2021届四川省宜宾市第四中学高三上学期开学考试数学(理)试题 (解析版)

2021届四川省宜宾市第四中学高三上学期开学考试数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{|14}A x x =<<，{|(2)(4)0,}B x x x x Z =--≤∈，则A B =（ ）
A ．{|24}x x
B ．{|14}x x <≤
C ．{2,3}
D ．{2,3,4}
【答案】C
【解析】解一元二次不等式得到集合B ，再求交集即可. 【详解】
因为{|14}A x x =<<，{}{|(2)(4)0,}2,3,4B x x x x Z =--≤∈=， 所以{}2,3A B ⋂=， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 2．若1iz i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】先求出1z i =+，得到其在复平面内对应的点为()1,1，即得解. 【详解】
由1iz i =-+，得()()2
111i i i i z i i -+--+===+-，
∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A ．各月的利润保持不变
B ．各月的利润随营业收入的增加而增加
C ．各月的利润随成本支出的增加而增加
D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 【答案】D
【解析】利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解． 【详解】
对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；
对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ． 【点睛】
本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
4．若()x
x
f x e a e -=+⋅为奇函数，x ∈R ，则()f x 在()()
0,0f 处的切线方程为
( ) A ．0y = B ．y x =
C ．2y x =
D ．2y ex =
【答案】C
【解析】由()f x 为奇函数可求出1a =-，从而求出导数，根据导数的几何意义即可求出答案． 【详解】
解：∵()f x 为奇函数， ∴()010f a =+=，∴1a =-， ∴()x
x
f x e e -=-，则()x x
f x e e -'=+，
由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f ='=，
则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查根据导数的几何意义求切线方程，考查函数奇偶性的应用，属于基础题． 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若||4MF =，则MOF △（O 为坐标原点）的面积为（ ）
A B ．C ．D ．
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】
因为||1OF =，由抛物线的定义可得||14M MF x =+=，
解得3M x =，代入抛物线方程可得M y =±
所以点M 的坐标为(3,±，
所以MOF △的面积为11
||122
M OF y ⋅=⨯⨯= 故选：A. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6．若3
cos()45
π
α-=，则sin 2α=（ ） A ．
7
25
B ．15
C ．15-
D ．7
25
-
【答案】D
【解析】试题分析：2
237cos 22cos 1214
4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
7．已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ） A ．
56
π B ．
23
π C ．
3
π D ．
6
π 【答案】C
【解析】首先根据b 的坐标计算b ，根据223a b +=得到1a b =，再代入夹角公式计算即可. 【详解】
22cos sin 1b αα=+=，
22
2(2)4412a b a a b b +=++=，
即44412a b ++=，解得1a b =. 设a 与b 夹角为θ，则1cos 2
a b a b
θ==
， 又因为0θπ<<，所以3
πθ=.
【点睛】
本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题. 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）
A．6B．21C．27D．54
【答案】C
【解析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.
【详解】
结合三视图,还原直观图为
已知3,4,3
AB BC CD
===,则该四面体
1111
27
2222
S AB BC AC CD AB BD BC CD
=⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C.
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.
9．已知,x y满足
0,
1
x y
x y
x
-≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则
3
2
y
x
-
-
的取值范围为（）
A．
3
,4
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B．(1,2]
C．(,0][2,)
-∞+∞D．(,1)[2,)
-∞⋃+∞
【答案】A
【解析】设
3
2
y
k
x
-
=
-
，则k的几何意义是点(,)
x y与点(2,3)之间的斜率，画出可行域即可求出.
【详解】
设
3
2
y
k
x
-
=
-
，则k的几何意义是点(,)
x y与点(2,3)之间的斜率，如图，
由题意知点(0,0)O ，(1,1)B -，
32OA k =
，31421BA k +==-， ∴ 33422y x -≤≤-，
故选：A. 【点睛】
此题考线性规划，主要是弄清目标函数的几何意义，属于简单题.
10．若双曲线2222:1x y C a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2
224x y ++=所截得
的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．
23
B 2
C 3
D ．2
【答案】D
【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b 的关系，即可求解. 【详解】
不妨设双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，
圆()2
224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r
，
则圆心到渐近线的距离为22
202b b d c
a b --=
=
+ 所以弦长2
2
2
242224b r d c
=-=-，
化简得：2243b c =， 即(
)22
2
43c a
c
-=，
解得2c a = 所以2c
e a
=
= . 故选：D 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲
线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若
,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）
A ．
3
B ．
32
C ．
53
D ．
2
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，
'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到
答案. 【详解】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，
AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，
'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2
2
2
3242x a x a x +=++，解得x a =；
'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()
()2
2
2
23c a a =+，故2252
c a =，故e =. 故选：D .
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
12．设函数()2x
f x e x =+-，
2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a <<
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：对函数()2x
f x e x =+-求导得()=1x
f x e '+，函数单调
递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数
2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，
所以()0()g a f b <<.
【考点】利用导数求函数的单调性. 【方法点睛】
根据函数单调性和导数的关系，对函数()2x f x e x =+-求导得()=10x
f x e +>'，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，进一步求得函数()2x
f x e x =+-的零点
01a <<；同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，
(1)-20g =<，由()0g b =知2()ln 3g x x x =+-的零点1b >，
所以∴g （a ）＝lna +a 2﹣3＜g （1）＝ln 1+1﹣3＝﹣2＜0， f （b ）＝e b +b ﹣2＞f （1）＝e +1﹣2＝e ﹣1＞0． 即()0()g a f b <<.
二、填空题
13．25
2()x x
+的展开式中4x 项的系数为_______．
【答案】40
【解析】根据二项定理展开通项10352r r r
C x -，求得r 的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得2510355()()2
2r r
r r r r C x C x x
--= 所以1034r -= ，解得2r
所以系数22
5240C ⨯=
故答案为：40 【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为__________． 【答案】6
【解析】由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解. 【详解】 由159
14
27a a S +=-⎧⎨
=-⎩，
解得1112a d =-⎧⎨=⎩
，
所以213n a n =-，
令0n a >，解得 6.5n >，即前6项为负，第7项起为正， 所以6S 最小.
故答案为6 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的计算，通项公式，前n 项和，属于中档题. 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()()2
2
1216x y -+-=，若等腰直角PAB ∆的斜边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为______. 【答案】42
【解析】设∠ACP=α,利用平面几何知识求出CD =AC cosα,
DP =AD =AC sinα,将PC 转化为CD+DP 然后再利用三角函数知识点求最值. 【详解】
如图所示,连接圆心C 与P ，则CP AB ⊥且平分AB ，交点为D ，设ACP α∠=，则
cos CD AC α=，sin AD AC α=，
∵AD DP =，∴4cos 4sin PC CD DP αα=+=+424πα⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 4
2
4
π
π
π
αα+
=
⇒=
，所以max 42PC =故答案为:2 【点睛】
本题考查了动点到圆心距离的最值问题,属于中档题;本题的意图在于着重培养学生一种数学解题思想,就是利用数形结合由平面几何知识进行等价转化,然后借助于三角函数求最值.
16．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =7SA SB SC ===
__________．
【答案】
494
π
【解析】【详解】
取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，
所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.
所以球心在直线SD 上，所以()2
232R R =+-，得74
R =， 所以2
4944
S R π
π==．
三、解答题
17．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =. （1）求tan A 的值；
（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长. 【答案】（1）3
tan A =
； （2）
23
. 【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=，代入60B A =-，整理求tan A ；
（2）60ACD ∠=，利用180A ACD ADC +∠+∠=，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC ∆中利用正弦定理求CD 的长.
【详解】
（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
.
sin 3cos
sin A A A =-，可得3tan 2
A =
. （2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒， 由3
tan A =
，可得321sin 77A ==，27cos 7
A ==
， 所以()321
sin sin sin cos cos sin ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=
， 由sin sin AC CD
ADC A
=∠可得21
sin 27sin 3321AC A AD ADC =
==∠. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式
180A B C ++=，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转
化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.
18．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[]25,55(百元)内，且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
（1）求n 的值；
（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名. ①完成如下所示22⨯列联表
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均
数
50
月工资高于平均数 50 总计 50
50
100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001
0k
3.841
6.635
7.879 10.828
【答案】（1）0.05n =；（2）①列联表见解析；②不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【解析】（1）根据频率分布直方图列方程组求得n 的值；
（2）根据题意得到22⨯列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论． 【详解】 （1）
月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15
月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为:
15
0.15100
=； 由频率分布直方图得:(0.020.0420.01)50.151n +++⨯+=
0.05n ∴=
（2）①根据题意得到列联表:
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
19 31 50 月工资高于平均数 31 19
50
总计 50 50 100
2100(19193131)
5.7610.82850505050
K ⨯⨯-⨯=
=<⨯⨯⨯
不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 【点睛】
本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．
19．如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC ===
==⊥
（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210
【解析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案. （2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为(2,2,1)n =，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，
,PA PB PO AB ∴⊥＝，22AB AC ==，
3PB AP ==2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，
PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂
平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),(0,0,2),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量. 设平面PAC 的一个法向量为(,
,)n l m n =.
则0,0PA n AC n ⋅=⋅=，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC =-=-，
120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,
2.
n l m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩
，不妨取2l =，则(2,2,1)n =. cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=222222021201105010221
⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --为锐二面角，∴二面角C PA B --的余弦值为
10
5
.
【点睛】
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．设12F F ，分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，已知椭圆的长轴
为22,P 是椭圆C 上一动点，12PF PF ⋅的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()2,0的直线l 交椭圆C 于,A B 两点， M 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，
且满足OA OB mOM ，其中4543m ⎡∈⎢⎣⎦
，求AB 的取值范围.
【答案】（1）2
212x y +=；（2）8(0,]5
.
【解析】（1
）椭圆的长轴为a ，设出点P 的坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合12
PF PF ⋅的最大值为1进行求解即可； （2）设出直线l 的点斜式方程，将直线方程与椭圆方程联立，设出,A B 两点坐标，再设出 M 的坐标，利用平面向量加法、平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系求出点 M 坐标，把点 M 的坐标代入椭圆方程中，根据m 的取值范围，可以求出直线l 的斜率的取值范围，结合两点间距离公式求出AB 的表达式，根据直线
l 的斜率的取值范围，结合换元法、配方法进行求解即可.
【详解】
（1
）因为椭圆的长轴为
所以2a a ==P 的坐标为：00(,)x y ，所以有
22222
000021(1)22
x y x y b b +=⇒=-，两焦点坐标为：12(,0),(,0)F c F c -，因此 100200(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--，所以
2
2
222
22
002
2
2
2
12000000()()(1)22
PF PF c x c x y x x x b b c y x c c ⋅=---+=--=-+=++-，
显然当2
02x =时，12
PF PF ⋅有最大值，最大值为22
2
2
2
2
1121b c b c
a b c b +-=⇒==+=⇒=，因此椭圆方程为：22
12
x y +=；
（2）设直线l 的方程为：(2)y k x =-，因为0m ≠，所以0k ≠，将该直线方程与椭圆
方程联立得：2222
2
2
(2)(12)882012
y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以有22121222
882,1212k k x x x x k k -+==++，因此12122
4(4)
12k
y y k x x k
，设00(,)M x y ， 因为OA OB mOM ，所以有22
12
00
2
2
8181212k k x x mx x k m k
，
12
00
2
2
4141212k k
y y my y k m k
，把点00(,)M x y 坐标代入椭圆方程中，得 22
2
22
18()
1412()1
212k k m k m
k ，化简得：2
22
1621k m k ，而53m ⎡∈⎢⎣⎦
，所以有
2
113
k .
22
222112
212
12()()11()AB
x y x y k x x k x x
即2
2
2
2
1212
22121()41k AB
k
x x x x k
， 显然有2
2
11202k k ，所以2
1132k ≤<. 令2
2
21115
1222323
t k
t
k k t ，
因此2
2
(1)(2)
2
22(
)4
8
t t AB t t ，因为
523t
，所以
11
325
t
，所以当
13
5t ，AB 的最大值为85；当112t =时，0AB ，所以AB 的取值范围为8
(0,]5
.
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，考查了椭圆的范围的应用，考查了平面向量的加法、数量积、共线的坐标的表示公式，考查了求椭圆弦长的取值范围，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln(1)(0)f x a x a =+>． （1）当2a =时，若函数1
()(1)F x f x x
=-+
在1x ，2x （12x x ≠）处导数相等，证明：()()122F x F x +>；
（2）是否存在a ，使直线l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()(1)1
x
g x x x =
>-+的切线，而且这样的直线l 是唯一的，如果存在，求出直线l 方程，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）存在，:l y x = 【解析】（1）求导2
21()x F x x -'=，则122212
2121x x x x --=，化简得到12122x x x x +=，再利用均值不等式到答案.
（2）先设切点求切线方程，再根据切线重合得关于一个切点横坐标的函数，利用导数研究函数只有一个零点的情况，即得答案.
【详解】
（1）当2a =时，1()2ln (0)F x x x x =+
>，所以222121()x F x x x x
-'=-=， 由题意，得1222
12
2121
x x x x --=，因为12x x ≠，所以12122x x x x +=，
所以12122x x x x =+>，所以121x x >， 所以()()()()12
12121212
2ln 2ln 22x x F x F x x x x x x x ++=+
=+>． （2）曲线()ln(1)f x a x =+在点()()
33,ln 1x a x +处的切线方程为：
()3
1333:ln 111
a ax l y x a x x x =
++-++， 函数()1x g x x =+在点441,1x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
处的切线方程()()2
42
22441:11x l y x x x =+++， 要存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线， 只需在34,(1,)x x ∈-+∞处使1l 与2l 重合，
所以()()()23
42
3432
3411
1ln 111a
x x ax x a x x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩
①② 由①得()2
3411x a x +=+代入②整理得()442
2ln 1ln 101
a x a a a x ++
+--=+， 设2
()2ln(1)ln 11
x a x a a a x ϕ=+++--+， 则22
222[(1)1]
()1(1)(1)a a x x x x x ϕ+-'=
-=+++， 当1
11x a
-<<-时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减； 当1
1x a
>
-时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增， 则min 1()1ln 1x a a a a ϕϕ⎛⎫
=-=--
⎪⎝⎭
，设()ln 1h a a a a =--，()ln h a a '=-， 当01a <<时，()0'>h a ，()h a 单调递增； 当1a >时，()0h a '<，()h a 单调递减．
所以max ()(1)0h a h ==．
（ⅰ）当1a =时，ln 10a a a --=，所以min 1()1ln 10x a a a a ϕϕ⎛⎫
=-=--= ⎪⎝⎭
， 此时110x a =
-=，所以方程2
2ln(1)ln 101
a x a a a x +++--=+有唯一解0x =， 即340x x ==，此时切线方程为y x =； （ⅱ）当0a >且1a ≠时，ln 10a a a --<， 当0x >时，()1
ln 1h x x x
=+
-，则()22111'x h x x x x -=-=，
故1x >函数单调递增，当01x <≤时，函数单调递减，故()()min 10h x h ==， 故1ln 1x x >-
，同理可证1x
e x
-<，21x e x >+成立． 因为1
111a
e a
--<-<
-，则()2122ln 1a a e e a a a a ϕ--=-+-- 212211a e a a a a ⎛⎫
≥-+--- ⎪⎝⎭
()221a e a =--()222110a a >+--=.
又由当0x >时，e x
x >，可得11
11a
e a
->
-， 则111112ln 12(ln 1)20a a a a e e a a a e a a a e ϕ---⎛⎫
-=+-+=--->> ⎪⎝⎭
，
所以函数2
()2ln(1)ln 11
x a x a a a x ϕ=+++--+有两个零点， 即方程2
2ln(1)ln 101
a x a a a x ++
+--=+有两个根4x ，4x '， 即()()
440x x ϕϕ'==，此时44x x ≠'，44,(1,)x x '∈-+∞，则442 x x +'>-， 所以()()
2
2
4411a x a x '+≠+，
因为()2
3411x a x =+-，()
2
3411x a x '=+-'，所以33x x '≠，所以直线l 不唯一． 综上所述，存在1a =，使:l y x =是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线，而且这样的直线l 是唯一的． 【点睛】
本题考查了导数相等问题，切线问题，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x t y t ⎧=⎨=⎩
（t 为参数），直线l 过点
()1,0P 且倾斜角为4
π
，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度
建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求
11PA PB
+的值. 【答案】（1）2
sin 4cos ρθθ=
；122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）；（2）1.
【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换，根据直线参数方程的概念可得直线l 的参数方程；
（2）将直线的参数方程代入到曲线C ，根据参数的几何意义，利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果. 【详解】
（1）曲线:C 2
2x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为2
4y x =，
再化为极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=，
直线l
的参数方程为12
2x y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数） ；
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C
，得280t --=，
所以12t t +=128t t ⋅=-，
点P 在AB 之间，所以
||||||8PA PB AB +==
=，
12||||8PA PB t t ⋅==，
所以
11||||8
1||||||||8
PA PB PA PB PA PB ++===. 【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
23．已知函数()243f x x x =---.
（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ． （2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）函数图象如下图：
不等式()2f x 的解集{}
13M x x =-≤≤； （2）1
22
a -≤≤-
. 【解析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；
（2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：
当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；
当(2,3]
x∈时，()37(3)7
g x x ax a x
=--=--,根据a取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a的取值范围，最后确定a的取值范围.
【详解】
（1）
1,3
()24337,23
1,2
x x
f x x x x x
x x
-≥
⎧
⎪
=---⇒-<<
⎨
⎪-+≤
⎩
，画出图象，如下图所示：
当3
x≥时，()21233
f x x x x
⇒-≤⇒≤∴=；
当23
x
<<时，()2372323;
f x x x x
⇒-≤⇒≤∴<≤
当2
x≤时，()212112
f x x x x
⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤，所以
不等式()2
f x的解集{}
13
M x x
=-≤≤.
（2）当[1,2]
x∈-时，()1(1)1
g x x ax a x
=-+-=-++
当1
a=-时，()10
g x=≥，显然成立；
当1
a>-时，要想()0
g x，只需
max
()0
g x≥即可，也就是
max
11
()0201
22
g x g a a
≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-
（）；
当1a <-时，要想()0g x ，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（），
所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x ，a 的取值范围1
22
a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x 不成立；
当3a >时，要想()0g x ，只需max 2
()0303
g x g
a ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x ，只需112022
g a a ≥⇒≤-∴≤-（
）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x ，a 的取值范围是12
a ≤-， 综上所述a 的取值范围122
a -≤≤-. 【点睛】
本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下： （1）
通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x ； （2）
()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --
12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当1
22
a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。