山东省聊城市2019年中考数学试题 含答案

山东省聊城市二O 一九年初中学生学业水平数学试题
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.的相反数是（ ）
A. 2
-
B.
2
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相反数的定义，即可解答．
【详解】 故选D ．
【点睛】本题考查了实数的性质，解决本题的关键是熟记实数的性质．
2.如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选B ．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.如果分式||1
1
x
x
-
+
的值为0，那么x的值为（）
A. -1
B. 1
C. -1或1
D. 1或0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】根据题意，得
|x|-1=0且x+1≠0，
解得，x=1．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4.在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（）
A. 96分，98分
B. 97分，98分
C. 98分，96分
D. 97分，96分
【答案】A
【解析】
【分析】
利用众数和中位数的定义求解．
【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分； 共有25个数，最中间的数为第13个数，是96，所以数据的中位数为96分． 故选A ．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
5.下列计算正确的是（ ） A. 66122a a a +=
B. 25822232-÷⨯=
C. ()32233
122ab a b a b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭
D. 2
7
11
20
()a a a a ⋅-⋅=-
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】A 、a 6+a 6=2a 6
，故此选项错误；
B 、2-2÷20×23=2，故此选项错误；
C 、（-
12ab 2）•（-2a 2b ）3=（-1
2
ab 2）•（-8a 6b 3）=4a 7b 5，故此选项错误； D 、a 3•（-a ）5•a 12=-a 20，正确． 故选D ．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.下列各式不成立的是（ ）
A.
= B.
=
C.
5==
D.
=【答案】C 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
33
-
==
，A 选项成立，不符合题意；
==B 选项成立，不符合题意；
222
==
，C 选项不成立，符合题意；
==D 选项成立，不符合题意；
故选C ．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
7.若不等式组113
24x x
x m
+⎧<-⎪
⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（ ） A. 2m ≤ B. 2m <
C. 2m ≥
D. 2m >
【答案】A 【解析】 【分析】
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得． 【详解】解不等式
1132
x x
+<--，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）
A. 35︒
B. 38︒
C. 40︒
D. 42︒
【答案】C 【解析】 【分析】
连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可， 【详解】连接CD ，如图所示：
∵BC 是半圆O 的直径，
∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°， ∴∠DOE=2∠ACD=40°， 故选C ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9.若关于x 的一元二次方程2
(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ）
A. 0k ≥
B. 0k ≥且2k ≠
C. 3
2
k ≥
D. 3
2
k ≥
且2k ≠ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】（k-2）x 2
-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2
-2kx+k=6有实数根，
∴2
20
(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨
=----⎩…
， 解得：3
2
k ≥且k≠2． 故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
10.某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）
A. 9：15
B. 9：20
C. 9：25
D. 9：30
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出甲、乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【详解】设甲仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数关系式为：y 1=k 1x+40，根据题意得60k 1+40=400，解得k 1=6， ∴y 1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数关系式为：y 2=k 2x+240，根据题意得60k 2+240=0，解得k 2=-4， ∴y 2=-4x+240， 联立6404240y x y x +⎧⎨
-+⎩＝＝，解得20160
x y ⎧⎨⎩＝＝，
∴此刻的时间为9：20． 故选B ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
11.如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠︒＝
，一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合，且两条直角边分别经过点A 和点B ，将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB ，AC 分别交于点E ，F 时，下列结论中错误的是（ ）
A. AE AF AC =＋
B. 180BEO OFC ∠∠=︒＋
C. 2
OE OF BC +=
D. 1
2
ABC AEOF S S ∆=
四边形 【答案】C 【解析】 【分析】
连接AO ，易证△EOA ≌△FOC （ASA ），利用全等三角形的性质可得出EA=FC ，进而可得出AE+AF=AC ，选项A 正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项
B 正确；由△EOA ≌△FO
C 可得出
S △EOA =S △FOC ，结合图形可得出
S
四
边
形
AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC =
1
2
S △ABC ，选项D 正确．综上，此题得解． 【详解】连接AO ，如图所示．
∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OA=OC ，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°， ∴∠EOA=∠FOC ． 在△EOA 和△FOC 中，
EOA FOC OA OC
EAO FCO ∠∠⎧⎪
⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△EOA ≌△FOC （ASA ）， ∴EA=FC ，
∴AE+AF=AF+FC=AC ，选项A 正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°， ∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B 正确； ∵△EOA ≌△FOC ， ∴S △EOA =S △FOC ，
∴S 四边形AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC =1
2
S △ABC ，选项D 正确． 故选C ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
12.如图，在Rt ABO 中，90OBA ∠=︒，()4,4A ，点C 在边AB 上，且
1
3
AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）
A. ()2,2
B. 55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. ()3,3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件得到AB=OB=4，∠AOB=45°，求得BC=3，OD=BD=2，得到D （0，2），C （4，3），作D 关于直线OA 的对称点E ，连接EC 交OA 于P ，则此时，四边形PDBC 周长最小，E （0，2），求得直线EC 的解析式为y=
1
4
x+2，解方程组即可得到结论． 【详解】∵在Rt △ABO 中，∠OBA=90°，A （4，4）， ∴AB=OB=4，∠AOB=45°，
∵
1
3
AC CB =，点D 为OB 的中点， ∴BC=3，OD=BD=2， ∴D （0，2），C （4，3），
作D 关于直线OA 的对称点E ，连接EC 交OA 于P ， 则此时，四边形PDBC 周长最小，E （0，2）， ∵直线OA 的解析式为y=x ， 设直线EC 的解析式为y=kx+b ，
∴243b k b ⎧⎨+⎩＝＝，
解得：142
k b ＝＝⎧⎪⎨⎪⎩，
∴直线EC 的解析式为y=
1
4
x+2， 解1
24y x y x ⎧⎪
⎨+⎪⎩＝＝得，8383x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝， ∴P （
83，8
3
）， 故选C ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P 点的位置是解题的关键．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）
13.计算：115
324⎛⎫--÷ ⎪⎝
⎭=_______． 【答案】23
- 【解析】 【分析】
先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
【详解】原式=
542 ()
653 -⨯=-.
故答案为：-2
3
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序．
14.如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为_______．
【答案】120
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】∵圆锥的底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是，
∴圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为n°，
∴
3
2
180
nπ
π
⨯
==2π，
解得n=120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故答案为：120°．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
15.在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______． 【答案】
14
【解析】 【分析】
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【详解】如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果， ∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41164
=， 故答案为：
14
． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
16.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，DE 为ABC △的中位线，延长BC 至F ，使
1
2
CF BC =
，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC a =，则FMB 的周长为_______．
【答案】
92
a 【解析】 【分析】
在Rt △ABC 中，求出AB=2a ，a ，在Rt △FEC 中用a 表示出FE 长，并证明∠FEC=30°，从而EM 转化到MA 上，根据△FMB 周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB 可求周长． 【详解】在Rt △ABC 中，∠B=60°， ∴∠A=30°，
∴AB=2a ，． ∵DE 是中位线，
∴． 在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE=a ， ∴∠FEC=30°． ∴∠A=∠AEM=30°， ∴EM=AM ．
△FMB 周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB=9
2
a ． 故答案为
92
a ． 【点睛】本题主要考查了30°直角三角形的性质、勾股定理、中位线定义，解决此题关键是转化三角形中未知边到已知边长的线段上．
17.数轴上,O A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO 的中点1A 处，第2次从1A 点跳动到1A O 的中点2A 处，第3次从2A 点跳动到2A O 的中点3A 处．按照这样的规律继续跳动到点456,,,
,n A A A A （3n ≥，n 是整数）处，那么线段n A A 的长度为_______（3n ≥，n 是整数）．
【答案】2
142n --
【解析】 【分析】
根据题意，得第一次跳动到OA 的中点A 1处，即在离原点的长度为12
×4，第二次从A 1点跳动到A 2处，即在离原点的长度为（12）2×
4，则跳动n 次后，即跳到了离原点的长度为（12
）n ×4=n-21
2，再根据线段的和差关系可得线段A n A 的长度． 【详解】由于OA=4，
所有第一次跳动到OA 的中点A 1处时，OA 1=
12OA=1
2×4=2， 同理第二次从A 1点跳动到A 2处，离原点的（12
）2
×4处， 同理跳动n 次后，离原点的长度为（12
）n ×4=n-21
2， 故线段A n A 的长度为4-n-21
2
（n≥3，n 是整数）．
故答案为：4-n-21
2
．
【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
三、解答题（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
18.计算：22
1
6313969
a a a a a +⎛⎫-+÷ ⎪+--+⎝⎭． 【答案】
63
a + 【解析】 【分析】
根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式22
33
19(3)a a a a ++=-
÷-- 2
3(3)1(3)(3)3
a a a a a +-=-⋅+-+
3
13
a a -=-
+
3(3)
3a a a +--=
+
63
a =
+. 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．
19.学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：min ）进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、顿率分布表和频数分布扇形图．
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，表中的a = ，b = ，c = ； （2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数． 【答案】（1）50，5，24，0.48；（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为172.8；（3）九年级每天课前预习时间不少于20min 的学生约有860人.
【解析】
【分析】
（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c；（2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数；（3）根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．【详解】（1）16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48；
故答案为：50，5，24，0.48；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°；
（3）每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1-
2
50
-0.10=0.86，
∴1000×0.86=860，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
20.某商场的运动服装专柜，对,A B两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
（1）问,A B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的3
2
倍多5件，
在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
【答案】（1）,A B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元；（2）最多能购进65件B 品牌运动服. 【解析】 【分析】
（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案； （2）利用采购B 品牌的件数比A 品牌件数的3
2
倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【详解】（1）设,A B 两种品牌运动服的
进货单价分别为x 元和y 元.
根据题意，得203010200
304014400x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解之，得240180x y =⎧⎨
=⎩
. 经检验，方程组的解符合题意.
答：,A B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.
（2）设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服352m ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭件，
∴32401805213002m m ⎛⎫
++≤ ⎪⎝⎭
，
解得，40m ≤.
经检验，不等式的解符合题意，∴
33
54056522
m +≤⨯+=. 答：最多能购进65件B 品牌运动服.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
21.在如图菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点,E F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得AED ABC ∠=∠，ABF BPF ∠=∠．
（1）求证：ABF DAE ≌；（2）求证：DE BF EF =＋． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据菱形的性质得到AB=AD ，AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠BOA=∠DAE ，等量代换得到∠BAF=∠ADE ，求得∠ABF=∠DAE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AE=BF ，DE=AF ，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB AD =，AD BC ∥， ∴BPA DAE ∠=∠. 在ABP ∆和DAE ∆中， 又∵ABC AED ∠=∠， ∴BAF ADE ∠=∠.
∵ABF BPF ∠=∠且BPA DAE ∠=∠， ∴ABF DAE ∠=∠， 又∵AB DA =， ∴()ABF DAE ASA ≅.
（2）∵ABF DAE ≅， ∴AE BF =，DE AF =.
∵AF AE EF BF EF =+=+， ∴DE BF EF =+.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
22.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD 部分）
，在起点A 处测得大楼部分楼体CD 的顶端C 点的仰角为45︒，底端D 点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处，测得顶端C 的仰角为63.4︒（如图②所示），求大楼部分楼体CD 的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89︒≈，cos63.40.45︒≈，tan63.4 2.00︒≈
1.41≈
1.73≈）
【答案】大楼部分楼体CD 的高度约为17米. 【解析】 【分析】
设楼高CE 为x 米，于是得到BE=x-20，解直角三角形即可得到结论． 【详解】设楼高CE 为x 米. ∵在Rt AEC ∆中，45CAE ︒∠=， ∴AE CE x ==. ∵20AB =， ∴20BE x =-，
在Rt CEB ∆中，tan 63.42(20)CE BE x ︒
=≈-， ∴2(20)x x -=. 解得40x =（米）.
在Rt DAE ∆中，tan 3040DE AE ︒===
，
∴40173
CD CE DE =-=-
≈（米）. 答：大楼部分楼体CD 的高度约为17米.
【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．
23.如图，点3,42A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()3,B m 是直线AB 与反比例函数(0)n y x x =>图象的两个交点，AC x ⊥轴，垂
足为点C ，已知()0,1D ，连接AD ，BD ，BC ．
（1）求直线AB 的表达式；（2）ABC △和ABD △的面积分别为1S ，2S ，求2
1S S ﹣． 【答案】（1）463y x =-+；（2）213
4
S S -=. 【解析】 【分析】 （1）先将点A （
3
2
，4）代入反比例函数解析式中求出n 的值，进而得到点B 的坐标，已知点A 、点B 坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S 1，S 2的值，即可求出S 2-S 1． 【详解】（1）由点A 、B 在反比例函数(0)n
y x x
=
>图像上， ∴
432
n =
， ∴6n =.
∴反比例函数的表达式为6
(0)y x x
=>. 将点(3,)B m 代入6
y x
=得2m =， ∴(3,2)B .
设直线AB 的表达式为y kx b =+.
∴34223k b k b ⎧
=+⎪⎨⎪=+⎩，解得436
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴直线AB 的表达式为4
63
y x =-
+. （2）由点,A B 的坐标得4AC =，点B 到AC 的距离为33322
-=. ∴113
4322
S =
⨯⨯=.
设AB 与y 轴的交点为E ，可得(0,6)E .
∴615DE =-=， 由点3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，(3,2)B 知点,A B 到ED 的距离分别为32，3. ∴2BED AED S S S ∆∆=-113155352224
=
⨯⨯-⨯⨯=. ∴21153344S S -=-= 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积
24.如图，ABC △内接于O ，AB 为直径，作⊥OD AB 交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O 的切线CE ，交OF 于点E
（1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长．
【答案】（1）见解析；（2
）5AC =
. 【解析】
【分析】
（1）连接OC ，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE ，则结论
得证；
（2）先根据勾股定理求出OE ，OD ，AD 的长，证明Rt △AOD ∽Rt △ACB ，得出比例线段即可求出AC 的长．
【详解】（1）证明：连接OC ，
∵CE 与O 相切，OC 是O 的半径，
∴OC CE ⊥，
∴90OCA ACE ︒∠+∠=.
∵OA OC =，
∴A OCA ∠=∠，
∴90ACE A ︒∠+∠=.
∵⊥OD AB ，
∴90ODA A ︒∠+∠=.
∴CDE ACE ∠=∠，
∴EC ED =.
（2）∵AB 直径，
∴90ACB ∠=.
在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=，
又DCE CDE ∠=∠，
∴90CDE ECF ︒∠+∠=，
又∵90CDE F ︒∠+∠=，
∴ECF F ∠=∠，
∴EC EF =.
∵3EF =，
∴3EC DE ==.
在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =，
∴5OE ===.
∴2OD OE DE =-=.
在Rt OAD ∆中，AD ==.
在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中，
∵A A ∠=∠，
∴Rt AOD Rt ACB ∆∆∽，
∴AO AD AC AB =，即4AC =，
∴5AC =
. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,8C ，连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线，线段BC 以及x 轴于点,,P D E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得PEA 和AOC △相似的点P 的坐标；
（3）作PF BC ⊥，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt PFD 面积的最大值．
【答案】（1）228y x x =-++；（2）P 点的坐标为15
23,416⎛⎫
⎪⎝⎭；（3）16
()5PFD S ∆=最大.
【解析】
【分析】
（1）将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）只有当∠PEA=∠AOC 时，PEA △∽AOC ，可得：PE=4AE ，设点P 坐标（4k-2，k ），即可求解；
（3）利用Rt △PFD ∽Rt △BOC 得：2
215
BOC S PFD
PD PD S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，再求出PD 的最大值，即可求解．
【详解】（1）由已知，将(0,8)C 代入2y ax bx c =++，∴8c =.
将点(2,0)A -和(4,0)B 代入28y ax bx =++，得4280
16480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，
解得1
2a b =-⎧⎨=⎩.∴抛物线的表达式为228y x x =-++.
（2）∵(2,0)A -，(0,8)C ，
∴2OA =，8OC =.
∵l x ⊥轴，
∴90PEA AOC ︒∠=∠=，
∵PAE CAO ∠≠∠，
∴只有当PAE ACO ∠=∠时，PEA AOC ∽， 此时AE
PE
CO AO =，即82AE
PE
=，
∴4AE PE =.
设点P 的纵坐标为k ，则PE k =，4AE k =，
∴42OE k =-，
∴P 点的坐标为(42,)k k -，将(42,)P k k -代入228y x x =-++，得
2(42)2(42)8k k k --+-+=，
解得10k =（舍去），223
16k =.
当2316k =时，23154242164
k -=⨯-=. ∴P 点的坐标为1523,416⎛⎫
⎪⎝⎭. （3）在Rt PFD ∆中，90PFD COB ︒∠=∠=，
∵l y 轴，
∴PDF OCB ∠=∠，
∴Rt PFD Rt BOC ∆∆∽， ∴2()PFD BOC S PD S BC
∆∆=， ∴2()PFD BOC PD S S BC
∆∆=⋅. 由(4,0)B ，知4OB =，又8OC =，
∴BC ==
=， 又11481622BOC S OB OC ∆=
⋅=⨯⨯=.
∴221165PFD S PD ∆==. ∴当PD 最大时，PFD S ∆最大.
由(4,0)B ，(0,8)C 可解得BC 所在直线的表达式为28y x =-+.
设()2,28P m m m -++，则(,28)D m m -+，
∴22228(28)4(2)4PD m m m m m m =-++--+=-+=--+.
∴当2m =时，PD 有最大值4.
∴当4PD =时，2116()455
PFD S ∆=⨯=最大. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。