华龙区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

华龙区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，则y=（）
A．13 B．﹣13 C．9 D．﹣9
2．已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（）
A．1 B．C．D．
3．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）
A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．
4．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）
A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2
5．下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（）
A．B．C．
D．
6．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
7． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35
D ．
8． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A ．4 B ．2 C
． D ．
2 9．
已知
，
，那么夹角的余弦值（ ）
A
．
B
．
C ．﹣2
D
．﹣
10．已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
11．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5 B4 C3 D2
12．已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．﹣i B ．i C ．1
D ．﹣1
二、填空题
13．设实数x ，y
满足
，向量=（2x ﹣y ，m
），=（﹣1，1
）．若
∥，则实数m 的最大值
为 ． 14．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F
且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长
为 ．
15．已知,x y 满足41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则222
23y xy x x -+的取值范围为____________.
16．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB|等于 ．
17．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 18．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
三、解答题
19．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明
在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明
:1m ≤
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
21．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e x，φ（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x0=．
（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．
23．化简：
（1）．
（2）+．
24．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
华龙区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意，=（﹣8，8），=（3，y+6）．
∵∥，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，
故选D．
【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．2．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
4． 【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=
，
∴圆的方程为2
=2．
故选：D ．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
5． 【答案】B
【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x 只能有唯一的y 与x 对应，选项B 中，当x ＞0时，有两个不同的y 和x 对应，所以不满足y 值的唯一性．
所以B 不能作为函数图象．
故选B ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x 的任意性，x 对应y 值的唯一性．
6． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x
，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x
的图象关于y 轴对称，
所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）
=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．
故选D ．
7． 【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 8． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，AB=
，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵，，
∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos＜＞===﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
11．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
12．【答案】D
【解析】解：由zi=1+i，得，
∴z的虚部为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
二、填空题
13．【答案】6．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．
由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
14．【答案】4．
【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．【答案】[]
2,6
【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1表示点
(),x y与原点()
0,0的距离；（2(),x y与点(),a b间的距离；（3）y
x
可表示点
(),x y与()
0,0点连线的斜率；（4）y b
x a
-
-
表示点(),x y与点(),a b连线的斜率.
16．【答案】6．
【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
17．【答案】 3x ﹣y ﹣11=0 ．
【解析】解：设过点P （4，1）的直线与抛物线的交点 为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
即有y 12=6x 1，y 22
=6x 2，
相减可得，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=6（x 1﹣x 2），
即有k AB =
=
==3，
则直线方程为y ﹣1=3（x ﹣4）， 即为3x ﹣y ﹣11=0．
将直线y=3x ﹣11代入抛物线的方程，可得 9x 2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x ﹣y ﹣11=0． 故答案为：3x ﹣y ﹣11=0．
18．【答案】 25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km ， 由正弦定理可得AC==25
km ，
故答案为：25
．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
三、解答题
19．【答案】（1）f x （）
在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2
211x
x f x e
x
x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()()
21x f x x e a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又
(
)
1f
a a =-=-，
10,1a
->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(
),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<
，
()f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'
==-
， 又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m
m e m +≤+，即1m m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m
m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。

20．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
∴2
44(1)4n a n n =+-
=，由0n a >得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为
11
11
1)(11)2222
n ++++=． （12分） 21．【答案】
【解析】解：（I ）当a=1时，φ（x ）=（x 2+x+1）e ﹣x ．φ′（x ）=e ﹣x （﹣x 2
+x ） 当φ′（x ）＞0时，0＜x ＜1；当φ′（x ）＜0时，x ＞1或x ＜0
∴φ（x ）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II ）φ′（x ）=e ﹣x [﹣x 2
+（2﹣a ）x]
∵φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的， ∴φ′（x ）≤0在x ∈[1，+∞）恒成立，
∴﹣x 2
+（2﹣a ）x ≤0在x ∈[1，+∞）恒成立，
∴2﹣a ≤x 在x ∈[1，+∞）恒成立， ∴2﹣a ≤1 ∴a ≥1
∵a ≤2，1≤a ≤2；
（III ）φ′（x ）=（2x+a ）e ﹣x ﹣e ﹣x （x 2+ax+a ）=e ﹣x [﹣x 2
+（2﹣a ）x]
令φ′（x ）=0，得x=0或x=2﹣a ：
由表可知，φ（x ）极大=φ（2﹣a ）=（4﹣a ）e a ﹣2
设μ（a ）=（4﹣a ）e a ﹣2，μ′（a ）=（3﹣a ）e a ﹣2
＞0，
∴μ（a ）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴μ（a ）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a ）e a ﹣2
≠3，
∴不存在实数a ，使φ（x ）极大值为3．
22．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得
或，
解得x≤﹣1或≤x≤，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪
[，]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．
23．【答案】
【解析】解（1）原式==
==
===﹣1．
（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，
tan（π+α）=tanα，
∴原式=+=+==﹣=﹣1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．。