自动控制原理试卷及答案

自动控制原理试卷（A ）
一、已知系统输入为i u ，输出为o u ，试求下述系统传递函数(运算放大器为理想放大器)（15分）
R 1 (a)
(b)
o u
i u
（提示：运算放大器输入电流为0，正、反相端电压相等） 二、试简化下图所示系统方框图求其传递函数(10分)
三、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
)
12)(1()
1()(+++=
s s s s K s G τ
在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，试确定系统稳定的区域。

(10分)
四、已知二阶系统方框图如图所示
如要求：(1）由单位斜坡函数输入所引起的稳态误差为0.25
(2) 系统的暂态调节时间3=s t 秒（%5±误差带）
试求二阶系统闭环传函。

(10分)
五、已知系统方框图如图所示,试作参数a (由0∞→)变化时的系统根轨迹。

(15分)
六、已知最小相位系统的开环对数幅频渐近曲线如图所示，试写出对应的开环传
递函数)(s G ,并求图（a ）所示系统的相角裕度和增量裕度。

(20分)
-40 (a) （b ）
-40
-60
(c )
七、已知系统单位阶跃响应为t t e e t c 2421)(--+-=，试求系统频率特性表达式。

（10
分）
答案
一、(a) 方法一：
设1R 中的电流为1i ，电容C 中的电流为2i ，根据如图所示电路列写方程如下：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+=+=⎰dt
i C i R i i R u u i R u o o i 211212111
)( 消去中间变量1i ，2i 得到系统输入输出之间的方程如下： 1
12R u
dt du C R u R u dt du C
i i o o o +=++ 在零初始条件下，对上式取拉氏变换得 )(1
)()(1)(1)(1
12s U R s CsU s U R s U R s CsU I I O O O +=++ 所以得系统传递函数为 1
2212
21)()()(R R Cs R R R Cs R R s U s U s G I O +++==
方法二： 电容C 的复阻抗为
Cs
1
，电阻1R ，2R 的复阻抗分别为1R ，2R 。

利用复阻抗概念，得系统输入拉氏变换与输出拉氏变换之间的关系为
1
2212
211122
11)
()
()(R R Cs R R R Cs R R Cs
R Cs R R R s U s U s G I O +++=
+
⋅
+
==
(b) 方法一：
根据如图所示电路得
R
u dt u u d C
i
i o =-)(
在零初始条件下，对上式取拉氏变换得
)(1
)()(s U R
s CsU s CsU I I O +
= 所以得系统传递函数为
)()()(s U s U s G I O =
RCs
RCs 1
+=
方法二： 电容C 的复阻抗为
Cs
1
，电阻R 的复阻抗为R 。

利用复阻抗概念，得系统输入拉氏变换与输出拉氏变换之间的关系为
)
()
()(s U s U s G I O =
RCs
RCs R Cs R 11
+=+
= 一、由Mason 公式得
闭环传函∆
∆
=
Φ∑=n
k k
k P s 1
)(
由方框图得，系统共有两条前向通道，即2=n ， +-+-
=∆∑∑∑3
2
1
1l
l l
221121
H G G H G l
+-=∑，032===∑∑ l l
所以得
221121H G G H G -+=∆
211G G P =，11=∆，231G G P =，12=∆
所以系统传递函数2
21123
2212
1
1)(H G G H G G G G G P s k k
k -++=
∆
∆
=Φ∑=
二、由题得
系统闭环传函为)
1()12)(1()
1()(1)()(+++++=+=Φs K s s s s K s G s G s τ
所以特征方程为
0)1()2(2)1()12)(1()(23=+++++=++++=K s K s s s K s s s s D τττ
列劳斯表
K
s K
K s
K s K s 0
1
230
22)1)(2(212ττττ
τ+-++++
得系统稳定的充要条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-++>+>0
02)1)(2(0
20
2K K K ττττ⇒⎪⎩⎪
⎨⎧><<-+<<>01012201ττ时时K K K K ⇒0>K 时
1
2
20-+<
<K K τ 在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，系统稳定的区域如图所示：
三、由单位斜坡函数输入所引起的稳态误差为25.0得
425
.01
2)2(lim 20===+*=→ξωξωωn n n s v s s s K (1)
由系统的暂态调节时间3=s t 秒%)5(±得
33
=n
ξω (2)
由(1)和(2)式得⎪⎩⎪
⎨⎧==224
2n
ωξ所以二阶系统闭环传函为 8
28
2)(1)()(2222
++=++=+=Φs s s s s G s G s n n n ωξωω
四、系统的闭环特征方程为025.025.0)1(2
=+++a s s s ⇒等效开环传函为
s s s a 25.0)1(25.02++ 令a k 25.0=得等效开环传函为s
s s k
25.0)1(2
++，绘制参数a 由 0∞→变化的根轨迹实际也是绘制参数k 由0∞→变化的根轨迹 绘制的基本规则：
等效开环传函的极点有三个，01=p ，5.032-==p p ，无零点。

所以系统根轨迹有三条分支，分别从三个开环极点出发趋向无穷远；
实轴上05.0→-，5.0-→∞-的这两段线段上存在根轨迹； 趋向无穷远的三条根轨迹的渐近线与实轴的交点σ及夹角Φ分别为 3135.05.0-=--=
σ，ππ
π,3
3)12(±=+±=Φq )2,1,0( =q ； 求取根轨迹离开实轴的分离点1s ，令
0=ds
dk
得025.0232=---s s 解方程得 5.01-=s 或6
1
-
，5.01-=s 不合题意，舍去，取611-=s ；
根轨迹与虚轴的交点，令ωj s =带入闭环特征方程025.0)1(2
=+++k s s s 中得
0)25.0(23=-+-ωωωk j ，解得5.0±=ω，所以与虚轴的交点为j 5.0±。

由以上结论得，参数a 由0∞→变化时的系统根轨迹如图所示
五、由最小相位系统的开环对数幅频渐近曲线得
图a 所示系统由微分环节和惯性环节组成，开环传函1
10)(+=
s s
s G ； 图b 所示系统由两积分环节、一阶比例微分环节和惯性环节组成，开环传函
)
11.0()
110(1.0)(2++=
s s s s G
图c 所示系统由积分环节、两惯性环节组成，开环传函)101.0)(1100(100
)(++=
s s s s G
图a 所示系统的相角裕度)(180c ωϕγ+=︒
，由11
10)(2=+=
c c
c A ωωω得3
1=
c ω，︒︒=-=56.713
1arctan 90)(c ωϕ；所以)(180c ωϕγ+=︒︒=56.251
令︒︒-=-=180arctan 90)(g g ωωϕ得g ω不存在，增量裕度无法求出。

六、由t t
e e
t c 2421)(--+-=得2
2
411)(++
+-=
s s s s C ；已知)(1)(t t r =得 s
s R 1
)(=；所以系统传函为)2)(4(8122)(2++++=
s s s s s G ，令ωj s =得系统频率特性表达式为 )
2)(4(1248)(2+++-=ωωωωωj j j
j G
自动控制原理试卷（B ）
一、已知系统输入为i u ，输出为o u ，试求下述系统传递函数（10分）
R R
i u C
C o u
二、试简化下图所示系统方框图求其传递函数(15分)
1)
2)
C(s)
三、已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
)
12)(1()
1()(+++=
s s s s K s G τ
在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，试确定系统稳定的区域。

(10分)
四、已知系统的传递函数1
2.01
)(+=
s s G ,试求其在单位阶跃函数作用下的调节
时间s t %)5(±,欲采用图中引入负反馈的方法,将调节时间s t 减至原来的1.0倍,但总的增益保持不变(仍为1),试选择a K ,h K 值。

(15分)
五、已知某二阶系统的单位阶跃响应为()t t
e e
t c 10602.12.01---+=，
试求：（1）系统传递函数
()(
)
s R s C
（2）确定系统阻尼比ξ、无阻尼振荡频率n ω。

（15分）
六、已知系统方框图如图所示,试试求系统在输入22
1
)(t t t r +=下的稳态误差
终值。

(10分)
C(s)
七、已知最小相位系统的开环对数幅频渐近曲线如图所示，试写出对应的开环传递函数)(s G 。

(10分)
w
(a) (b)
八、已知单位负反馈系统的开环传递函数为
)
1)(11.0()(++=
s s s K
s G
试求
（1） 系统相角裕度为 60时的K 值；
（2） 系统增益裕度为20dB 时的K 值。

（15分）
答案
一、 方法一：
1i 2i
电流如图所示设置，根据如图所示电路列写方程如下：
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=+=++=⎰⎰dt i i C u Ri dt
i C u u i i R u o o o i )(11)(212221 消去中间变量1i ，2i 得到系统输入输出之间的方程如下： i o o
2
o 22
2
u u dt du 3RC dt u d C R =++
在零初始条件下，对上式取拉氏变换得
)()()()(s U s U s U 3RCs s U s C R I O O O 2
22=++
所以得系统传递函数为 1
1
)()()(++==3RCs s C R s U s U s G 222I O
方法二：
电容C 的复阻抗为
Cs
1
，电阻R 的复阻抗分别为R 。

利用复阻抗概念，得系统输入拉氏变换与输出拉氏变换之间的关系为
1311)1(1
)()()(222++=+
⋅
++
==RCs s C R Cs
2R Cs Cs R R Cs s U s U s G I O
七、1）由Mason 公式得
闭环传函∆
∆
=
Φ∑=n
k k
k P s 1
)(
由方框图得，系统只有一条前向通道，即1=n ， +-+-
=∆∑∑∑3
2
1
1l
l l
1214321
H G G G G G l
+-=∑，032===∑∑ l l
所以得
1214321H G G G G G -+=∆
3211G G G P =，11=∆
所以系统传递函数1
214323211
11)(H G G G G G G G G P s -+=∆∆=Φ 八、2）由Mason 公式得
闭环传函∆
∆
=
Φ∑=n
k k
k P s 1
)(
由方框图得，系统只有一条前向通道，即1=n ， +-+-
=∆∑∑∑3
2
1
1l
l l
12211
H G G G l
+-=∑，032===∑∑ l l
所以得
12211H G G G -+=∆
11G P =，121H G =∆
所以系统传递函数1
2211
21111)(H G G G H G G P s -+=∆∆=Φ
三、由题得
系统闭环传函为)
1()12)(1()
1()(1)()(+++++=+=Φs K s s s s K s G s G s τ
所以特征方程为
0)1()2(2)1()12)(1()(23=+++++=++++=K s K s s s K s s s s D τττ
列劳斯表
K
s K
K s
K s K s 0
1
230
22)1)(2(212ττττ
τ+-++++
得系统稳定的充要条件为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>>-++>+>002)1)(2(0
20
2K K K ττττ⇒⎪⎩⎪
⎨⎧><<-+<<>01012201ττ时时K K K K ⇒0>K 时 1
2
20-+<
<K K τ 在以K 为横坐标，τ为纵坐标的平面上，系统稳定的区域如图所示：
九、因为一阶系统
1
1
)(+=
Ts s G 在单位阶跃函数作用下的调节时间
3T t s =%)(5，所以可得题中所示系统的调节时间0.60.2*33T t s ===
图中引入负反馈后，系统传递函数a
h a h a K K s K 20K 2s 0K s G ++=
++=
1.1
1.)(，为使调节时间减为原来的0.1倍，总的增益保持不变，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1
1..a
h a
K K 020K 2
0解得⎩⎨⎧==9K 10K h a
十、由题知，单位阶跃响应的拉氏变换为10
s 2
160s 20s 1s C +-
++=..)( 单位阶跃函数的拉氏变换为s
1
s R =
)( 所以系统传递函数60070s s 600s R s C 2++=)()( 已知⎪⎩⎪⎨⎧==70
2600
n 2
n ξωω所以 系统阻尼比612
7
=
ξ，无阻尼振荡频率610n =ω 十一、 由系统方框图得系统的开环传递函数s
12s s K
s G 2
)()(++=
，可知系统为一型系统在输入t t r 1=)(下的稳态误差终值为
K 1，在输入2
2t 2
1t r =)(下的稳态误差终值为
∞，所以系统在输入2
21t 2
1t t r t r t r +
=+=)()()(下的稳态误差终值为∞。

十二、 由最小相位系统的开环对数幅频渐近曲线得 图a 所示系统由微分环节和惯性环节组成，开环传函1
..)(+=
s 020s
10s G ；
图b 所示系统由两积分环节、一阶比例微分环节和惯性环节组成，开环传函
)
11.0()
110(1.0)(2++=
s s s s G
八、系统开环对数幅频渐近曲线可能为
或
l ω (a) (b)
系统的相角裕度︒︒=+=0)(1806c ωϕγ⇒ )(c ωϕ︒
-=012，而已知
c c c 10ωωωϕarctan .arctan 90)(---=︒
所以
︒︒-=---12010c c ωωarctan .arctan 90（1）
由图(a)得K 2
c =ω，由图(b)得10K 3
c =ω，将图(a)求得的c ω值代入（1）式得而已知
︒︒-=---=12010c c c ωωωϕarctan .arctan 90)(；所以)(180c ωϕγ+=︒︒=56.251
令︒
︒
-=-=180arctan 90)(g g ωωϕ得g ω不存在，增量裕度无法求出。