PAB ，△PCB 为直角三角形且全等．
所以S △PAB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2
，
S △PDA ＝S △PDC ＝1
2a 2，S 正方形ABCD ＝a 2，
所以V P ­ABCD ＝13·a 2
·a ＝13
a 3.
V S ­PAB ＝V S ­PBC ＝1
3
·
22a 2·R ＝26a 2R ，V S ­PAD ＝V S ­PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ­ABCD ＝13·a 2·R ＝1
3
a 2R ， 因为V P ­ABCD ＝V S ­PAB ＋V S ­PBC ＋V S ­PAD ＋V S ­PDC ＋V S ­ABCD ，
所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13
a 2
R ，即(2＋2)R ＝a ，
所以R ＝(1－
22)a ，即球的最大半径为(1－2
2
)a . (2)由(1)知△PAB ，△PCB 为直角三角形，若M 为斜边PB 的中点，则MA ＝MB ＝MP ＝MC . 连接BD ，因为PD ＝a ，PB ＝3a ，BD ＝2a ，
所以PB 2＝PD 2＋BD 2
，即△PDB 为直角三角形，PB 为斜边， 所以MD ＝MB ＝MP ，
所以M 为四棱锥P ­ABCD 外接球的球心，
所以外接球半径R ′＝12PB ＝3
2
a .。