课件2：2.2.2 二次函数的性质与图象
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函数的对称轴是x=－4，事实上如果一个函数 f(x)满足： f(h+x) = f(h－x)，那么函数f(x)关于 x=h对称.
（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数， 在[－4, + ∞)上是增函数.
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2， 记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
对于任意一个特殊的二次函数y=ax2， 当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的 绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象 就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。
在同一坐标系中，对于函数y=ax2图像的 开口程度是怎样变化的？
当a的绝对值逐渐变大时，抛物线的开口逐渐 变小.
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图像
函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它 的定义域是R.
特别地，当b=c=0时，则二次函数变为 y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。
A.-6
B.11
C.
1 4
1
D. 4
3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),
那么a的取值范围是（ ）
C
A.a ≥ 0
B.a≤0
C. 0≤ a ≤4
D.a ≤0或 a ≥4
4、函数y=ax2+bx+c(a<0)的最大值小于0，则b2-4ac是( B )
3
[－ 1 ,+∞)上是增函数。 3
例4. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数 值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。 解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，
对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数. f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).
例3. 求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的 对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？ 在哪个区间上是减函数？
解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+
1 3Leabharlann )2+2 3
,
所以ymin=f(
1 3
)=
2 3
.函数的值域是[
2 3
,+∞).
函数的对称轴是x=－13
它在区间(－∞, － 1 ]上是减函数，在区间
例2. 试述二次函数f(x)=－x2－4x+3的性质， 并作出它的图象。
（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7.
由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有 f(x) ≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。 这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为 ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).
二次函数的性质：
一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都 可以通过配方化为
f (x) a(x b )2 4ac b2
2a
4a
=a(x h)2 k
（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点 坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h； （2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最 小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是减函数，在 [h, +∞)上是增函数. （3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最 大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是增函数，在 [h, +∞)上是减函数.
当堂检测：
1、函数 y 1 x2 5x 1 的对称轴和顶点坐标分别是（ A ）
2
A. x 5, (5, 23) B. x 5,(5, 23) C. x 5, (5, 23)
2、f(x)=ax2+2bx+c的顶点为(4,0)，2 且过点(0,2),则
2
abc=(
D. x
C)
5, (5,
23) 2
2
解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y= 1 x2
2
经一系列变换得到的，具体地说：先将y= 1 x2
2
的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位
得到.
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：（0，6） （3）函数图像的对称性质：
(3) 画函数f(x)=－x2－4x+3的图象. 因为f(x)=－(x+2)2+7.
所以它的图象是由y=－x2的图象向左平移2 个单位后，再向上平移7个单位得到.
(4) 函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴 对称图形，
在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间 [－2，+∞)上是减函数.
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
5、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值
范围是（ B ）
A.a ≥ -3
B.a≤-3
C. a≤5
D. a ≥ 3
总结
1、图像
2、性质
本节内容结束
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（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数， 在[－4, + ∞)上是增函数.
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2， 记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
对于任意一个特殊的二次函数y=ax2， 当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的 绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象 就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。
在同一坐标系中，对于函数y=ax2图像的 开口程度是怎样变化的？
当a的绝对值逐渐变大时，抛物线的开口逐渐 变小.
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图像
函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它 的定义域是R.
特别地，当b=c=0时，则二次函数变为 y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。
A.-6
B.11
C.
1 4
1
D. 4
3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),
那么a的取值范围是（ ）
C
A.a ≥ 0
B.a≤0
C. 0≤ a ≤4
D.a ≤0或 a ≥4
4、函数y=ax2+bx+c(a<0)的最大值小于0，则b2-4ac是( B )
3
[－ 1 ,+∞)上是增函数。 3
例4. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数 值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。 解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，
对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数. f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).
例3. 求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的 对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？ 在哪个区间上是减函数？
解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+
1 3Leabharlann )2+2 3
,
所以ymin=f(
1 3
)=
2 3
.函数的值域是[
2 3
,+∞).
函数的对称轴是x=－13
它在区间(－∞, － 1 ]上是减函数，在区间
例2. 试述二次函数f(x)=－x2－4x+3的性质， 并作出它的图象。
（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7.
由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有 f(x) ≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。 这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为 ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).
二次函数的性质：
一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都 可以通过配方化为
f (x) a(x b )2 4ac b2
2a
4a
=a(x h)2 k
（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点 坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h； （2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最 小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是减函数，在 [h, +∞)上是增函数. （3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最 大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是增函数，在 [h, +∞)上是减函数.
当堂检测：
1、函数 y 1 x2 5x 1 的对称轴和顶点坐标分别是（ A ）
2
A. x 5, (5, 23) B. x 5,(5, 23) C. x 5, (5, 23)
2、f(x)=ax2+2bx+c的顶点为(4,0)，2 且过点(0,2),则
2
abc=(
D. x
C)
5, (5,
23) 2
2
解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y= 1 x2
2
经一系列变换得到的，具体地说：先将y= 1 x2
2
的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位
得到.
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：（0，6） （3）函数图像的对称性质：
(3) 画函数f(x)=－x2－4x+3的图象. 因为f(x)=－(x+2)2+7.
所以它的图象是由y=－x2的图象向左平移2 个单位后，再向上平移7个单位得到.
(4) 函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴 对称图形，
在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间 [－2，+∞)上是减函数.
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
5、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值
范围是（ B ）
A.a ≥ -3
B.a≤-3
C. a≤5
D. a ≥ 3
总结
1、图像
2、性质
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