2019-2020学年新人教A版必修二 解三角形 学案

2019-2020学年新人教A 版必修二 解三角形实际应用举例 学案
实际测量中的常见问题
知识拓展
实际问题中的常用术语 1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦
⎤0，π
2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π
2.( √ ) 题组二 教材改编
2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.
答案 50 2
解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC
sin B ，
又∵B ＝30°，
∴AB ＝AC sin ∠ACB
sin B ＝50×
2
21
2
＝502(m)．
3.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝ 米．
答案
2
2
a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，
∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，
∴∠BP A ＝(
)90°－α－()
90°－γ＝γ－α＝30°， ∴a sin 30°＝PB sin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝
6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝2
2
a . 题组三 易错自纠
4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC 等于( )
A ．10°
B ．50°
C ．120°
D ．130° 答案 D
5.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝ .
答案
3
2
a 解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32
a .
6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 ，速度的大小为 km/h. 答案 60° 20 3
解析 如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COy ＝30°＋30°＝60°.
题型一 求距离、高度问题
1．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D ．2 km
答案 A 解析 如图，
在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°， ∴
AC sin 60°＝2
sin 45°
， ∴AC ＝22×
3
2
＝6(km)． 2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝ .
答案
h cos αsin β
sin (α－β)
解析 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC
sin ∠BAC
，
即
AC
sin (90°－α)＝BC
sin (α－β)
，
∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos α
sin (α－β)
.
在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin β
sin (α－β).
故山高CD 为h cos αsin β
sin (α－β)
.
3．(2018·枣庄模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是
n mile/h.
答案 32
解析 设航速为v n mile/h ，
在△ABS 中，AB ＝1
2v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，
由正弦定理得82
sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.
思维升华 求距离、高度问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 求角度问题
典例 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为
．
答案
2114
解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207.
由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，
即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝21
7
.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27
7.
由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝
21
14
. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的 的方向上．
答案 北偏西10°
解析 由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上． 题型三 三角形与三角函数的综合问题
典例 (2018·石家庄模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －
3
2
cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． 解 (1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，
由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0， 又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0，
所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π
3.
(2)因为B ＝π
3
，
所以f (x )＝12sin 2x －3
2cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π
12(k ∈Z )，
即当x ＝k π＋5π
12
(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.
思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题． 跟踪训练 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π
4. (1)求f (x )的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫
A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．
解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x
2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
22
＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.
由－π2＋2k π≤2x ≤π
2＋2k π，k ∈Z,
可得－π4＋k π≤x ≤π
4＋k π，k ∈Z ；
由π2＋2k π≤2x ≤3π
2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π
4
＋k π，k ∈Z .
所以f (x )的递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π
4＋k π (k ∈Z )；
递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π
4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝1
2， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝
3
2
. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此1
2bc sin A ≤2＋34.
所以△ABC 面积的最大值为
2＋3
4
.
函数思想在解三角形中的应用
典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分] S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝
900t 2－600t ＋400＝
900⎝⎛⎭
⎫t －1
32＋300.[3分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝103
1
3
＝30 3.
即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．
则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400
t
2.∵0<v ≤30，
∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥2
3.
又当t ＝2
3
时，v ＝30，
故当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为2
3.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]
1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )
A．10 km B．10 3 km
C．10 5 km D．107 km
答案 D
解析如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107.
2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
答案 D
解析由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()
A．10 2 海里B．10 3 海里
C．20 3 海里D．20 2 海里
答案 A
解析如图所示，易知，
在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得BC sin 30°＝AB
sin 45°，
解得BC ＝10 2.
4．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(3＋1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
答案 C
解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，
在Rt △ACD 中， CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°
＝603(m)， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝60
2＋3
＝60(2－3)m ，
∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.
5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
答案 B
解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，
由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
＝
(305)2＋(2010)2－502
2×305×2010
＝ 6 0006 0002＝22
， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.
6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )
A ．5 6
B ．15 3
C ．5 2
D ．15 6
答案 D
解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 135°，所以BC ＝15 2.
在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.
7．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile /h,15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是 n mile. 答案 70
解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile.
8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角
为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 m.
答案 100 2
解析 设坡底需加长x m ，
由正弦定理得100sin 30°＝x sin 45°
，解得x ＝100 2.
9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 海里． 答案 10
解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，
在Rt △ABC 中，得AB ＝5，
于是这艘船的速度是5
0.5
＝10(海里/时)．
10.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为 米．
答案 1 000
解析 由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°， ∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°， ∴∠ASB ＝135°，
在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝AB sin 135°，
∴AB ＝1 0002，∴BC ＝AB
2
＝1 000.
11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为米．
答案507
解析如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.
12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，
AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为BC
2
＝14(海里/小时)．
(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB
sin α＝
BC
sin 120°
，
即sin α＝AB sin 120°
BC ＝12×
3228＝3314
.
13．(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为 ；塔BB 1的高为 m.
答案 1
3
45
解析 设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α， 则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.
∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30
BB 1，
∴AA 1·BB 1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900， ∴tan α＝13，tan 2α＝34，
则BB 1＝60tan 2α＝45.
14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 h.
答案 15
解析 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×
2
2
，令OB 2
≤4502
，即4t 2
－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋15
2
，所以该码头将受
到热带风暴影响的时间为302＋152－302－15
2
＝15.
15.如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ.
(1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；
(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)? 解 (1)∠AMN ＝θ，
在△AMN 中，由正弦定理，得 MN sin 60°＝AN sin θ＝AM
sin (120°－θ)
， 所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)．
(2)AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(θ＋60°)＋4－163
3sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203
＝203－16
3
sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．
16．已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )是共线向量． (1)求角A ；
(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2
的最大值．
解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝3
4.
又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3
. (2)y ＝2sin 2
B ＋cos
C －3B
2
＝2sin 2B ＋cos
⎝⎛⎭
⎫π－π3－B －3B
2
＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B
＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋3
2sin 2B
＝
32sin 2B －1
2
cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2B －π
6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π
2时，函数y 取得最大值，
解得B ＝π
3，y max ＝2.。