2014高考数学(理)一轮复习检测2.3函数的奇偶性与周期性.

2.3函数的奇偶性与周期性
、选择题
1设f(x)为定义在R上的奇函数.当x》0时，f(x) = 2x+ 2x+ b( b为常数)，贝U f (—1)等于().
A. 3 B . 1 C . —1 D . —3
解析由f( —0) = —f(0)，即f(0) = 0.则b=—1,
f(x) = 2x+ 2x—1, f( —1) =—f(1) =—3.
答案D
2. 已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+ 2) = —f (x)，贝U f(6)的值为().
A. —1 B . 0 C . 1 D . 2
n i n| n
解析(构造法)构造函数f (x) = sin "2x，则有f(x+ 2) = sin x + 2 =—sin "2 x =
n
—f (x)，所以f (x) = sin "2x是一个满足条件的函数，所以f(6) = sin 3 n = 0，故选B.
答案B
【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用
方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.
3. 已知函数y = f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(| x|)为偶函
数；②f(x) + f( —x)为非奇非偶函数；③f(x) —f( —x)为奇函数；④[f(x)] 2为偶函数.其中正确判断的个数有()
A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
解析对于①，用—X代替x，得f(| —x|) = f(| x|)，所以①正确；对于②，用—X代替x,
得f ( —x) + f (x) = f (x) + f ( —x)，所以②错误；对于③，用一x代替x，得f ( —x) —f (x) =—[f(x) —f( —x)]，所以③正确；易知④错误.
答案B
4. 已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x€ [0,1)时，f(x) = 4x—1，则f (—
5.5)的值为()
1
A. 2 B . —1 C . —2 D . 1
解析f( —5.5) = f( —5.5 + 6) = f (0.5) = 40.5—1 = 1.
答案D
5. 设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(一2,1]
上的图像，贝U f (2 011) + f (2 012)=( )
A. 3 B . 2
C. 1 D . 0
解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以
f(2 011) + f (2 012) = f(670 X 3+ 1) + f(671 X 3—1) = f(1) + f ( —1)，而由图像可知f(1) = 1, f( —1) = 2,
所以 f (2 011) + f (2 012) = 1 + 2 = 3. 答案：A 1
6.
设偶函数f (x )对任意x € R,都有f (x + 3) =-f —厂，且当x € ［ — 3, - 2］时，f (x )=
4x ,贝U f (107.5)=(
)
1
f x + = f (x )知该函数为周期函数，周期为
f 6x 18- 2 = f -舟，又f (x )为偶函数，贝 答案：B 7. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，
g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x ) = f (x - 1)，则 f (2009) + f (2011)的值为( )
A. - 1 B . 1 C. 0 D .无法计算
解析 由题意得g ( -x ) = f ( - x - 1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以 g ( - x ) =- g ( x ), f ( - x ) = f (x ) ,••• f (x - 1) =-f (x +1) ,••• f (x )=- f (x + 2) , • f (x ) = f (x + 4) , • f (x )的周期为 4 ,
• f (2009) = f (1) , f (2011) = f (3) = f ( - 1),
又••• f (1) = f ( - 1) = g (0) = 0, • f (2009) + f (2011) = 0. 答案：C 二、填空题
&若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1) = 1, f (2) = 2,则f (3) - f (4) = ___________________ . 解析 •/ f (x + 5) = f (x )且 f ( -x ) = - f (x ),
• f (3) = f (3 - 5) = f ( - 2) =-f (2) =-2 , f (4) = f ( - 1) =- f (1) =- 1,故 f (3) - f (4)=
(-2) - ( - 1) =- 1. 答案 —1
9.设奇函数f (x )的定义域为［—5,5］,当x € ［0,5］时，函数y = f (x )的图象如图所示，则
使函数值y v 0的x 的取值集合为
解析 由原函数是奇函数， 所以y = f (x )在［-5,5］上的图象关于坐标原点对称， 由y = f (x )
在［0,5］上的图象，得它在［—5,0］上的图象，如图所示.由图象知，使函数值 y v 0的x 的
取值集合为(一2,0) U (2,5).
-10
D
A. 10
B.
解析］由f (x + 6)=
丄
.-70
6，所以 f (107.5)=
-2 = f =
x >0时是单调函数，则满足 f (2x ) = f X ±4的所有X 之和为
解析
•/
f (x )是偶函数，f (2 x ) = f x + 4 ,
fx±l 、
••• f(|2 x |) = \x ± 4 丿，
又:f (x )在(0 ,±g )上为单调函数， x + 1
• |2 x | = x ± 4 ,
x ± 1 x ± 1
即 2x = x ± 4或 2x = — x ± 4，
整理得 2x 2
± 7x — 1 = 0或 2x 2
± 9x ± 1= 0,
设方程2x 2
± 7x — 1 = 0的两根为X 1, X 2，方程2x 2
± 9x ± 1= 0的两根为X 3, X 4.
7 ( P
则(X 1± X 2)± (X 3± X 4)=— 2 ± — 2 =— 8. 答案—8
1
11. 已知函数 f (x )满足：f (1) = 4, 4f (x ) f (y ) = f (x ± y ) ± f (x — y )( x , y € R)，则 f (2 013)
1 1
解析 法一当 x = 1, y = 0 时，f (0) = 2；当 x = 1, y = 1 时，f (2) =— 4;当 x = 2, y = 1 1 1 1
时，f (3) = — 2；当 x = 2, y = 2 时，f (4) =— 4;当 x = 3, y = 2 时，f (5) = 4;当 x = 3, y 1 1 1
=3 时，f (6) = 2；当 x = 4, y = 3 时，f (7) = 4;当 x = 4, y = 4 时，f (8) = — 4 ….
• f (x )是以6为周期的函数,
1
• f (2 013) = f (3 ± 335 X 6) = f (3) = — 2.
法二 T f (1) = 4, 4f (x ) • f (y ) = f (x ± y ) ± f (x — y ), 1 n •构造符合题意的函数 f (X ) = 2COS 3X ,
>1
答案 (—2,0) U (2,5) 10.设f (x )是偶函数，且当
1 n、1
•f(2 013) = 2cos 3X 2 013 =—2.
1
x €
x
7 1
11
13•对任意实数x ，给定区间]k — 2, k + 2 (k € Z)，设函数 内整数之差的绝对值. 1 1
—2，2时，求出函数f (x )的解析式；
1 1] f (x )表示实数x 与x 的给定区间
(1)当 x €
⑵ 当x € k — 2, k
+ 2 ( k € Z)时，写出用绝对值符号表示的 ⑶ 判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论. f (x )的解析式，并说明理由; 解析⑴ 7 1
当x € ]— 2，2 -时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f (x )=|x | , x € € k — 2, k + 2 (k € Z)时，k 为给定区间内的整数，故
1 ⑵当
k — 2 k + 2」
k € Z). f (x ) = |x — k | ,
答案 一2
12. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x € R 恒有f (x + 1) = f (x — 1)，已知当
x € [0,1]时 f (x ) = 2 1— x
，则
①2是函数f (x )的周期； ② 函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增; ③ 函数f (x )的最大值是1，最小值是0; ④
当 x € (3,4)时，f (x ) = 2
x — 3
其中所有正确命题的序号是 解析由已知条件：f (x + 2) = f (x ), 则y =f (x )是以2为周期的周期函数，①正确;
当一K x <0 时 O W — x < 1,
如图所示:
-1 0
当 3<x <4 时，一1<x — 4<0,
2
f (x ) = f (x — 4)=运J —3
,因此②④正确.③不正确.
答案①②④ 三、解答题
f (x ) = f ( — x )=
+ x
,函数 y = f (x )的图象
1 1
⑶对任意x€ R,函数f(x)都存在，且存在k€乙满足k —2< x w k + 2, f(x) = | x- k|，由
111 1 71 11
k—2w x w k+ 2,得一k —2^—x w—k+ 2，此时一k是区间—k —2, —k + 2 内的整数，因
此f( —x) = | —x —(—k)| = | —x + k| = | x—k| = f(x)，即函数f(x)为偶函数.
14. 已知函数f (x)对任意x, y€ R,都有f(x+ y) = f(x) + f (y),且x> 0 时,f(x) v 0, f(1) =—2.
(1) 求证f (x)是奇函数；
⑵求f (x)在[—3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明令x= y= 0，知f (0) = 0;再令y = —x,
则f(0) = f(x) + f( —x) = 0，所以f(x)为奇函数.
⑵解任取X1 v X2,则X2—X1 > 0，所以f ( X2—X1)= f [ X2+ ( —X1)] = f ( X2) + f ( —X1)= f(X2) —f (X1) v 0，所以f (x)为减函数.而f(3) = f (2 + 1) = f (2) + f(1) = 3f(1) = —6, f( —3)= —f (3) = 6.所以f(X)max= f ( —3) = 6, f(X)min= f (3) =一6.
15. 已知函数f(x)是(—s,+s )上的奇函数，且f (X)的图象关于x= 1对称，当x € [0,1]
时,f(x) = 2X—1,
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 当x € [1,2]时，求f(x)的解析式；
(3) 计算f(0) + f (1) + f (2) +•••+ f (2013)的值.
解析(1)证明函数f (X)为奇函数，则f (—X) =—f (X)，函数f (X)的图象关于X = 1对称，则f (2 + x) = f ( —x) = —f (X),所以f (4 + x) = f [(2 + X) + 2] =—f (2 + x) = f (x),所以f (x) 是以4为周期的周期函数.
⑵当X € [1,2]时，2—x€ [0,1],
又f(x)的图象关于x= 1 对称，则f(x) = f (2 —x) = 2 — 1 , x€ [1,2].
⑶•/ f(0) = 0, f(1) = 1 , f(2) = 0,
f(3) = f( —1) =—f(1) =—1
又f(x)是以4为周期的周期函数.
••• f (0) + f(1) + f (2) +•••+ f (2013)
=f (2 012) + f (2 013) = f (0) + f (1) = 1.
16. 设f (x)是(—8,+^ )上的奇函数，f(x+ 2) = —f (x)，当0w x wi 时，f (x) = x.
(1)求f ( n )的值；
⑵当一4w x W4时，求f (x)的图象与x轴所围成图形的面积；
⑶写出(—8,+8 )内函数f (x)的单调增(或减)区间.
解析(1)由f(x + 2) = —f (X)得，
f(x + 4) = f[( x + 2) + 2] =—f(x+ 2) = f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
• I f( n ) = f ( —1 X 4+ n ) = f ( n —4) = —f (4 — n )
=—(4 — n ) = n —4.
(2)由f (x)是奇函数与f(x + 2) =—f (x),
得：f[( x —1) + 2] = —f(x —1) = f[ —(x—1)], 即f(1 + x) = f(1 —x).
故知函数y= f(x)的图象关于直线x= 1对称.
又O W x<1时，f(x) = x,且f (x)的图象关于原点成中心对称, —4< x<4时，f (x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则
S= 4S^OAB= 4 X >2 X 2X1 = 4.
r j
-1O A
3 ,
-4 -3 -2\^/
⑶函数f(x)的单调递增区间为[4 k —1,4 k+ 1]( k€ Z), 单调递减区间[4 k + 1,4 k+ 3]( k € Z).
则f (x)的图象如图所示.当。