2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2

5.2 平行关系的性质
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)
3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点
)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面平行的性质定理
阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分，完成下列问题.
文字语言符号语言图形语言
如果一条直线与一个平面平行，那么
过该直线的任意一个平面与已知平面
的交线与该直线平行
⎭⎪
⎬
⎪⎫
a∥α
aβ
α∩β＝b
⇒
a∥b
如图1­5­19所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )
图1­5­19
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】∵EH∥FG，EH⊆/平面BCD，FG平面BCD，
∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.
【答案】 A
教材整理2 面面平行的性质定理
阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分，完成下列问题.
文字语言符号语言图形语言
如果两个平行平面同时与第
三个平面相交，那么它们的交
线平行
⎭⎪
⎬
⎪⎫
α∥β
γ∩α＝a
γ∩β＝b
⇒
a∥b
六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD 的位置关系为__________.
【解析】∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，
设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，
∴AB∥CD.
【答案】平行
[小组合作型]
线面平行性质的应用
如图11111B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
【导学号：39292030】
图1­5­20
【精彩点拨】从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.
【自主解答】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊆/平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG⊆/平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.
[再练一题]
1.如图1­5­21所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.
图1­5­21
(1)求证：AC＝BD；
(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？
【解】(1)证明：如图所示，连接CD，
∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面β，
又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD.
(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.
面面平行性质的应用
如图1­5­22，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α
与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
图1­5­22
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.
【精彩点拨】 由PB 与PD 相交于点P ，可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.
【自主解答】 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . (2)由(1)，得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC
CD
，
∴45＝3CD ，∴CD ＝15
4(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝27
4
(cm).
1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.
2.面面平行的性质定理的本质：
化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.
[再练一题]
2.已知α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34，求当S 在α，β之间时SC 的长.
【解】 如图所示. ∵AB 与CD 相交于S ，
∴AB ，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴SA SB ＝
SC SD ，∴SA SA ＋SB ＝SC CD ，即SC 34＝8
17
，解得SC ＝16.
[探究共研型]
平行关系的综合应用
探究1 如图1­5­23所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.
图1­5­23
【提示】法一：平行.因为BC∥AD，
BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC平面PBC，
平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，
由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM
又PN＝CN，
则MN是△CPQ的中位线，
所以MN∥PQ，
又MN⊆/平面PAD，PQ平面PAD，
则MN∥平面PAD.
探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.
【提示】平行.取PD的中点E，
连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE，MN⊆/平面PAD，AE平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
如图1­5­24所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
图1­5­24
【精彩点拨】
连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→
PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD
【自主解答】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP⊆/平面BDM，OM平面BDM，
∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA平面PAD，GH⊆/平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.
2.空间平行关系的转化图：
[再练一题]
3.如图1­5­25，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.
图1­5­25
【证明】由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.
∵EF⊆/平面BCD，GH平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又∵EF 平面EFGH ，CD ⊆/平面EFGH ，
∴CD ∥平面EFGH .
1.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，b
α⇒a ∥b
B.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥β
C.a ∥β，b ∥β，a
α，b α⇒α∥β
D.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 【解析】 由面面平行的性质定理知D 正确. 【答案】 D
2.若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )
A.不一定存在与a 平行的直线
B.只有两条与a 平行
C.存在无数多条直线与a 平行
D.存在唯一一条直线与a 平行
【解析】 设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ， ∴a ∥b . 【答案】 D
3.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则a 与β的位置关系为________. 【解析】 若a
β，则显然满足题目条件.
若a ⊆/β，过直线a 作平面γ，γ∩α＝b ，γ∩β＝c ，于是由直线a ∥平面α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，所以a ∥c ，又a ⊆/β，c
β，所以a ∥β.
【答案】 a
β或a ∥β
4.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________.
【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝AC
BD
，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.
【答案】 12
5.如图1­5­26，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1
＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点.求证：AC ∥平面BPQ .
【导学号：39292031】
图1­5­26【证明】连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1⊆/平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，又∵AD1⊆/平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。