高中数学第二章几个重要的不等式2.3.2数学归纳法的应用训练北师大版选修4-5(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第二章几个重要的不等式2.3.2 数学归纳法的应用训练北师大版选修4-5
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2。

3.2 数学归纳法的应用
一、选择题
1。

若不等式错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!对于一切n∈N＋恒成立，则自然数m的最小值为( ）
A.8
B.9
C.10
D.12
解析显然n＝1时，左边最大为错误!,则错误!<错误!，
∴m的最小值为8，选A。

答案A
2.关于正整数n的不等式2n〉n2成立的条件是（)
A.n∈N＋B。

n≥4
C.n〉4
D.n＝1或n〉4
解析n＝4，24＝42＝16,n＝1时，2〉1，n＝5,25＝32，52＝25，∴当n〉4时，2n>n2成立，故选D。

答案D
3.用数学归纳法证明1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋n（n∈N＋)成立,当n＝1时，应验证（)
A.3
2
≤1＋错误!≤错误!B。

错误!≤1＋错误!＋错误!≤错误!
C。

错误!≤1＋错误!＋错误!＜错误! D.错误!＜1＋错误!＜错误!
解析n＝1时,左边3
2
,中间1＋错误!，右边错误!＋1＝错误!，故选A.
答案A
二、填空题
4.用数学归纳法证明“S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>1(n∈N＋)”时，S1等于________。

解析n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，∴S1＝错误!＋错误!＋错误!。

答案错误!＋错误!＋错误!
5。

已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc〉0，T＝错误!＋错误!＋错误!，则T与0的关系是________。

解析∵a＋b＋c＝0，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，即2ab＋2bc＋2ac ＝－（a2＋b2＋c2)<0，∵abc〉0，上述不等式两边同时除以2abc，得T＝错误!＋错误!＋错误!〈0。

答案T〈0
三、解答题
6.用数学归纳法证明：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉1 (n>1，n∈N＋）.
证明（1)当n＝2时，1
2
＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!>1，
即n＝2时命题成立。

(2）设n＝k (k≥2)时，命题成立，
即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉1，
当n＝k＋1时，
左边＝错误!＋…＋错误!＋错误!
>1＋（2k＋1）·错误!－错误!＝1＋错误!。

∵k〉2，令f（k）＝k2－k－1，对称轴为k＝错误!，
∴(2，＋∞）为f（k）的增区间，
∴f（k)〉f(2),即k2－k－1>22－2－1＝1，
∴错误!〉0，∴n＝k＋1时，命题也成立.
由(1）（2)知，当n〉1时，n∈N＋命题都成立。

7.比较2n与n2的大小（n∈N)。

解当n＝1时，21>12,即2n〉n2,
当n＝2时，22＝22，即2n＝n2,
当n＝3时,23〈32,即2n〈n2
当n＝4时，24＝42，即2n＝n2
当n＝5时，25>52，即2n〉n2，
当n＝6时，26>62,即2n>n2
……
猜测：当n≥5时,2n〉n2.
下面用数学归纳法证明猜测成立。

（1)当n＝5时，由上可知猜测成立.
（2)设n＝k（k≥5)时，命题成立，即2k〉k2。

∴2k＋1＝2·2k〉2k2＝k2＋k2>k2＋（2k＋1)＝（k＋1)2,即n＝k＋1时命题成立。

由（1)和(2),可得n≥5时，2n>n2。

8。

用数学归纳法证明：
错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!（n∈N＋）。

证明（1)当n＝1时，左边＝错误!〈1＝右边，不等式成立.
当n＝2时，左边＝错误!＋错误!＝错误!，右边＝错误!.
由错误!＋1<2错误!，得错误!〈错误!，
即n＝2时,不等式也成立。

(2)假设n＝k（k≥2)时,不等式成立，
即错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!。

当n＝k＋1时，两边同加错误!,得
错误!＋错误!＋…＋错误!
<错误!＋错误!
只须证错误!＋错误!<错误!即可。

由于错误!－错误!>错误!
⇔错误!〉错误!
⇔错误!>错误!＋错误!
⇔错误!(错误!－1）〉错误!.
由于k≥2，上式显然成立。

即n＝k＋1时，不等式成立.
由（1）、(2）知，不等式对n∈N＋都成立.
9.设n为正整数，记a n＝错误!错误!，n＝1，2，3，…，求证：a n＋1<a n。

证明∵a n＝错误!错误!〉0 (n∈N＋)。

错误!＝错误!＝错误!错误!·错误!错误!
＝错误!错误!·错误!＝错误!错误!·错误!
＝错误!错误!·错误!，
因此，根据贝努利不等式
错误!〉错误!·错误!
〉错误!·错误!＝错误!·错误!＝1。

所以a n〉a n＋1对于一切正整数n成立.
10.已知等差数列｛a n｝，等比数列{b n｝,若a1＝b1，a2＝b2，a1≠a2，且对所有的自然数n恒有
a n>0,求证:当n〉2时，a n<
b n.
证明∵a1≠a2且a n>0，故｛a n｝是递增数列，
{a n｝公差d＝a2－a1,{b n}公比q＝错误!＝错误!.
当n>2时，a n<b n用数学归纳法证明:
(1）当n＝3时，b3－a3＝b1q2－(a1＋2d)
＝错误!－（2a2－a1)＝错误!>0。

故原不等式成立.
（2)假设n＝k (k≥3）时，不等式成立，即a k〈b k。

则b k＋1－a k＋1＝b k·q－(a k＋d)
＝b k错误!－（a k＋a2－a1)>a k错误!－a k－(a2－a1)
＝错误!>0.
即b k＋1〉a k＋1.
由（1）（2)可知，当n〉2时，a n<b n均成立。

11.在数列｛a n}中，a1＝2，a n＋1＝错误!＋错误! (n≥1）.
证明：错误!<a n<错误!＋错误!。

证明首先，证明a n〉错误!成立.
（1）当n＝1时，a1＝2>错误!成立.
（2)假设n＝k（k≥1）时,a k〉错误!成立，
又当n＝k＋1，由题意知a k＋1＝错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，
即a k＋1≥错误!，当且仅当错误!＝错误!即a k＝错误!时，等号成立。

这与a k>错误!矛盾，所以只有a k＋1〉错误!.
由(1），（2）知，不等式a n> 2 （n∈N＋）成立。

其次，证明不等式a n〈错误!＋错误! (n∈N＋）成立。

(1)当n＝1时，a1＝2〈2＋错误!＝1＋错误!，即不等式成立.
(2)假设n＝k（k≥1）时，不等式a k<2＋错误!成立。

由题知，当n＝k＋1时，a k＋1＝错误!＋错误!，
由a k<错误!＋错误!，得错误!<错误!＋错误!①
由a k〉错误!，得错误!〈错误!②
由①，②得错误!＋错误!<错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!，
即a k＋1〈错误!＋错误!＝错误!＋错误!<错误!＋错误!，
即a k＋1<错误!＋错误!成立.
由(1)，（2）得不等式a n<错误!＋错误!（n∈N＋）成立。

综上所述，错误!<a n〈错误!＋错误!（n∈N＋)成立。