线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化
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10 (0,
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
上一页
对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1
求正交矩阵 Q 使 Q1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵. 其中
2 0 0 A 0 3 2. 0 2 3
λ 2
0
0
解
| λE A |
0 0
通过正交变换化成标准形
2 2 2 f y1 2 y2 5 y3
求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.
0 0 2 , a 3 0 A 3 a 0 0 2 0 0 | A I |
解 二次型 f 的矩阵
0
特征方程为
a 3 3 a
= (2)(26 + 9 a2) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 . 将 = 1 ( 或 = 5 ) 代入特征方程，得 A2 4 = 0, a = 2.
因 a > 0, 故取 a = 2 .
2 0 0 0 3 2 . 这时，A 0 2 3
上一页
1 = 1 时, 由 (IA)X = 0, 即
3 3 3
这时，| I A | 1
3
5
3
= (4)(9),
故所求特征值为 = 0, = 4, = 9. (2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为
2 2 f 4 y2 9 y3 ,
那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示椭圆柱面.
5 1 3 解 (1)此二次型对应矩阵为 A 1 5 3 . 3 3 c 5 1 3 A 1 5 3 3 3 c 因 r(A) = 2, 解得 c = 3.
5
1
1 5 3 0 2 1 , 0 0 c 3
特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化. 3. 将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 P1, P2, …, Pn , 记 P = [P1, P2, …, Pn] . 则 X = PY 为所求正交变换，f 的标准形为
2 2 f 1 y12 2 y2 n yn .
2
2 4 ( 9). 4
| A E | 2 2
A 的特征值是 对于 1= 2 = 0,
1 = 2 = 0, 3 = 9.
1 2 2 1 2 2 0 0 0 A E 2 4 4 2 4 4 0 0 0
取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T. 将上述相互正交的特征向量单位化，得
1 (0,
2 (
4
1 1 T , ) , 2 2 , 1 , 1 3 2 )T ,
属于特征值0
3 2 3 2
1 3
3 ( ,
则存在正交变换
x1 x 2 x3 0 1 2 1 2
0 x1 1 0 0 2 2 x 0, 2 0 2 2 x3
解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T,
2 = 2 时, 由 (2IA)X = 0 ,
解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T,
3 = 5时, 由 (5IA)X = 0 ,
解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.
将 1, 2, 3 单位化，得
10 (0,
1 2
,
1 2
)T ,
20 (1, 0, 0)T ,
0 1 0
30 (0,
1 2
,
1 2
)T .
0
1
故所求的正交变换矩阵为 T =
λ 3 2 2 λ 3
= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5.
0 x1 1 0 1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即 0 2 2 x 2 0, 0 2 2 x3
解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T;
2 = 2 时, 由 (2EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T ;
3 = 5 时, 由 (5EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.
上一页
将 1, 2, 3 单位化，得
其中 1, 2, …, n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征 值1 , 2, …, n 的标准正交特征向量.
二、用正交变换化二次型为标准形
步骤： 1. 写出二次型 f 的矩阵 A, 并求 A 的全部特征值 1, 2, …, n ( 重数计算在
内). 2. 求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 I 的 k 个线性无关的
上一页
例2
2 2 求一个正交变换化二次型 f x12 4x2 4x3 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 成标准形.
解
二次型的矩阵
1 2 2 A 2 4 4 , 2 4 4
1 2 4 4
A 的特征多项式为
2 2 T , ) , 3 3
4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3
属于特征值9
y1 y 2 y3
使二次型化为标准形
2 f 9 y3 .
例3
2 2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1 3x2 3x3 2ax2 x3 (a 0)
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
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对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1
求正交矩阵 Q 使 Q1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵. 其中
2 0 0 A 0 3 2. 0 2 3
λ 2
0
0
解
| λE A |
0 0
通过正交变换化成标准形
2 2 2 f y1 2 y2 5 y3
求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.
0 0 2 , a 3 0 A 3 a 0 0 2 0 0 | A I |
解 二次型 f 的矩阵
0
特征方程为
a 3 3 a
= (2)(26 + 9 a2) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 . 将 = 1 ( 或 = 5 ) 代入特征方程，得 A2 4 = 0, a = 2.
因 a > 0, 故取 a = 2 .
2 0 0 0 3 2 . 这时，A 0 2 3
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1 = 1 时, 由 (IA)X = 0, 即
3 3 3
这时，| I A | 1
3
5
3
= (4)(9),
故所求特征值为 = 0, = 4, = 9. (2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为
2 2 f 4 y2 9 y3 ,
那么 f (x1, x2, x3) = 1 表示椭圆柱面.
5 1 3 解 (1)此二次型对应矩阵为 A 1 5 3 . 3 3 c 5 1 3 A 1 5 3 3 3 c 因 r(A) = 2, 解得 c = 3.
5
1
1 5 3 0 2 1 , 0 0 c 3
特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化. 3. 将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 P1, P2, …, Pn , 记 P = [P1, P2, …, Pn] . 则 X = PY 为所求正交变换，f 的标准形为
2 2 f 1 y12 2 y2 n yn .
2
2 4 ( 9). 4
| A E | 2 2
A 的特征值是 对于 1= 2 = 0,
1 = 2 = 0, 3 = 9.
1 2 2 1 2 2 0 0 0 A E 2 4 4 2 4 4 0 0 0
取特征向量 p3 = (1, 2, 2)T. 将上述相互正交的特征向量单位化，得
1 (0,
2 (
4
1 1 T , ) , 2 2 , 1 , 1 3 2 )T ,
属于特征值0
3 2 3 2
1 3
3 ( ,
则存在正交变换
x1 x 2 x3 0 1 2 1 2
0 x1 1 0 0 2 2 x 0, 2 0 2 2 x3
解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T,
2 = 2 时, 由 (2IA)X = 0 ,
解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T,
3 = 5时, 由 (5IA)X = 0 ,
解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.
将 1, 2, 3 单位化，得
10 (0,
1 2
,
1 2
)T ,
20 (1, 0, 0)T ,
0 1 0
30 (0,
1 2
,
1 2
)T .
0
1
故所求的正交变换矩阵为 T =
λ 3 2 2 λ 3
= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5.
0 x1 1 0 1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即 0 2 2 x 2 0, 0 2 2 x3
解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T;
2 = 2 时, 由 (2EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T ;
3 = 5 时, 由 (5EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.
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将 1, 2, 3 单位化，得
其中 1, 2, …, n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征 值1 , 2, …, n 的标准正交特征向量.
二、用正交变换化二次型为标准形
步骤： 1. 写出二次型 f 的矩阵 A, 并求 A 的全部特征值 1, 2, …, n ( 重数计算在
内). 2. 求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 I 的 k 个线性无关的
上一页
例2
2 2 求一个正交变换化二次型 f x12 4x2 4x3 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 成标准形.
解
二次型的矩阵
1 2 2 A 2 4 4 , 2 4 4
1 2 4 4
A 的特征多项式为
2 2 T , ) , 3 3
4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3
属于特征值9
y1 y 2 y3
使二次型化为标准形
2 f 9 y3 .
例3
2 2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1 3x2 3x3 2ax2 x3 (a 0)