山西省晋城市第一中学校2023届高三上学期第六次调研数学试题(解析版)

晋城一中高三年级第六次调研考试
数学试题
第I 卷
一､单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1.若集合{
A y y ==，{}3
log 2B x x =≤，则A B = （
）
A.
(]0,9 B.
[)
4,9 C.
[]4,6 D.
[]
0,9【答案】A 【解析】
【分析】先解出集合A 、B,再求A B .
【详解】因为{{}0A y y y y ==
=≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.
故选：A ．
2.若12i z =-+，则i
4
z z z +=⋅-（
）
A.13i -+
B.13i
-- C.13i
+ D.13i
-【答案】A 【解析】
【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可【详解】因为12i z =-+，
所以()()412i 12i 41441z z ⋅-=-+---=+-=，所以
i
i 13i 4
z z zz +=+=-+-，故选：A
3.在ABC 中，角
A 、
B 、
C 的对边分别为a 、b 、c ，若tan A =，ABC ，则bc 的最小值为（）
A.16
B.
C.48
D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出角A 的值，利用三角形的面积公式可得出4
bc
a =，利用余弦定理结合基本不等式可求得bc 的最小值.
【详解】因为0A π<<且tan A =，则23
A π=，
因为1sin 24
ABC S bc A =
==△，所以，4bc a =，
由余弦定理可得
()2
222222cos 316
bc a b c bc A b c bc bc ==+-=++≥，所以，48≥bc ，
当且仅当b c ==bc 的最小值为48.故选：C.
4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅
的取值范围是（）
A.()2,6-
B.(6,2)-
C.(2,4)-
D.(4,6)
-【答案】A 【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB
方向上的投影的取值范围是(1,3)-，
利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
AB
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到AP 在AB
方向上的投影的取值范围是(1,3)-，
结合向量数量积的定义式，
可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB
方向上的投影的乘积，
所以AP AB
⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
5.已知函数()sin f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（）
A.
6
π
B.
3
π
C.
23
π D.
43
π【答案】C 【解析】
【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.
【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=-
⎪⎝
⎭
，令,3x k k Z ππ-
=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，
又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，所以1223
k x x π
π=+
+，当0k =时，12x x +的最小值为23
π.故选：C.
6.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）
A.事件B 与事件C 是对立事件
B.事件A 与事件B 不是相互独立事件
C.()()()18P A P B P C ⋅⋅=
D.()18
P ABC =
【答案】C 【解析】
【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A ，事件B 与事件C 是相互独立事件，但不是对立事件，故A 错误；对于B ，对于事件A 与事件B ，()()()111
,,224
P A P B P AB ===,事件A 与事件B 是相互独立事件,故B 错误；
对于C ，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4416⨯=种，
其中，事件A 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有22228⨯+⨯=种，所以()81
162
P A ==，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以()21
42P B =
=，()2142
P C ==，所以()()()3
1128
P A P B P C ⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D ，事件ABC 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故()221
444
P ABC ⨯==⨯，故D 错误.故选：C ．
7.ABC 中，2222sin 3sin sin 2sin sin sin A C B A B C +-=，则B =（）
A.
π4
B.
3π4
C.
π4
或
3π4 D.以上都不对
【答案】B 【解析】
【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理和基本不等式求得最小值，利用辅助角公式求得最大值，即可得到B 的取值.
【详解】因为2222sin 3sin sin 2sin sin sin A C B A B C +-=，
由正弦定理得22222222232sin 22sin a c b ac B a c b a c ac B +-=⇒+-++=,
由余弦定理得222cos 22sin ,ac B a c ac B ++=即12sin cos 2a c B B c a ⎛⎫
-=
+≥ ⎪⎝⎭
又πsin cos 4B B B ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭则πsin cos 4B B B ⎛
⎫-=-= ⎪⎝
⎭当且仅当ππ2π,Z 42B k k -
=+∈时，即3π
2π,Z 4
B k k =+∈时取等，因为0πB <<,所以3π
4
B =.
故选:B.
8.已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意
两点，且12//PF QF ．若12PF QF b +≥，则C 的离心率的取值范围是（）
A.10,2
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
B.1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C.30,2⎛ ⎝⎦
D.3,12⎫
⎪⎪⎣⎭
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由条件结合椭圆性质可知11PF F A PA +=，再通过通径的性质有2
min
2PA b b a
=≤即可得解.【详解】由点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由12//PF QF 再结合椭圆的对称性，易知11PF F A =，所以11PF F A PA +=，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当PA 垂直x 轴时，PA 最短，所以2
min
2PA b b a
=≤，所以22ab b ≤，
解得02
e <≤.故选：C
9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3
AOD π
∠=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（
）
A.
13
B.
4
C.
4
D.
3
【答案】C 【解析】
【分析】根据已知条件证明//DB AC ，得到SAC ∠或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.在SAC 中利用余弦定理计算可得结果.
【详解】如图，连接,,,AD BC AC SC .
因为O 为,AB CD 中点，且AB CD =，所以四边形ADBC 为矩形，所以//DB AC ，所以SAC ∠或其补角为异面直线SA 与BD 所成的角.
设圆O 的半径为1，则SA SC ==因为3AOD π∠=
，所以3
ADO π∠=.
在直角DAC △中，2CD =，得AC =.
所以222
6
cos
4SAC ∠=
，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为64
.故选：C.10.已知6
ln1.25a =，0.20.2e b =，13
c =，则（）
A.a b c
<< B.c b a
<<
C.c a b <<
D.a c b
<<【答案】A 【解析】
【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令
()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的
大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6
ln1.2 1.2ln1.25
a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<
时，()0f x '<，当1
e
x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上递减，在1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增，令()e 1x
g x x =--，则()e 1x g x '=-，
当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.2
1
e
10.2 1.2e
>+=>，
所以()()0.2
e
1.2f f >，
即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得(
)0.2
11
ln ln 0.2e ln 55
b ==+，由13
c =
，得1ln ln 3
c =，11151
ln ln ln ln ln 35535
c b -=--=-，
因为5
5625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭
，
所以1
55
e 3
>，所以51ln 35>，
所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，
所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.
【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.
二､多选题（本题共2小题，每题5分，共10分，下列四个选项中有多个符合题意，全部选对5分，部分选对3分，有选错的0分）
11.已知向量)
a = ，()()cos ,sin 0
b θθθπ=≤≤
，则下列命题正确的是（
）
A.若a b ⊥
，则tan θ=
B.若b 在a 上的投影向量为36a - ，则向量a 与b 的夹角为
23π C.若b 与a 共线，则b 为63,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或63,33⎛⎫
-- ⎪ ⎪
⎝⎭
D.存在θ，使得a b a b
+=+ 【答案】BD 【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示可知A 错误，由投影向量的定义可知B 正确，由单位向量和共线向量的定
义可知C 错误，由向量a 与b 同向，可求得tan 2
θ=，可知D 正确.
【详解】对于A ，若a b ⊥
sin 0θθ+=，即tan θ=A 错误；
对于B ，a = ，b 在a 上的投影为1
2=-，又因为1= b ，所以1cos 2θ=-，
23
π
θ∴=
，B 正确；
对于C ，若b
与a
共线，设b =
)
,λ1=，解得3
λ=±，
因为()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤ ，sin 0θ≥，33λ∴=，所以63,33
b = ，C 错误；
对于D ，若a b a b +=+ 成立，则a 与b 同向，所以,(0)a b λλ=>
cos λθ=，1sin λθ=，
解得2
tan 2
θ=，故D 正确.故选：BD.
12.已知函数()y f x a =-的图象关于直线x a =对称，函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+<(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是（
）
A.
36f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.36f ππ⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.43f ππ⎛⎫⎛⎫<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.()04f π⎛⎫>
- ⎪⎝⎭
【答案】AD 【解析】
【分析】根据已知条件，易得函数()y f x =偶函数，再结合()()cos sin 0f x x f x x '+<，构造函数()()cos f x g x x
=
-，只需判断函数()y g x =的单调性，即可做出正确选择.
【详解】由()()cos sin 0f x x f x x '+<，得()()()()cos cos 0f x x f x x ''--->，
令()()
cos f x g x x =-，0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，则()()()()()()
2
cos cos cos f x x f x x g x x ''---'=-，因()()()()cos cos 0f x x f x x ''--->，则()0g x '>，故()y g x =在区间0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，因函数()y f x a =-的图象关于直线x a =对称，知函数()y f x =偶函数，故函数()y g x =也为偶函数.对于选项A ，因0632πππ<
<<，则63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
36f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此A 正确；对于选项B ，因0632πππ>-
>->-，则63g g ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
36f ππ⎛⎫⎛⎫
-
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此B 错；对于选项C ，因0432πππ<
<-<，则43g g ππ⎛⎫⎛⎫
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
34f ππ⎛⎫⎛⎫-
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此C 错；对于选项D ，因042ππ<-
<，则()04g g π⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，
()04f π⎛⎫
-
< ⎪⎝⎭
，因此D 正确.故选：AD.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
第II 卷
三､填空题（每空5分，共20分）
13.在6()2x y x y ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
的展开式中，x 2y 5项的系数是___________.【答案】-12【解析】
【分析】6()x y +的通项为616C r r
r r T x
y -+=，求出65,T T 的系数即得解.
【详解】解：6()x y +的通项为616C r
r
r r T x
y -+=，
令61,5,r r -=∴=此时555
66C 6T xy xy ==，令4,r =此时42424
56C 15T x y x y ==，
所以展开式中，x 2y 5项的系数是1
615122
⨯-=-.故答案为：-12
14.已知A ，B 是球O 的球面上两点，2AB =，过AB 作互相垂直的两个平面截球得到圆1O 和圆2O ，若
190AO B ∠= ，260AO B ∠= ，则球的表面积为__________.
【答案】20π
【解析】
【分析】结合球体和圆的性质，分别求出1OO 和1O A ，然后利用勾股定理求球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可.
【详解】由题意，取AB 的中点H ，连接1OO ，2OO ，1O H ，2O H ，如下图所示：
由球体性质可知，四边形12OO HO 为矩形，
因为2AB =，190AO B ∠= ，260AO B ∠=
，
所以11O A O B ==，且2AO B V 为正三角形，
故222O A O B ==，21O H OO =，
从而球O 的半径R OA ===，
故球的表面积为2420S R ππ==.
故答案为：20π.
15.已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是___________.
【答案】[]
1,1-【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，根据题意得到符合条件的点在以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点之间，再联立方程组求解即可.
【详解】
如图圆()1,0C ，P 在直线10x y -+=上，
若圆存在点Q ，使得30CPQ ∠= ，
当P 在直线10x y -+=上运动，极端情况，PQ 与圆C 相切，30CPQ ∠= .
在RT CPQ △中，1CQ =，所以2CP =.
所以以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点.
符合条件的点在线段1PP 之间.
所以()22101214x y x y x y -+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩或10
x y =-⎧⎨=⎩.故0x 的取值范围为[]1,1-.
故答案为：[]
1,1-16.如图，在四边形ABCD 中，60,3,6B AB BC ∠=== ，且3,,,2
AD BC AD M N AB λ→→→→=⋅=-是线段BC 上的动点，且1MN →=，则DM DN →→⋅的最小值为
__________.【答案】
132
##6.5【解析】
【分析】先根据已知求出16
λ=，再以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），再利用二次函数求解.
【详解】AD BC λ→→
=Q ，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ→→→→→→
⋅=⋅=⋅o 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭
，解得16
λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，
()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,
∵又∵16AD BC →
→
=,则5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），
533,22DM x →
⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x →⎛=-- ⎝⎭，()2
22533321134222222DM DN x x x x x →→⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN →→⋅取得最小值
132
.故答案为：132.
四､解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）
17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c B ，cos B -是方程220x x k -+=的两个实根.
（1）求B 和k ；
（2）若2sin sin cos 21A C B +=，求sin sin A C +的值.
【答案】（1）π3B =，38k =-，
（2【解析】
【分析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；
（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，180k ∆=-≥，即18
k ≤，
cos 1B B -=，cos 2B B k =，将sin
B =22sin cos 1B B +=解得1cos 2
B =，又∵B 是△AB
C 的内角，∴π3
B =，
∴ππcos 233
k =，解得38k =-，【小问2详解】
由2sin sin cos 21A C B +=得2sin sin sin B A C =，
根据正弦定理可得2b ac =，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=，即22122a c ac ac
+-=，∴a c =，又∵π3
B =，∴△AB
C 是等边三角形，
因此sin sin A C +=.
18.已知数列{}n a 和{}n b 的项均为正整数，前n 项和分别为,n n S T ，且()2*12n n n
S n n T =+∈-N ．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n a b 的前n 项和．
【答案】（1）2,1,21, 2.
n n a n n =⎧=⎨-⎩ ，12n n b -=（2）(23)24
n n -⋅+【解析】
【分析】（1）根据整数的性质可得2121n n n S n T ⎧-=⎨-=⎩或2121
n n n S n T ⎧-=-⎨-=-⎩，从而可求n S ，n T ，从而可求,n n a b .（2）利用错位相减法可求n C .
【小问1详解】
因为{}n a 和{}n b 的项均为正整数，所以前n 项和,n n S T 也为正整数．又()2*12n n n
S n n T =+∈-N ，从而得()()221n n n S n T --=，所以得2121n n n S n T ⎧-=⎨-=⎩或2121
n n n S n T ⎧-=-⎨-=-⎩，
若21n S n -=-，则110a S ==，与{}n a 的项均为正整数相矛盾，故不符合题意，
所以2
1n S n =+，21n n T =-．当1n =时，112a S ==，
当2n 时，()2
2111121n n n a S S n n n -=-=+---=-，所以2,1,21, 2.
n n a n n =⎧=⎨-⎩ 同理，12n n b -=．
【小问2详解】
记{}n n a b 的前n 项和为n C ，
当1n =时，12a =，11b =，所以1112C a b ==；
当2n 时，则21213252(21)2n n C n -=⨯+⨯+⨯++-⋅ ，①
①2⨯，得232223252(21)2n n C n =⨯+⨯+⨯++-⋅ ，②
由①-②得()2482
1(21)2n n n C n --=+---⋅，化简得(23)24n n C n =-⋅+，
而12C =也符合该式，
综上，{}n n a b 的前n 项和(23)24n
n C n =-⋅+．19.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .
（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面；
（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3
π，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）77
-
.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；
（Ⅱ）连结PF ，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF ⊥底面ABCD ，这样可以建立以FA ，FB ，FP
分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）//BC ∴四边形BCDF 是平行四边形
//BF CD ∴.
又CD AD ⊥ ，BF AD ∴⊥.
又 面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，
BF ⊂面ABCD
BF ∴⊥面PAD
且BF ⊂面BEF
∴平面BEF ⊥平面PAD .
（Ⅱ）连结PF ，PA PD = ，F 为AD 中点，PF AD
∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD AD =，
PF ∴⊥底面ABCD ，
又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，
()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n = ，()1,1,PC t =-- ，()0,1,0B ，
11sin 3n PC n PC π⋅∴=⋅
32=
，t ∴
=(P ∴，116,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =
，22
1102220n FE x y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =
，x ∴=
)
2n = .设二面角E BF A --的平面角为θ
12127cos 7n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos 7θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为77
-.
【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.
20.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X
i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x
+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用公式计算可得()E X .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）设()()32
32101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32
322030f x p x p x p p p x p =+-+++，
若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.
()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，
因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，
故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，
且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，
若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，
而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为23
0123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，
若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.
若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.
此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，
故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，
且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，
而()10f =，故()40f x <，
又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.
所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，
故当()1E X >时，1p <.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
21.如图，椭圆()2222:10y x M a b a b =>>+的两顶点()2,0A -，()2,0B ，离心率32
e =，过y 轴上的点
()()40,,0t F t t <≠的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .
（1）当t =且4CD =时，求直线l 的方程；
（2）当点P 异于A ，B 两点时，设点P 与点Q 横坐标分别为P x ，Q x ，是否存在常数λ使P Q x x λ⋅=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（10y -+=0
y +-=（2）存在，4
λ=【解析】
【分析】（1）先求得椭圆M 的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l 的方程；
（2）先以设而不求的方法得到P Q x x 、的解析式，再去计算P Q x x ⋅是否为定值即可解决.
【小问1详解】椭圆的方程()22
2210y x a b a b
+=>>，由题可得2b =；
由2
c e a ==，结合222a b c =+，得4a =，椭圆的标准方程：22
1164
y x +=；当直线l 的斜率不存在时，8CD =，与题意不符，
故设直线l 的方程为y kx =+，代入椭圆方程22416
y x +=
整理得()22
440k x ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，
1224
x x k -+=+，12244x x k -⋅=+；
()228144k CD k +∴====+，
解得k =则直线l
0y -+=
0y +-=.
【小问2详解】
当直线l 的斜率不存在时，直线l 与y 轴重合，
由椭圆的对称性可知直线AC 与直线BD 平行，不符合题意；
∴由题意可设直线的方程：x my n =+()0,0m n ≠≠代入椭圆方程，
得()2221484160m y mny n +++-=；设()11,C x y ，()22,D x y ，
122814mn y y m -∴+=+，212241614n y y m
-⋅=+；()2
121242n my y y y n
-∴⋅=+①直线AC 的方程为()1122
y y x x =++②则直线BD 的方程为()2222y y x x =
--③由②③得()()()()()()
1212121212112222222222y x y my n my y y n x x y x y my n my y y n -+-+--===++++++由①代入，得()()()()(
)()()()2121222222222n n y n y n x x n n n y n y -++-⎡⎤--⎣⎦==+++++-⎡⎤⎣⎦，解得4x n
=，即4Q x n =；且知P x n =；44P Q x x n n ∴=⨯=⋅（常数）即点P 与点Q 横坐标之积为定值4.故存在常数4
λ=22.已知函数()e ()x f x x x a =-+，21l )n (g x x x =-+.
（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的最小值；
（2）求证：当a 取（1）中的最小值时，()()f x g x ≥.
【答案】（1）最小值为1-；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先根据题意的得到()(1)e 20x f x x x a '=+-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，设()2(1)e x h x x x =-+，从而得到max ()a h x ≥，再根据()h x 在(0,)+∞上单调递减求解即可.
（2）首先根据题意得到证明e ln 10x x x x ---≥，设e x t x =，得到ln ln t x x =+，从而得到即证ln 10t t --≥，再设()ln 1(0)m t t t t =-->，利用导数证明即可.
【详解】（1）因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，
所以()(1)e 20x f x x x a '=+-+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，
即2(1)e x a x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立.
令()2(1)e x h x x x =-+，(0,)x ∈+∞，则max ()a h x ≥.
因为(0,)x ∈+∞，所以22x +>，e 1x >，所以()2(2)e 0x h x x '=-+<，
即()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)1h x h <=-，从而1a ≥-，
故实数a 的最小值为1-.
（2）由（1）知，1a =-，此时()()e 1x f x x x =--，
于是要证()()f x g x ≥，即证()2
e 11ln x x x x x --≥-+，
也就是e ln 10x x x x ---≥.
设e x t x =，0x >，则ln ln t x x =+，问题即转化为证ln 10t t --≥.
由(1)e 0x t x '=+>可知，e x t x =在(0,)+∞上单调递增，所以0t >.
令()ln 1(0)m t t t t =-->，则11()1t m t t t -'=-=，当01t <<时，()0m t '<，当1t >时，()0m t '>，
所以()m t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
于是()(1)1ln110m t m ≥=--=，
所以ln 10t t --≥，即()()f x g x ≥.
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