2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 §1

§1命题
学习目标 1.了解命题的概念(重点).2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式(重点).3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(重、难点).4.会判断四种命题的真假(重、难点).
知识点一命题
(1)概念：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
(2)真假命题：命题中判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题. 知识点二命题的结构
一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论，也就是说，命题由条件和结论两部分组成.
【预习评价】
1.表述命题的语句有什么特点？
提示必须是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
2.语句“x＞0”可以判断真假吗？
提示由于不知道x的范围，所以无法判断真假.
知识点三四种命题的定义
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.
(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的否命题.
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么
另一个命题叫作原命题的逆否命题.
【预习评价】
1.如何确定命题的条件和结论？
提示命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论.
2.如何确定“若p，则q”为真？
提示能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q，则说明“若p，则q”为真.
知识点四四种命题间的关系
知识点五四种命题的真假判断
(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.
(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.
(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.
(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.
【预习评价】
1.四种命题中原命题是否是固定的？
提示原命题不是固定的，任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题.
2.由原命题写出逆命题、否命题、逆否命题的关键是什么？
提示关键是分清楚原命题的条件和结论，然后按照逆命题、否命题、逆否命题的定义来写.
题型一命题的判断
【例1】(1)下列语句为命题的是()
A.x－1＝0
B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？
D.这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2，3，4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.
答案(1)B(2)①④
规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
【训练1】判断下列语句是不是命题.
(1)求证3是无理数；
(2)x2＋2x＋1≥0；
(3)你是高二学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果；
(5)一个正整数不是质数就是合数；
(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；
(7)x＋3>0.
解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.
题型二四种命题的关系及真假判断
【例2】下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.
其中是真命题的是________.
解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③.
答案①②③
规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
【训练2】下列命题为真命题的是()
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①④
解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.③原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为①③④，故选B.
答案 B
【探究1】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.
解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下：
函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.
【探究2】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆命题的真假.
解原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集”.
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a －7，
因为a＜2，所以4a－7＜1，当0≤Δ＜1时，抛物线与x轴有交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定是空集，故原命题的逆命题为假命题.
【探究3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2
＋2＞0的解集是R，则a＜7
4”的逆否命题的真假.
解先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
所以a＜7 4.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题.
规律方法“正难则反”的处理原则
(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，
来间接地证明原命题为真(假)命题.
(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.
课堂达标
1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()
A.若a∉A，则b∉B
B.若a∈A，则b∉B
C.若b∈B，则a∉A
D.若b∉B，则a∉A
解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.
答案 B
2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()
A.若A∪B＝B，则A∩B＝A
B.若A∩B≠A，则A∪B≠B
C.若A∪B≠B，则A∩B≠A
D.若A∪B≠B，则A∩B＝A
解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.
答案 C
3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).
答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假
4.给出以下命题：
①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.
其中为真命题的是________.
解析①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题.
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.
③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.
答案③
5.写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题.
解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；
原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”.
课堂小结
1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定和结论q的否定；
(3)按照四种命题的结构写出所求命题.
2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.
3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.
基础过关
1.下列语句不是命题的个数为()
①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.
答案 B
2.下列命题为真命题的是()
A.互余的两个角不相等
B.相等的两个角是同位角
C.若a2＝b2，则|a|＝|b|
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
解析由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的.
答案 C
3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题.
当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.
故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题.
又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 答案 B
4.“若sin α＝1
2，则α＝
π
6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是
________命题(填“真”或“假”).
解析逆否命题是“若α≠π
6，则sin α≠
1
2”是假命题.
答案若α≠π
6，则sin α≠
1
2假
5.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________.
解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.
答案若x，y不全为零，则xy≠0
6.判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.
解∵m>0，
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.
7.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.
解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ＝－4b≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.
方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b ＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.
能力提升
8.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()
A.能被3整除的整数，一定能被6整除
B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除
解析互为逆否命题的两个命题是等价的.
答案 B
9.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()
A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B.若m⊥α，β⊥α，则m∥β
C.若l⊥m，l⊥n，则m∥n
D.若l⊥α，m⊥α，则l∥m
解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；
当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；
当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.
答案 D
10.下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).
答案②和③①和③①和②
11.已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.
解析由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立.
∴⎩
⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案 [1，2]
12.有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②函数y ＝ax 2＋2x －1的图像与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.其中有哪些是真命题？
解 ①当m ＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax 2＋2x －1＝0(a ≠0)的判别式Δ＝4＋4a ，其值不一定大于或等于0，所以与x 轴至少有一个交点不能确定；③④正确.
13.(选做题)给出两个命题：
命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；
命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题.
分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围.
解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，
即A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a >13或a <－1； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a >1或a <－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a >13或a <－12. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当
甲假乙真时，－1≤a <－12.
所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13
<a ≤1或－1≤a <－12.。